Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 1 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Zuzana Došlá -- Ondřej Došlý Metrické prostory Teorie a příklady Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 2 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec P ŘEDMLUVA Tato skripta vznikla na základě zkušeností v odborném a učitelském studiu v le- tech 1982­1995 na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity. Nejde pouze o zkušenosti z výuky metrických prostorů, které jsou probírány před diferenciál- ním počtem funkcí více proměnných, ale i o zkušenosti z jiných partií matema- tické analýzy. Odráží se v nich potřeba vést studenty k tomu, aby viděli souvis- losti mezi různými partiemi matematické analýzy (např. odvození definice spo- jité funkce jedné a více proměnných jako speciální případ spojitého zobrazení mezi metrickými prostory), příp. jiných disciplín (např. použití Banachova prin- cipu v numerických metodách, při důkazu existence a jednoznačnosti řešení dife- renciálních rovnic). V tomto duchu jsou psána celá skripta. Ta -- jak věříme -- mohou být užitečná jak pro studenty odborného studia, kteří si budou vybírat ob- tížnější a z hlediska metrických prostorů zajímavější příklady, tak pro studenty učitelského studia, pro něž jsou zařazeny příklady se středoškolskou tematikou. Látka obsažená v těchto skriptech je rozdělena do sedmi kapitol. Kapitoly jsou členěny do odstavců, na konci každého odstavce jsou cvičení (obtížné pří- Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 3 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec klady ve cvičení jsou označeny hvězdičkou); výsledky k nim lze najít v závěru textu. Skripta jsou určena pro posluchače odborného studia matematiky, fyziky a informatiky a pro posluchače učitelského studia matematiky. Snahou autorů bylo vytvořit text, který čtenáře seznámí s některými základy funkcionální ana- lýzy a topologie a ukáže jim zajímavost a krásu těchto abstraktních disciplín. Toto vydání se liší od předcházejících po formální a jazykové stránce; text byl vysázen pomocí sázecího systému TEX ve formátu LATEX2, obrázky byly připraveny programem METAPOST. Videozáznamy přednášek jsou k dispozici na webových stránkách autorů (http://www.math.muni.cz/~dosla/). Jazyková korektura byla provedena v nakladatelství Konvoj. Brno, listopad 2006 Autoři Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 4 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec OBSAH P ŘEDMLUVA 2 I METRICKÝ PROSTOR 7 I.1 Pojem metriky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 I.2 Vzdálenost množin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 I.3 Izometrické zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II KONVERGENCE, OTEV ŘENÉ A UZAV ŘENÉ MNOŽINY 33 II.1 Konvergentní posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 II.2 Uzavřené množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.3 Otevřené množiny, okolí bodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III ÚPLNÉ A KOMPAKTNÍ PROSTORY 51 III.1 Úplný metrický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III.2 Úplný obal metrického prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 5 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec III.3 Kompaktní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 IV ZOBRAZENÍ METRICKÝCH PROSTOR Ů 68 IV.1 Spojitá zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 IV.2 Kontrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 IV.3 Spojitá zobrazení kompaktních prostorů . . . . . . . . . . . . . 79 V BANACH ŮV PRINCIP PEVNÉHO BODU A JEHO POUŽITÍ 82 V.1 Banachův princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 V.2 Cauchyova úloha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 V.3 Systém lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 VI DALŠÍ VLASTNOSTI METRICKÝCH PROSTOR Ů 99 VI.1 Souvislé metrické prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 VI.2 Separabilní prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 VI.3 Homeomorfní zobrazení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 VI.4 Kompaktní množiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 VI.5 Závěrečná cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 VII TOPOLOGICKÉ, NORMOVANÉ A UNITÁRNÍ PROSTORY 116 VII.1 Nerovnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 VII.2 Topologický prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 VII.3 Normované lineární prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 VII.4 Unitární prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 NÁVODY A VÝSLEDKY CVI ČENÍ 131 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 6 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec LITERATURA 143 REJST ŘÍK 145 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 7 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola I METRICKÝ PROSTOR Pojem vzdálenosti známe z každodenního života. Uved'me si několik příkladů. Ve městě, kde ulice tvoří pravoúhlou sít' -- představme si např. newyorskou čtvrt' Manhattan -- máme za úkol dopravovat zboží z obchodu k jednotlivým zákazníkům. K dispozici máme bud' vrtulník (je možno přistávat na střechách domů), nebo nákladní auto. Je zřejmé, že chceme-li minimalizovat dopravní ná- klady, v prvním případě nás zajímá vzdušná vzdálenost (tj. délka úsečky mezi dvěma body), ve druhém případě délka lomené čáry vedoucí ulicemi města. Jako druhý příklad uvažujme dvě vzdálená města na zeměkouli, např. Prahu a Tokio. V tomto případě vzdušnou vzdáleností těchto dvou měst rozumíme délku hlavní kružnice zemského povrchu určené těmito městy (pro jednoduchost před- pokládáme, že naše planeta má tvar koule, pak hlavní kružnicí na zemském po- Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 8 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec vrchu určenou dvěma body rozumíme průsečík kulové plochy s rovinou určenou těmito body a středem koule). V obou předchozích příkladech měl pojem vzdálenosti geometrický význam -- znamenal délku nějaké křivky. S pojmem vzdálenost se však můžeme setkat i tam, kde vůbec nemá geometrický význam. Mluvíme například o blízkých a vzdálených příbuzných, je tedy vlastně dáno pravidlo určující ,,vzdálenost" na množině navzájem spřízněných lidí. Kromě výše uvedených každodenních příkladů se můžeme s pojmem vzdá- lenosti nějakých objektů setkat všude tam, kde je třeba kvantitativně (tj. pomocí nějaké číselné veličiny) charakterizovat, jak jsou si tyto objekty podobné. V tomto smyslu můžeme např. v chemii mluvit o blízkých chemických sloučeninách, v ma- tematice můžeme pomocí blízkosti reálných funkcí měřit přesnost aproximace funkce pomocí Taylorova mnohočlenu apod. Odhlédneme-li v našich příkladech od podstaty prvků, jejichž vzdálenost vy- šetřujeme, můžeme najít následující tři obecné rysy, které jsou pro všechny vzdá- lenosti společné. Tím se dostáváme k definici metriky a metrického prostoru. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 9 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec I.1. Pojem metriky Necht' R označuje množinu reálných čísel, R+ množinu nezáporných reálných čísel a Rn množinu uspořádaných n-tic reálných čísel. Definice 1.1. Metrickým prostorem nazýváme dvojici (P, ), kde P je libovolná neprázdná množina a zobrazení : P × P R+ splňuje pro každé x, y, z P následující tři axiomy: (M1) (x, y) = 0 právě když x = y (axiom totožnosti); (M2) (x, y) = (y, x) (axiom symetrie); (M3) (x, y) + (y, z) (x, z) (trojúhelníková nerovnost). Zobrazení nazýváme metrikou na P, prvky množiny P obvykle nazýváme body prostoru (P, ), číslo (x, y) nazýváme vzdáleností bodů x, y v prostoru (P, ). V následujících příkladech a cvičeních zavedeme nejužívanější metrické pro- story, se kterými budeme pracovat v dalších kapitolách. Příklady 1.2. i) Euklidovský prostor En . Ve středoškolské matematice se nejčastěji setká- váme s pojmem vzdálenost ve smyslu délky úsečky mezi dvěma body ve dvoj a trojrozměrném prostoru. Například pro body A = [a1, a2, a3], B = = [b1, b2, b3] v R3 je tato vzdálenost rovna (A, B) = (a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 + (a3 - b3)2. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 10 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Tento vztah můžeme rozšířit i pro n-rozměrný prostor P = Rn , přičemž pro A = [a1, . . . , an], B = [b1, . . . , bn] Rn definujeme (A, B) = n k=1 (ak - bk)2 . Takto definovaná funkce na Rn × Rn splňuje všechny tři axiomy z Definice 1.1, nazývá se euklidovská metrika a v dalším textu ji budeme značit 2. Metrický prostor (Rn , 2) označujeme En . Platnost prvních dvou axiomů je triviální. Trojúhelníková nerovnost je dů- sledkem obecnější nerovnosti -- tzv. Minkowského nerovnosti (viz odsta- vec VII.1), jejímž důsledkem je nerovnost n k=1 (xk + yk)2 n k=1 x2 k + n k=1 y2 k , která platí pro každé xk, yk R, k = 1, . . . , n. Jsou-li nyní A = [a1, . . . , an], B = [b1, . . . , bn], C = [c1, . . . , cn] Rn a dosadíme-li do předchozí nerov- nosti xk = (ak - bk), yk = (bk - ck), dostáváme nerovnost n k=1 (ak - ck)2 n k=1 (ak - bk)2 + n k=1 (bk - ck)2 , což je trojúhelníková nerovnost 2(A, C) 2(A, B) + 2(B, C). Poznamenejme, že pro n = 1 plyne trojúhelníková nerovnost ihned z ne- rovnosti |x + y| |x| + |y|. Pro n = 2 lze také dokázat trojúhelníkovou Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 11 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec nerovnost pomocí kosinové věty, podle níž platí b2 = a2 + c2 - 2ac cos , kde a, b, c jsou délky stran trojúhelníka ABC, AB = c, BC = a, AC = b a je úhel při vrcholu B. Užitím této věty dostáváme (a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = b2 + 2ac(cos + 1) b2 , odkud okamžitě plyne a + c b, tj. 2(B, C) + 2(A, B) 2(A, C). ii) Diskrétní (triviální) metrický prostor. Necht' P = . Funkce definovaná na P2 = P × P vztahem (x, y) = 1, pro x = y, 0, pro x = y, je metrika na P (tzv. triviální nebo také diskrétní metrika), metrický prostor s touto metrikou se nazývá diskrétní metrický prostor. iii) Další metriky na Rn . Pro x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) Rn definujme 1(x, y) = n k=1 |xk - yk| (součtová metrika), (x, y) = max 1kn |xk - yk| (maximální metrika). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 12 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Takto definované funkce jsou metrikami na Rn . Platnost axiomů (M1), (M2) je zřejmá. Dále platí 1(x, y) + 1(y, z) = n k=1 |xk - yk| + n k=1 |yk - zk| = = n k=1 (|xk -yk|+|yk -zk|) n k=1 |xk -yk +yk -zk| = 1(x, z). V případě met- riky dostáváme (x, y)+(y, z) = max 1kn |xk -yk|+ max 1kn |yk - zk| max 1kn (|xk - yk|+|yk -zk|) max 1kn |xk - yk + yk -zk| = (x, z), v obou případech tedy platí i trojúhelníková nerovnost. Všimněme si, že pro n = 1 jsou metriky 1 i totožné s euklidovskou me- trikou 2. Je-li n = 2, je metrika 1 právě rozhodující při dopravě nákladním autem v úvodním příkladu (z tohoto důvodu se jí také někdy říká taxíkářská metrika. x y 1 2 1 2 A B 1 a) x y 1 2 1 2 A B 2 b) x y 1 2 1 2 A B c) Obrázek 1: Vzdálenost bodů A, B v metrikách 1, 2, Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 13 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iv) Metriky na množině spojitých funkcí. Necht' C[a, b] značí množinu reálných funkcí spojitých na intervalu [a, b]. Pro f, g C[a, b] definujme c( f, g) = max x[a,b] | f (x) - g(x)|, I ( f, g) = b a | f (x) - g(x)| dx. Takto definované funkce na C[a, b] jsou metrikami. V případě metriky c je ověření axiomů (M1) a (M2) triviální, a jsou-li f, g, h C[a, b], pak c( f, g) + c(g, h) = max x[a,b] | f (x) - g(x)| + max x[a,b] |g(x) - h(x)| max x[a,b] {| f (x) - g(x)| + |g(x) - h(x)|} max x[a,b] {| f (x) - g(x) + + g(x) - h(x)|} = max x[a,b] | f (x) - h(x)| = c( f, h), čímž je dokázána trojúhelníková nerovnost. Tuto metriku budeme v dalším nazývat metrikou stejnoměrné konvergence; zdůvodnění této terminologie ukážeme v následující kapitole o konvergenci, viz Příklad 2.3 iii). Pro metriku I (tuto metriku budeme nazývat integrální metrikou) je pod- mínka (M2) splněna triviálně. Abychom dokázali platnost (M1), musíme ukázat, že z rovnosti b a | f (x)-g(x)|dx = 0 plyne f (x) g(x). Předpoklá- dejme, že existuje c [a, b] tak, že f (c) = g(c). Protože | f - g| C[a, b], existuje d > 0 a okolí bodu c ležící v [a, b] tak, že | f (x)-g(x)| > d v tomto Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 14 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec a b g f a) v metrice c a b g f b) v metrice I Obrázek 2: Vzdálenost funkcí f, g v metrikách c a I okolí. Označíme-li [a1, b1] průnik tohoto okolí s intervalem [a, b], pak b a | f (x) - g(x)| dx b1 a1 | f (x) - g(x)| dx > d(b1 - a1) > 0, což je spor, a tedy f (x) g(x) na intervalu [a, b]. Jsou-li f, g, h C[a, b], pak I ( f, g) + I (g, h) = b a | f (x) - g(x)| dx + b a |g(x) - h(x)| dx = = b a | f (x) - g(x)| + |g(x) - h(x)| dx Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 15 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec b a | f (x) - g(x) + g(x) - h(x)| dx = = b a | f (x) - h(x)| dx = I ( f, h). v) Metrika na kružnici. Necht' P je jednotková kružnice v rovině a pro A = = [a1, a2], B = [b1, b2] P (tj. a2 1 + a2 2 = b2 1 + b2 2 = 1) definujme (A, B) = délka kratšího z oblouků kružnice mezi body A, B (analyticky (A, B) = arccos A, B = arccos(a1b1 + a2b2), kde A, B značí skalární součin vektorů určených body A, B). Platnost prvních dvou axiomů je opět triviální, a platnost třetího lze nejsnáze ověřit nakreslením obrázku a rozborem všech možných poloh trojice bodů vystupujících v troj- úhelníkové nerovnosti. Máme-li např. určit množinu všech bodů [x, y] P, které mají v této metrice vzdálenost od bodu [1, 0] menší než 3 , dosadíme do analytického vzorce pro vzdálenost [a1, a2] = [1, 0], [b1, b2] = [x, y] a dostaneme arccos x < 3 , tj. x 1 2 , 1 a y = 1 - x2. vi) Metrika na prostoru ohraničených posloupností. Označme l množinu ohra- ničených posloupností reálných čísel a pro x = {xn} 1 , y = {yn} 1 l definujme (x, y) = sup kN |xk - yk|. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 16 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Takto definovaná funkce je metrikou na l, nebot' platnost axiomů (M1), (M2) je opět triviální a pro každé x, y, z l platí (x, y) + (y, z) = sup kN |xk - yk| + sup kN |yk - zk| sup kN (|xk - yk| + |yk - zk|) sup kN |xk - zk| = (x, z). vii) Baireův1 metrický prostor. Necht' P je množina posloupností a = {an} 1 , b = = {bn} 1 , kde an, bn N. Definujme (a, b) = 1 , kde je nejmenší index takový, že a = b, pro a = b, 0, pro a = b. Pak (a, b) je metrika na P. Platnost axiomů (M1), (M2) je zřejmá. Necht' a = {an} 1 , b = {bn} 1 , c = {cn} 1 P. Je-li (a, b) = 0 i (b, c) = 0, pak a = b, b = c a (a, c) = 0, tedy trojúhelníková nerovnost platí. Je- -li (a, b) = 0, (b, c) = 1/l,l N, pak a = b a (a, c) = 1/l, po- dobně platí trojúhelníková nerovnost v případě (a, b) = 0 a (b, c) = 0. Konečně necht' (a, b) = 1/k, (b, c) = 1/m, k, m N. Pak ai = bi , i = 1, . . . , k - 1, ak = bk, bi = ci , i = 1, . . . , m - 1, bm = cm. Je-li n0 = min{k, m}, pak ai = ci , i = 1, . . . , n0 - 1, a tedy (a, c) 1/n0. Celkem (a, b) + (b, c) = 1/k + 1/m 1 min{k,m} = 1/n0 (a, c). 