3. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
2. října 2006
Abstrakt přednášky
Abstrakt
V této kapitole se seznámíme se soustavami lineárních rovnic
nad obecným tělesem K a naučíme se je řešit.
Využijeme při tom zápis soustavy pomocí jisté matice.
Strukturní vlastnosti množiny všech řešení dané soustavy a
jejich důsledky budeme studovat až později, poté, co se blíže
seznámíme se strukturou vektorových prostorů.
Maticový zápis I
Základní pojem tohoto odstavce je pojem lineární rovnice.
Maticový zápis II
Lineární rovnicí o n neznámych x1, . . . , xn nad číselným tělesem K
rozumíme formuli tvaru
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b,
kde a1, a2, . . . , an, b  K, v proměnných x1, x2, . . . , xn.
Maticový zápis III
Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn nad
číselným tělesem K rozumíme konjunkci formulí tvaru
a11x1 + a21x2 + . . . + a1nxn = b1
...
...
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm,
kde aij , bi , 1  i  m, 1  j  n, jsou skaláry z K.
Maticový zápis IV
Matici A = (aij )  Km×n nazýváme maticí soustavy, sloupcový
vektor b = (b1, . . . , bm)T  Km nazýváme její pravou stranou.
Rozšířenou maticí soustavy nazýváme blokovou matici
(A | b)  Km×(n+1).
Soustava sa nazývá homogenní, je-li b = 0; v opačném případě sa
nazývá nehomogenní.
Maticový zápis V
Uvedenou soustavu můžeme stručně a úsporně zapsat
v maticovém tvaru
A  x = b,
resp., pokud jde o homogenní soustavu, v tvaru
A  x = 0.
Řešením soustavy A  x = b nazýváme takový vektor
x = (x1, x2, . . . , xn)T  Kn, jehož složky vyhovují každé z rovnic
této soustavy, t. j. platí A  x = b.
Maticový zápis VI
Vyřešit soustavu znamená najít všechna její řešení, t. j. popsat
množinu všech jejích řešení.
Dvě soustavy A  x = b a B  x = c, kde A, B  Km×n,
b, c  Km×1, se nazývají ekvivalentní, pokud mají stejnou
množinu řešení, t. j. pokud pro všechna x  Kn platí A  x = b
právě tehdy, když B  x = c.
Poznámka I
(a) Podtrhněme, že řešením soustavy rozumíme vždy sloupcový
vektor x a ne jeho složky.
Tak například soustava
2x + 3y = 12
3x - 2y = 5
nad tělesem R má jediné řešení
x
y
=
3
2
a nikoliv dvě
řešení x = 3, y = 2.
Poznámka II
Budeme pak říkat, že soustava má jediné řešení x = 3, y = 2.
(b) Všimněme si, že počet rovnic soustavy a počet neznámých se
nemusí rovnat. V obvyklém případě, když rovnic je stejný počet
jako neznámých, očekáváme, že soustava bude mít jediné řešení.
Pokud je rovnic méně než neznámých, lze očekávat, že soustava
bude mít vícero (případně i nekonečně mnoho) řešení.
Poznámka III
Naopak, pokud je rovnic více než neznámých, může se stát, že
soustava nebude mít žádné řešení. Naproti tomu, že tato očekávaní
vyjadřují "převládající trend", lehce lze najít příklady, kdy se nemusí
splnit.
Poznamenejme, že homogenní soustava A  x = 0 má (bez ohledu
na počet neznámých a počet rovnic) vždy alespoň jedno řešení ­ je
jím nulový vektor x = 0.
Poznámka IV
Není důležité, jakými znaky jsou označené neznámé v soustavě
A  x = b.
Na její řešení nemá vliv, zda si vektor neznámých označíme
x = (x1, . . . , xn)T nebo y = (y1, . . . , yn)T nebo nějak jinak.
To znamená, že celá informace o této soustavě, potřebná pro
nalezení všech jejich řešení, je obsažená v rozšířené matici soustavy
(A | b), resp., pokud půjde o homogenní soustavu, jen v matici
soustavy A.
Poznámka V
Proto i metoda řešení soustav lineárních rovnic, se kterou se nyní
seznámíme, bude založená jen na úpravě této matice.
Rozšířenou matici (A | b) soustavy A  x = b budeme upravovat tak,
abychom dostali nějakou jinou matici (B |c), která odpovídá nové
soustavě B  x = c, přičemž tato splňuje nasledující dvě podmínky:
Poznámka VI
(a) Soustava B  x = c je ekvivalentní s původní soustavou
A  x = b, t. j. má stejnou množinu řešení.
(b) Všechna její řešení můžeme přímo vyčíst z její rozšířené matice
(B | c).
Pak říkáme, že soustava B  x = c je vyřešená.
Redukovaný tvar I
Říkáme, že prvek aij matice A  Km×n je vedoucí prvek i-tého
řádku matice A, pokud aij = 0, a j = 1 nebo ail = 0 pro všechny
1  l < j.
Jinak řečeno, vedoucí prvek nenulového řádku je první nenulový
prvek tohoto řádku.Nulový řádek nemá vedoucí prvek.
Redukovaný tvar II
Řekneme, že matice A = (aij )  Km×n je v redukovaném
stupňovitém tvaru, pokud splňuje nasledující čtyři podmínky:
(a) Je-li ri (A) = 0 a rk(A) = 0, pak i < k;
t. j. každý nenulový řádek matice A leží nad každým
jejím nulovým řádkem.
(b) Jsou-li aij , akl vedoucí prvky i-tého resp. k-tého řádku a i < k,
pak platí j < l; t. j. vedoucí prvek vyššího řádku leží více
vlevo než vedoucí prvek nižšího řádku.
Redukovaný tvar III
(c) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, pak aij = 1; t. j. vedoucí
prvek každého nenulového řádku je 1.
(d) Je-li aij vedoucí prvek i-tého řádku, tak akj = 0 pro každé
k = i; t. j. v sloupci, v kterém sa nachází vedoucí prvek
nějakého řádku, jsou všechny ostatní prvky rovné 0.
Redukovaný tvar IV
Pokud matice A splňuje pouze podmínky (a), (b), říkáme, že je v
stupňovitém tvaru. Používá se též název (redukovaný)
schodovitý tvar.
Následující matice nejsou ve stupňovitém tvaru


0 2 1
1 0 0
0 0 0






0 0 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1




Redukovaný tvar V
Matice jsou ve stupňovitém tvaru, ale nejsou v redukovaném
stupňovitém tvaru.


2 3 0 1
0 0 1 4
0 0 0 0






1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1




Redukovaný tvar VI
Matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru.


0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1






1 0 1 0
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0




Redukovaný tvar VII
Jednotková a nulová matice jsou v redukovaném stupňovitém tvaru.
Příklad
(B | c) =


1 0 -2 0 0 3
0 1 6 0 0 0
0 0 0 1 0 1


je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R.
Redukovaný tvar VIII
Tato matice odpovídá soustavě
x1 - 2x3 = 3
x2 + 6x3 = 0
x4 = 1
v neznámých x1, x2, x3, x4, x5.
Tato soustava má nekonečně mnoho řešení.
Redukovaný tvar IX
Každé volbě parametrů s, t  R zodpovídá jedno řešení
x1 = 3 + 2s
x2 = - 6s
x3 = s
x4 = 1
x5 = t.
Redukovaný tvar X
Přeznačení neznámých za parametry x3 = s, x5 = t a jejich přesun
na pravou stranu je natolik bezprostřední úprava, že soustavu
příslušnou k matici (B | c) můžeme považovat za vyřešenou.
Řešení lze napsat přímo na základě matice (B | c).
Soustavu lineárních rovnic B  x = c nad tělesem K budeme
nazývat vyřešenou soustavou, pokud její rozšířená matice (B | c)
je v redukovaném stupňovitém tvaru.
Redukovaný tvar XI
V případě homogenní soustavy se stačí omezit pouze na matici B.
Nyní ukážeme, jak můžeme k dané blokové matici (B | c)
v redukovaném stupňovitém tvaru najít všechna řešení soustavy
B  x = c.
Nejprve si ujasníme, kdy je takováto soustava řešitelná, t. j. má
alespoň jedno řešení.
Redukovaný tvar XII
Soustava B  x = c má řešení právě tehdy, když se v matici (B | c)
nenachází řádek tvaru
(0, . . . , 0
n-krát
| 1).
Takový řádek odpovídá rovnici 0 = 1, která očividně nemá řešení.
To, že nepřítomnost takovéhoto řádku je i postačující podmínkou
řešitelnosti soustavy, vyplýva z následujícího postupu, jak toto
řešení najít.
Redukovaný tvar XIII
Pokud se v j-tém sloupci matice B nenachází vedoucí prvek
žádného řádku, tak si neznámou xj zvolíme za parametr.
Pokud se v j-tém sloupci nachádzí vedoucí prvek nějakého řádku,
tak si vyjádříme neznámou xj pomocí parametrů tak, že sloupce
matice B příslušné těmto parametrům "přehodíme s opačným
znaménkem na druhou stranu".
Redukovaný tvar XIV
Příklad.
(B | c) =


1 0 0 2/3 -1/2
0 1 0 3/4 0
0 0 1 -4 -2/5
5
2
-2


je matice v redukovaném stupňovitém tvaru nad R.
Vidíme, že se v ní nenachází řádek tvaru (0, 0, 0, 0 | 1), tedy
soustava B  x = c by měla mít řešení.
Redukovaný tvar XV
Vedoucí prvky řádků matice B sa nacházají ve sloupcích 1, 2 a 3.
Za parametry si tedy zvolíme neznámé x4 a x5. Řešením soustavy je
každý vektor (x1, x2, x3, x4, x5)T  R tvaru
x1 = 5-2
3 s+1
2 t
x2 = 2-3
4 s
x3 = -2+4s+2
5 t
x4 = s
x5 = t,
Redukovaný tvar XVI
Parametry s, t  R mohou nabývat libovolné hodnoty. Zlomků u
parametrů se můžeme zbavit. Je jedno, zda si parametrické proměnné
zvolíme ve tvaru x4 = s, x5 = t nebo ve tvaru x4 = 12s, x5 = 10t,
kde s, t  R.
x1 = 5- 8s +5t
x2 = 2 -9s
x3 = -2+36s+ 4t
x4 = 12s
x5 = 10t
Při takovéto volbě
parametrů dostaneme
všechna řešení soustavy
ve tvaru bez zlomků.
ERO a ESO I
Elementární řádkovou operací (transformací), zkráceně ERO,
na matici A  Km×n rozumíme
I. Výměnu dvou řádků matice A;
II. Vynásobení některého řádku matice A nenulovým skalárem
z číselného tělesa K;
III. Přičtení skalárního násobku některého řádku matice A
k jejímu jinému řádku.
ERO a ESO II
Matice A, B  Km×n sa nazývají řádkově ekvivalentní, označení
A  B, pokud jednu z nich můžeme upravit na druhou konečným
počtem elementárních řádkových operací.
Analogické pojmy ­ elementární sloupcové operace (ESO) a
sloupcová ekvivalence matic, označení A B.
ERO a ESO III
Výměnou i-tého a k-tého řádku v matici
A =













r1(A)
...
ri (A)
...
rk(A)
...
rm(A)













dostaneme matici













r1(A)
...
rk(A)
...
ri (A)
...
rm(A)













.
ERO a ESO IV
Vynásobením i-tého řádku matice A skalárem c = 0 dostaneme
matici













r1(A)
...
cri (A)
...
rk(A)
...
rm(A)













. Vynásobením i-tého řádku této matice
skalárem c-1 = 0 získáme opět matici A.
ERO a ESO V
Přičtením c-násobku i-tého řádku matice A k jejímu k-tému řádku
z ní dostaneme matici













r1(A)
...
ri (A)
...
rk(A) + cri (A)
...
rm(A)













.
ERO a ESO VI
Všimněme si, že i-tý řádek při této úpravě zůstává nezměněný.
Matici A z této matice získáme přičtením (-c)-násobku jejího
i-tého řádku k jejímu k-tému řádku.
Poznamenejme, že, v případě výměny opětovnou výměnou i-tého a
k-tého řádku v matici vzniklé výměnou i-tého a k-tého řádku,
získame zase matici A.
ERO a ESO VII
Je-li A  x = b soustava s rozšířenou maticí (A | b) a bloková
matica (A | b ) vznikne z (A | b) provedením jedné (nezáleží které)
ERO, pak soustava A  x = b je ekvivalentní s původní soustavou
A  x = b.
ERO a ESO VIII
Elementární řádkové operace na matici (A | b) totiž odpovídají
postupné záměně pořadí dvou rovnic soustavy,
vynásobení některé rovnice nenulovým skalárem
přičtení nějakého násobku jedné rovnice k jiné rovnici.
ERO a ESO IX
Přesněji nahrazením dvojice rovnic
ri (A)  x = bi , rk(A)  x = bk
dvojicí rovnic
ri (A)  x = bi , (rk(A) + cri (A))  x = bk + cbi .
ERO a ESO X
Je-li A  x = b soustava s rozšířenou maticí (A | b) a (A | b )
rozšířená matice nové ekvivalentní soustavy A  x = b , můžeme se
od nové soustavy vhodnou ERO provedenou na její rozšířené matici
opět vrátit k původní soustavě A  x = b.
ERO a ESO XI
Tvrzení
Nechť K je těleso, A, B  Km×n
, b, c  Km
. Jsou-li blokové
matice (A | b), (B | c) řádkově ekvivalentní, pak jsou i soustavy
lineárních rovnic A  x = b, B  x = c ekvivalentní.
ERO a ESO XII
Věta
Každá matice nad číselným tělesem K je řádkově ekvivalentní
s nějakou (právě jednou) maticí v redukovaném stupňovitém tvaru.
Poznámka. Uvedený redukovaný stupňovitý tvar dané matice je
jednoznačně určený.
ERO a ESO XIII
Příklad
Je daná soustava
2x1 +3x2 - x4 = 1
3x1 +2x2 +4x3 -2x4 = 0
x1 - x2 +4x3 - x4 = 2
třech rovnic o čtyřech neznámých nad tělesem R.
ERO a ESO XIV
Její rozšířená matice je


2 3 0 -1
3 2 4 -2
1 -1 4 -1
1
0
2

 .
Při její úpravě na redukovaný stupňovitý tvar budeme vynechávat
některé mezikroky a zaznamenáme jen některé výsledky vícero
provedených ERO.
ERO a ESO XV
Poslední řádek matice dáme na první místo, potom jeho
(-2)-násobek přičteme k původnímu prvnímu řádku, který
posuneme na druhé místo, a (-3)-násobek původního posledního
řádku přičteme k původnímu druhému řádku, který posuneme na
třetí místo. Dostaneme tak matici


1 -1 4 -1
0 5 -8 1
0 5 -8 1
2
-3
-6

 .
ERO a ESO XVI
Přičtením (-1)-násobku druhého řádku k třetímu řádku dostaneme
matici 

1 -1 4 -1
0 5 -8 1
0 0 0 0
2
-3
-3

 .
Z tohoto tvaru vidíme, že soustava odpovídající poslední matici
nemá řešení ­ obsahuje totiž rovnici 0 = -3. Tedy ani původní
soustava nemá řešení.
ERO a ESO XVII
Dokončíme úpravu na redukovaný stupňovitý tvar, který dostaneme
vynásobením třetího řádku skalárem -1/3, přičtením (-2)-násobku
resp. 3-násobku tohoto nového řádku k prvnímu resp. druhému
řádku a, konečně, vynásobením druhého řádku skalárem 1/5:


1 0 12/5 6/5
0 1 -8/5 1/5
0 0 0 0
0
0
1

 .
ERO a ESO XVIII
Tvrzení
Nechť A  Km×n
, b  Km
a m < n, t. j. soustavy A  x = 0,
A  x = b obsahují méně rovnic než neznámých. Potom
(a) homogenní soustava A  x = 0 má s řešením x0 = 0 alespoň
jedno řešení x = 0;
(b) pokud existuje alespoň jedno řešení soustavy A  x = b, pak
má tato soustava více než jedno řešení.
Gaussova EM I
Dále uvedeme tzv. Gaussovu eliminační metodu řešení soustav
lineárních rovnic. Rozšířenou matici soustavy upravíme jen na
stupňovitý (tedy ne nutně redukovaný stupňovitý) tvar.
Gaussova EM II
Z tohoto tvaru můžeme snadno určit, zda má soustava nějaké
řešení (příslušná matice nesmí obsahovat řádek tvaru (0, . . . , 0 | d),
kde 0 = d  K). V tomto případě můžeme všechna řešení soustavy
získat volbou parametrů (opět si za ně volíme neznámé xj takové,
že v j-tém sloupci se nevyskytuje vedoucí prvek žádného řádku) a
zpětným dosazováním, t. j. eliminací neznámých pomocí
parametrů.
Gaussova EM III
Příklad
Předpokládejme, že rozšířenou matici nějaké soustavy nad R jsme
si pomocí ERO upravili na stupňovitý tvar


0 2 3 0 -1 4
0 0 0 -2 5 4
0 0 0 0 3 1
1
0
4

 .
Gaussova EM IV
Tato matice odpovídá soustavě
2x2 +3x3 - x5 +4x6 = 1
-2x4 +5x5 +4x6 = 0
3x5 + x6 = 4.
Za parametry si zvolíme proměnné x1, x3 a x6.
Gaussova EM V
Zpětným dosazováním postupně dostaneme všechna řešení
v parametrickém tvaru
x6 = t
x5 = 1
3 (4 - x6) = 4
3 - 1
3 t
x4 = 1
2 (5x5 + 4x6) = 10
3 - 7
6 t
x3 = s
x2 = 1
2 (1 - 3x3 + x5 - 4x6) = 7
6 - 3
2 s - 13
6 t
x1 = r,
kde r, s, t  R.
Gaussova EM VI
Případně, po trochu "vhodnější" volbě parametrů, bude řešení
v tvaru
x6 = 6t,
x5 = 4
3 - 2t,
x4 = 10
3 - 7t,
x3 = 2s,
x2 = 7
6 - 3s + 13t,
x1 = r.
Gaussova EM VII
Zpětné dosazování můžeme nahradit další úpravou rozšířené matice
soustavy pomocí ERO na redukovaný stupňovitý tvar.
Stačí totiž vynásobit nenulové řádky převrácenými hodnotami jejich
vedoucích prvků a přičtením vhodných násobků těchto řádků
vynulovat zbývající nenulové prvky ve sloupcích obsahujících
vedoucí prvky jednotlivých řádků.
Gaussova EM VIII
Gaussova eliminační metoda je užitečná zejména tehdy, pokud nám
nejde ani tak o explicitní tvar řešení, ale spíše o samotnou otázku
řešitelnosti soustavy, případně o počet parametrů, které se v nich
vyskytují.
Toto vše je možné zjistit už na základě nějaké matice
ve stupňovitém tvaru, která je řádkově ekvivalentní s původní
rozšířenou maticí soustavy. V tomto případě si tedy můžeme
odpustit další úpravu na redukovaný stupňovitý tvar i zpětné
dosazování.