1R. Baire byl významným představitelem francouzské matematické školy z přelomu 19. a 20. století. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 17 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec viii) Metrika na množině slov. Necht' M je množina všech slov skládajících se z n písmen, kde n je nějaké přirozené číslo (k tomu, zda dané slovo má, nebo nemá význam v českém jazyce, nepřihlížíme). Vzdáleností dvou slov A, B je počet pozic, na kterých mají tato slova různá písmena. Např. pro n = 5 je (mladý, mladá) = 1, (mladý, slabý) = 2 atd. Není obtížné ověřit, že tato funkce je opravdu metrikou (platnost (M1), (M2) je opět triviální a platnost trojúhelníkové nerovnosti lze ukázat poměrně jednoduchou úvahou). Met- riky tohoto typu na množině n-tic nějakých prvků mají široké použití v che- mii a biologii. ix) Necht' f je rostoucí reálná funkce definovaná na intervalu [0, ) taková, že f (0) = 0 a platí jedna z podmínek: a) f (x + y) f (x) + f (y) pro x, y 0 (tj. f je subaditivní funkce), b) f (x + (1 - )y) f (x) + (1 - ) f (y) pro x, y 0, [0, 1] (tj. f je konkávní funkce). Pak (x, y) = f (|x - y|) je metrika na R. Platnost axiomů (M1), (M2) je zřejmá a trojúhelníková nerovnost se dokáže následovně: a) Pro x, y, z R platí (x, y) + (y, z) = f (|x - y|) + f (|y - z|) f (|x - y| + |y - z|) f (|x - y + y - z|) = f (|x - z|) = (x, z). b) Vzhledem k předchozímu příkladu stačí dokázat, že z konkávnosti f plyne subaditivita. Necht' x, y > 0 (případy, kdy x = 0 nebo y = 0 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 18 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec jsou triviální). Pak z konkávnosti funkce f dostáváme f (y) = f 0 x x + y + 1 - x x + y (x + y) x x + y f (0) + y x + y f (x + y) = y x + y f (x + y). Podobně f (x) x x + y f (x + y). Sečtením obou nerovností dostáváme subaditivitu funkce f . Poznámka 1.3. Metrika na dané množině P je tedy definována axiomaticky -- je to libovolná nezáporná funkce na kartézském součinu P × P splňující axiomy (M1)­(M3), přičemž, jak jsme viděli v předchozích příkladech, množina P může být libovolná neprázdná množina. Jako u každé axiomatické definice je třeba uká- zat, že tato definice je korektní, tj. systém axiomů je nezávislý a bezesporný. Beze- spornost axiomů (tj. skutečnost, že platnost některých dvou z axiomů (M1)­(M3) nevylučuje platnost třetího) jsme již ukázali předchozími příklady. Nezávislost axiomů (tj. skutečnost, že z platnosti některých dvou neplyne třetí) lze rovněž do- kázat konstrukcí vhodných příkladů, viz následující Cvičení 1.4 x). Poznamenejme, že metriku lze ekvivalentně definovat ,,úspornějším" systé- mem axiomů -- jako libovolnou reálnou funkci splňující pro každé x, y, z P dvojici podmínek: (M1) (x, y) = 0 právě když x = y; (M2) (y, x) + (y, z) (x, z). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 19 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Ukažme, že tato definice je opravdu ekvivalentní Definici 1.1. Z platnosti podmínek (M1)­(M3) triviálně plyne platnost podmínek (M1) , (M2) . Necht' platí (M1) a (M2) . Položíme-li v (M2) x = z, využitím (M1) dostáváme 0 = (x, x) 2(y, x), tedy je nezáporná funkce. Položíme-li v (M2) y = z, dostáváme (x, y) (y, x) pro každé x, y P. Protože x, y jsou libovolná, můžeme je zaměnit, tedy zároveň (y, x) (x, y), odtud plyne platnost (M2). Konečně, protože platí (M2), plyne z (M2) platnost trojúhelníkové nerovnosti. Přestože definice pomocí axiomů (M1) , (M2) je úspornější než pomocí axi- omů z Definice 1.1, v tomto textu (podobně jako v jiných učebnicích zabývajících se metrickými prostory) budeme používat výhradně axiomatiku z Definice 1.1, především proto, že je názornější a více vyniká analogie metriky na obecném me- trickém prostoru se vzdáleností v euklidovském prostoru. Cvičení 1.4. i) Určete vzdálenost bodů A = [0, 1] a B = [1, 2] v součtové, euklidovské a maximální metrice. ii) Načrtněte v rovině ,,jednotkové kružnice" Ki = {[x, y] R2 : i ([x, y], [0, 0]) = 1}, kde i = 1, 2, . iii) Určete vzdálenost následujících funkcí v metrice c a I : a) f (x) = x, g(x) = x, x [0, 1]; b) f (x) = x, g(x) = ln x, x [1, e]. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 20 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iv) Necht' P = R. Ověřte, že následující funkce P × P R jsou metriky: a) (x, y) = ln(1 + |x - y|); b) (x, y) = |x - y| 1 + |x - y| ; c) (x, y) = |x - y|. v) Metrika na kouli. Necht' P = S2 je jednotková kulová plocha v R3 . Hlavní kružnicí kulové plochy S2 rozumíme libovolnou kružnici, která vznikne jako průsečík kulové plochy a roviny jdoucí středem koule. Je-li A, B S2 , de- finujme (A, B) = ,,délka kratšího z oblouků hlavní kružnice určené body A, B". Dokažte, že takto definovaná funkce je metrika, a odvod'te explicitní vzorec pro (A, B), je-li A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3]. vi) Stereografická projekce. Necht' P = [x, y, z] R3 : x2 + y2 + z - 1 2 2 = = 1 4 , z = 1 (kulová plocha bez severního pólu). Definujme f : P R2 takto: Je-li A P, je f (A) R2 průsečík přímky spojující bod A a bod [0, 0, 1] s podstavnou rovinou z = 0 (toto zobrazení se nazývá stereografická projekce). Nyní definujme pro A, B P (A, B) = 2( f (A), f (B)), kde 2 je euklidovská metrika v rovině z = 0, viz obr. 3. Dokažte, že takto definovaná funkce je metrika, a odvod'te explicitní vzorec pro (A, B). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 21 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec y z S O A B f (A)f (B) (A, B) Obrázek 3: Stereografická projekce v rovině x = 0 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 22 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec vii) Pampeliškový prostor. Necht' P = R2 a pro A = [a1, a2], B = [b1, b2] P definujme (A, B) = (a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 leží-li A, B na stejné polopřímce jdoucí počátkem, a2 1 + a2 2 + b2 1 + b2 2 v opačném případě. a) Dokažte, že je metrika. (Tato metrika nás bude zajímat ve městě, kde ulice vycházejí paprskovitě z jednoho místa a nejsou navzájem pospojo- vány.) b) Určete v tomto prostoru ,,kružnice" K ([a, b];r) = {[x, y] R2 : ([x, y], [a, b]) = r}. Proved'te diskusi vzhledem k a, b,r. viii) Prostor lp. Necht' p [1, ) a lp je množina reálných posloupností x = = {xn} n=1, pro něž nekonečná řada k=1 |xk|p konverguje.1 Pro x, y lp defi- nujme p(x, y) = k=1 |xk - yk|p 1/p . a) Dokažte, že takto definovaná funkce je metrika na lp. 1Tj. existuje konečná limita posloupnosti částečných součtů sn = n k=1 |xk|p. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 23 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec b) Určete vzdálenost posloupnosti {xn} = {2-n } od nulové posloupnosti v prostorech l a lp. ix) p-adická metrika na množině celých čísel. Necht' n, m jsou celá čísla a necht' p je předem zvolené prvočíslo. Definujme (n, m) = p-r , kde pr je nejvyšší mocnina čísla p, kterou je dělitelné číslo |n - m|, při- čemž je-li n = m, definujeme (n, m) = 0. Takto definovaná metrika se nazývá p-adická a má mnoho aplikací v teorii čísel.1 a) Určete vzdálenost čísel 11 a 5, 16 a 6, 60 a 10 v 5-adické metrice. b) Určete všechna n Z, která jsou v 7-adické metrice vzdálena od čísla n0 = 10 o méně než 1/50. x) Na kartézském čtverci tříprvkové množiny P = {a, b, c} definujte nezáporné reálné funkce d1, d2, d3 tak, aby byly vždy splněny pouze dvě z podmínek (M1)­(M3) a třetí nikoliv. 1Další informace o p-adické metrice a p-adických číslech lze nalézt např. v knize Z. I. Borevič, I. R. Šafarevič: Teorija čisel, Nauka, Moskva 1985. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 24 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Definice 1.5. Necht' (P, ) je metrický prostor, A P. Definujme na množině A metriku takto: (x, y) = (x, y) pro každé x, y A. Řekneme, že metrický prostor (A, ) je vnořen do prostoru (P, ) a metrika je indukována metrikou . Příklady 1.6. i) Uvažujeme-li R jako podmnožinu R2 (tj. reálná čísla ztotožníme s dvojicemi reálných čísel tvaru [a, 0]), pak každá z metrik i , i = 1, 2, , na R2 indukuje euklidovskou metriku na R. ii) Necht' B(I) značí množinu reálných funkcí, které jsou ohraničené na intervalu I R. Pro funkce f, g B(I) definujeme ( f, g) = sup xI | f (x) - g(x)|. Takto definovaná funkce je metrikou (ověřte!), která na C[a, b], kde [a, b] I, indukuje metriku stejnoměrné konvergence c z Příkladu 1.2 iv). K důkazu této skutečnosti je třeba si uvědomit, že podle první Weierstrassovy věty je C[a, b] B[a, b] a podle druhé Weierstrassovy věty platí pro spojité funkce f, g sup x[a,b] | f (x) - g(x)| = max x[a,b] | f (x) - g(x)|. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 25 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) Metrika z prostoru E3 indukuje na jednotkové kulové ploše S2 metriku, která je různá od metriky ze Cvičení 1.4 v). Indukovaná metrika z E3 odpovídá ,,prokopání nejkratšího tunelu" mezi body na kulové ploše. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 26 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec I.2. Vzdálenost množin Definice 1.7. Necht' (P, ) je metrický prostor. Pro = A, B P definujeme (A, B) = inf{(x, y), x A, y B} d(A) = sup{(x, y), x, y A}. Jestliže množina {(x, y), x, y A} není shora ohraničená, klademe d(A) = . Číslo (A, B) se nazývá vzdálenost množin A, B, d(A) se nazývá průměr množiny A. Je-li b P, vzdálenost bodu b od množiny A definujeme vztahem (b, A) = ({b}, A). Všimněme si, že v metrickém prostoru E2 (což je prostor (R2 , 2)) je tato de- finice vzdálenosti bodu od množiny shodná s definicí vzdálenosti bodu od přímky, kružnice apod. Je-li A kruh v rovině, je d(A) jeho průměr. Poznamenejme, že je třeba nezaměňovat vzdálenost funkcí f, g v prostoru (C[a, b], c) a vzdálenost množin A = {[x, f (x)] : x [a, b]} a B = {[x, g(x)] : x [a, b]} v E2 . Například pro funkce f, g z obr. 2 a) je tato vzdálenost množin A, B rovna nule. Definice 1.8. Množina A P se nazývá omezená nebo také ohraničená, jestliže d(A) < . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 27 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec x y P y = -x 1 = 1 a) x y P y = -x 2 = 2 2 b) x y P y = -x = 1 2 c) Obrázek 4: Vzdálenost bodu od přímky v metrikách 1, 2, Příklady 1.9. i) Určete vzdálenost bodu P = [0, 1] od přímky y = -x v součtové, euklidov- ské a maximální metrice. Řešení. Uvědomíme-li si, jak vypadají množiny bodů mající od bodu P stej- nou vzdálenost, můžeme úlohu řešit v grafickém znázornění. ii) Určete vzdálenost přímky y = c, c 0, od paraboly y = x2 - 2x + 1 v metrikách 1, 2, . Řešení. Z polohy paraboly vidíme, že vzdálenost přímky y = c od této para- boly je ve všech třech metrikách rovna |c|. (Porovnejte tento výsledek s vý- sledkem Cvičení 1.4 ii) a všimněte si, že každý z bodů [x, c], x [1+c, 1-c] má v metrice od paraboly vzdálenost rovnu c.) Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 28 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) Necht' M = {(x, y) E2 : y |x|3}. Určete euklidovskou vzdálenost bodu A = 1 2 , 0 od množiny M. Řešení. Je-li X = [x, y], pak 2(A, X) = x - 1 2 2 + y2 . Hledáme-li bod N M, pro který (A, M) = (A, N), je zřejmé, že stačí omezit se na body ležící na křivce y = |x|3. Budeme tedy hledat minimum funkce f (x) = = x - 1 2 2 + |x|3 . Platí: f (x) = 2 x- 1 2 +3x2 2 x- 1 2 2 +|x|3 pro x 0, 2 x- 1 2 -3x2 2 x- 1 2 +|x|3 pro x < 0. Rovnice f (x) = 0 má jediný kořen x0 = 1/3 (ověřte!). Protože f (x) existuje na celém R, je x0 = 1/3 jediným lokálním extrémem, a vzhledem k tomu, že lim x f (x) = , je zde (absolutní) minimum (nemusíme tedy počítat f ). Dosazením dostáváme f (1/3) = 2(A, M) = 7/108. iv) Necht' M = {(x, y), y + bx 0}, kde b 0 je reálný parametr. Určete vzdálenost bodu A = [3, 2] od množiny M v součtové metrice 1. Řešení. Na rozdíl od analytického řešení předchozího příkladu tento příklad vyřešíme geometrickou úvahou. Množina křivek 1(M, A) = r, r 0 tvoří systém ,,soustředných" čtverců, které jsou dány rovnicemi |x - 3| + |y - - 2| = r. Tyto čtverce mají středy v bodě A, délku úhlopříčky 2r a jejich Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 29 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec strany svírají se souřadnými osami úhly /4. Označme tyto čtverce Kr . Pokud r je takové, že Kr M = , je (A, M) > r. Naopak je-li Kr M = = , je (A, M) r. Tedy (A, M) = min{r 0, Kr M = }. Je-li b [0, 1), dotkne se některý z čtverců Kr přímky y = -bx poprvé svým dolním vrcholem, je-li b (1, ), první dotyk nastane levým vrcholem. Je-li b = 1, dotkne se čtverec přímky y = -x celou svou stranou (nakreslete si obrázek). V prvním případě je tedy dotyk v bodě [3, -3b], tj. (A, M) = 2+ + 3b, v druhém případě je dotyk v bodě [-2/b, 2], tj. (A, M) = 3 + 2/b. Je-li b = 1, je (A, M) = 3 + 2 = 5. v) Necht' A = { f (x) = xn , x [0, 1], n N} C[0, 1]. Určete d(A) v met- rice c. Řešení. Protože 0 f (x) 1 pro každé f A, platí d(A) 1 (načrtněte si grafy funkcí xn ). Pro n 2 spočtěme c(x, xn ) = max x[0,1] |x - xn |. Protože x -xn 0 a v krajních bodech x = 0, x = 1 je tato funkce rovna 0, spočtěme její funkční hodnoty ve stacionárních bodech: (x - xn ) = 1 - nxn-1 = 0, odtud x = 1 n 1 n-1 . Tedy (x, xn ) = 1 n 1 n-1 - 1 n n n-1 . Protože lim n 1 n 1 n-1 = 1, lim n 1 n n n-1 = 0, dostáváme d(A) sup nN c(x, xn ) = 1, tedy d(A) = 1. Cvičení 1.10. i) Určete vzdálenost bodu A = [6, 6] a bodu B = [3, 6] od kružnice x2 + y2 = = 25 v součtové metrice 1. ii) Pro množinu A z Příkladu 1.9 v) určete d(A) v metrice I . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 30 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) Necht' P = S2 je jednotková kulová plocha v R3 s obvyklou metrikou na zeměkouli (tj. s metrikou ze Cvičení 1.4 v)), A je severní polokoule včetně rovníku. Určete vzdálenost bodu X P ležícího na jižní polokouli od mno- žiny A. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 31 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec I.3. Izometrické zobrazení Jednoduchým příkladem zobrazení, se kterým se setkáváme ve středoškolské matematice, je zobrazení mezi euklidovskými prostory zachovávající vzdálenost bodů. Uved'me jeho definici pro libovolné metrické prostory. Definice 1.11. Necht' (P1, 1), (P2, 2) jsou metrické prostory. Zobrazení f : P1 P2 se nazývá izometrické, jestliže pro každé x, y P1 2( f (x), f (y)) = 1(x, y). Poznamenejme, že izometrické zobrazení je injektivní. Je-li surjektivní, exis- tuje k němu inverzní zobrazení definované na P2, které je rovněž izometrické. Proto pomocí izometrických zobrazení lze objekty zkonstruované v jedné metrice přenášet do druhé metriky. Příklady 1.12. i) Shodná zobrazení E2 E2 (posunutí, osová souměrnost, středová souměr- nost, otočení), která známe ze středoškolské geometrie, jsou izometrická zob- razení z E2 E2 . ii) Necht' P je množina všech 2 × 2 matic majících nuly na hlavní diagonále. Pro A = 0 a1 a2 0 B = 0 b1 b2 0 definujeme (A, B) = (a1 - b1)2 + (a2 - b2)2. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 32 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Pak (P, ) je metrický prostor (dokažte si!). Je-li R a definujeme-li zob- razení T : P E2 takto: 0 a1 a2 0 [a1 cos + a2 sin , -a1 sin + a2 cos ], pak T je izometrické zobrazení. Tato skutečnost plyne z výpočtu 2(T(A), T(B)) = [(a1 cos + a2 sin - b1 cos - b2 sin )2 + + (a2 cos - a1 sin + b1 sin - b2 cos )2 ] 1 2 = = [(a1 - b1)2 + (a2 - b2)2 ] 1 2 = (A, B). Cvičení 1.13. i) Necht' P = C[-1, 1] a necht' F : P P je pro f C[-1, 1] definováno předpisem F( f (x)) = f (-x). Dokažte, že F je izometrické zobrazení P do sebe jak v metrice c, tak i v metrice I . ii) Necht' zobrazení F : l2 l2 je definováno pro x = {xk} k=1 předpisem F(x) = {0, x1, x2, . . . }. Rozhodněte, zda F je izometrické zobrazení l2 do sebe. iii) Určete konstantu k tak, aby zobrazení F definované předpisem F( f (x)) = = k f (x3 ) bylo izometrické zobrazení prostoru (C[-1, 1], I ) na prostor C[-1, 1] s metrikou ( f, g) = 1 -1 x2 | f (x) - g(x)| dx (dokažte, že je to opravdu metrika). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 33 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola II KONVERGENCE, OTEV ŘENÉ A UZAV ŘENÉ MNOŽINY Z diferenciálního počtu známe pojem konvergentní posloupnost. Obdobně mů- žeme tento pojem definovat v libovolném metrickém prostoru. Zavedení tohoto pojmu umožňuje popsat řadu vlastností metrických prostorů. V této kapitole se zaměříme na studium otevřených a uzavřených množin, které jsou zobecněním otevřených a uzavřených intervalů v E1 (odst. II.2 a II.3). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 34 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec II.1. Konvergentní posloupnost Definice 2.1. Necht' {xn} 1 je posloupnost bodů v metrickém prostoru (P, ).1 Řekneme, že posloupnost {xn} 1 konverguje k bodu x0 P (je konvergentní, má limitu x0), a píšeme xn x0, jestliže (xn, x0) 0 pro n , tj. ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n > n0 je (xn, x0) < . Je-li třeba zdůraznit, v jaké metrice posloupnost konverguje, pí- šeme xn x0. Řekneme, že posloupnost {xn} 1 je cauchyovská, jestliže (xm, xn) 0 pro min{m, n} , tj. ke každému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé m, n > n0 je (xm, xn) < . V případě metrického prostoru E1 jsou tyto definice totožné s definicí konver- gentní a cauchyovské posloupnosti z diferenciálního počtu. Úplně stejně jako v diferenciálním počtu lze dokázat následující tvrzení (dů- kaz proved'te jako cvičení). 1Tj. zobrazení z N do P. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 35 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Věta 2.2. Platí následující tvrzení: a) Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. b) Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. c) Jestliže xn x0, pak každá vybraná podposloupnost1 z posloupnosti {xn} konverguje rovněž k x0. Příklady 2.3. i) Necht' (P, ) = E2 . Dokažte, že [an, bn] [a, b], právě když an a, bn b. Řešení. [an, bn] [a, b], právě když (an - a)2 + (bn - b)2 0, tj. právě když (an - a)2 + (bn - b)2 0, což nastane, právě když an a, bn b v E1 . ii) Charakterizujte všechny konvergentní posloupnosti v diskrétním metrickém prostoru. Řešení. Podle definice je posloupnost bodů {xn} 1 konvergentní a konverguje k x0, právě když d(xn, x0) 0. Protože {d(xn, x0)} 1 je číselná posloup- nost, ve které se mohou vyskytovat pouze čísla 0 nebo 1, tato posloupnost má limitu 0, právě když se v ní od jistého indexu opakují pouze nuly, tj. od jistého indexu n je xn = x0. Posloupnosti mající tuto vlastnost se nazývají skorostacionární. 1Je definovaná stejně jako podposloupnost posloupnosti reálných čísel. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 36 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) V teorii funkcionálních posloupností je zaveden pojem stejnoměrné konver- gence funkcionálních posloupností. Podle této definice posloupnost funkcí { fn} konverguje na intervalu [a, b] stejnoměrně k funkci f , jestliže ke kaž- dému > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n N a každé x [a, b] platí | fn(x) - f (x)| < . Všimněme si, že posloupnost spojitých funkcí, tj. posloupnost bodů prostoru C[a, b], konverguje k funkci f v metrice c (viz Příklad 1.2 iv)), právě když tato posloupnost konverguje k f stejnoměrně. Z tohoto důvodu jsme metriku c nazvali metrikou stejnoměrné konvergence. Cvičení 2.4. i) Necht' (P, ) je metrický prostor, {xn} je cauchyovská posloupnost v tomto prostoru a y P je libovolné. Pak posloupnosti reálných čísel {(xn, xn+1)} a {(xn, y)} jsou konvergentní. Dokažte. ii) Charakterizujte všechny konvergentní posloupnosti v Baireově prostoru (viz Příklad 1.2 vii)). Definice 2.5. Necht' 1, 2 jsou metriky na P. Řekneme, že 1, 2 jsou ekviva- lentní, jestliže pro libovolnou posloupnost {xn} 1 platí xn 1 - x0, právě když xn 2 - x0. Příklady 2.6. i) Dokažte, že metriky (x, y) = |x - y|, ~(x, y) = log(1 + |x - y|) jsou ekvivalentní na R. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 37 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení. Posloupnost reálných čísel konverguje k x0 v metrice , právě když |xn - x0| 0, což nastane, právě když log(1 + |xn - x0|) 0, tj. xn x0 v metrice ~. ii) Rozhodněte, zda metriky c a I na prostoru spojitých funkcí jsou ekvivalentní (viz Příklad 1.2 iv)). Řešení. Metriky nejsou ekvivalentní. Necht' c je střed intervalu [a, b] a defi- nujme posloupnost spojitých funkcí takto: fn(x) = 0, pro x a, c - 1 n c + 1 n , b , n x - c + 1 n , pro x c - 1 n , c , n c + 1 n - x , pro x c, c + 1 n . V integrální metrice tato funkce konverguje k funkci f (x) 0.1 Avšak v met- rice stejnoměrné konvergence c tato posloupnost nemá v C[a, b] limitu, nebot' pro číselnou posloupnost { fn(x)} platí lim fn(x) = g(x) = 1 pro x = c, 0 pro x = c, a g(x) není spojitá funkce. Pro funkci f (x) 0, což je pak jediný ,,kan- didát" na limitu této posloupnosti v prostoru C[a, b], platí (sami si ověřte) lim n max x[a,b] | fn(x) - f (x)| = 1. 1Nebot' lim n b a | fn(x)| dx = 2 lim n c c- 1 n n x - c + 1 n dx = 0. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 38 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec II.2. Uzavřené množiny Definice 2.7. Necht' A P. Množina A = {x P : (x, A) = 0} se nazývá uzávěr množiny A. Množina A se nazývá uzavřená, pokud A = A. Příklady 2.8. i) Necht' (P, ) = E1 , A1 = [a, b), A2 = (a, b], A3 = (a, b), A4 = [a, b]. Pak ve všech případech Ai = [a, b], i = 1, . . . , 4. ii) Necht' (P, ) = E2 , A = {(x, y) : x2 + y2 < 1}. Pak A = {(x, y) : x2 + + y2 1}. iii) P = E1 , A = [0, 1] Q (racionální čísla z intervalu [0, 1]). Pak A = [0, 1]. Vskutku, necht' x [0, 1] je libovolné iracionální číslo. Kdyby x / A, tj. (x, A) =: > 0, pak interval (x - , x + ) neobsahuje žádné racio- nální číslo, což odporuje vlastnostem množiny racionálních čísel. Věta 2.9. Necht' A, B P. Platí: (U1) = , (U4) A B A B, (U2) P = P, (U5) A B = A B, (U3) A A, (U6) A = A. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 39 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Důkaz. (U1): Pokud by pro nějaké x P platilo x , tj. (x, ) = inf y (x, y) = 0, dostáváme spor, nebot' (definitoricky) infimum prázdné množiny je (po- dobně sup = -); tato konvence je přirozená vzhledem k faktu, že pro M N R je sup M sup N a inf M inf N. (U2): Plyne z inkluze P P. (U3): Necht' a A. Podle Definice 1.7 platí (a, A) = inf xA (x, a) = 0, a tedy a A. (U4): Necht' x A, tj. (x, A) = inf aA (x, a) = 0. Jsou-li X, Y číselné množiny a X Y, pak inf X inf Y. Protože {(x, a), a A} {(x, b), b B} (nebot' A B), je 0 = inf (x, a) inf (x, b) 0, (nebot' (x, b) 0 pro každé b B). Odtud inf bB (x, b) = 0, a tedy x B. (U5): Dokážeme dvojici inkluzí A B A B, A B A B. : Platí A A B, B A B, odtud podle (U4) A A B, B A B. Z toho plyne A B A B. : Necht' x A B a současně x / A B. Pak x / A a x / B, a tedy (x, A) > 0, (x, B) > 0, což znamená, že existuje > 0 takové, že (x, a) , (x, b) pro všechna a A, b B. Z druhé strany, x A B implikuje (x, A B) = 0, odtud inf yAB (x, y) = 0, tedy existuje y0 A B takové, že (x, y0) < , což je spor. (U6): Důkaz necháváme čtenáři jako cvičení. Následující věta charakterizuje uzavřené množiny pomocí konvergence a často se používá při důkazu uzavřenosti množin v konkrétních metrických prostorech. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 40 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Věta 2.10. Necht' A P. Množina A je uzavřená, právě když pro každou kon- vergentní posloupnost prvků xn A, xn x0 platí x0 A. Důkaz. : Necht' A je uzavřená, tj. podle definice A = A, a necht' xn A, xn x0 je libovolná, tj. (xn, x0) 0. Kdyby x0 / A, pak (x0, A) =: > 0, tj. (x0, a) pro každé a A, a tedy i (xn, x0) pro každé n N, což je ve sporu se skutečností, že (xn, x0) 0. : Necht' pro každou posloupnost xn A, xn x0 platí x0 A. Protože A A, stačí ukázat, že A A. Necht' x A je libovolné, tj. (x, A) = 0. Ke každému n N existuje xn A takové, že (xn, x) < 1/n. To znamená, že (xn, x) 0, tj.xn x, a tedy podle předpokladu x A. Příklad 2.11. Množina všech spojitých funkcí je uzavřená v prostoru B[a, b] všech ohraničených funkcí v metrice stejnoměrné konvergence (viz Příklad 1.6 ii)). Dokažte. Řešení. Necht' fn C[a, b] a fn f je libovolná. Podle Věty 2.10 musíme ukázat, že limitní funkce f je rovněž prvkem množiny C[a, b]. Necht' x0 [a, b] a {xn} je libovolná posloupnost bodů intervalu [a, b] konvergující k x0. Ukážeme- -li, že | f (xn) - f (x0)| 0, je funkce f spojitá v x0, a protože x0 [a, b] je libovolné, je f C[a, b]. Platí | f (xn) - f (x0)| = | f (xn) - fn(xn) + fn(xn) - fn(x0) + fn(x0) - f (x0)| | f (xn) - fn(xn)| + | fn(xn) - fn(x0)| + | fn(x0) - f (x0)|. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 41 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Necht' > 0 je libovolné. Protože fn f v C[a, b], existuje n1 N takové, že pro n n1 je | f (xn) - fn(xn)| < /3 i | fn(x0) - f (x0)| < /3. Každá z funkcí fn je spojitá, proto k číslu /3 existuje n2 N takové, že pro n n2 je | fn(xn) - - fn(x0)| < /3. Celkem pro n n0 = max{n1, n2} platí | f (xn) - f (x0)| < , tj. f C[a, b], a tedy C[a, b] je uzavřená v B[a, b]. Definice 2.12. Necht' (P, ) je metrický prostor. Množina A P se nazývá hustá v prostoru P, jestliže A = P. Věta 2.13. Množina A P je hustá v metrickém prostoru (P, ), právě když ke každému > 0 a každému x P existuje a A takové, že (x, a) < . Důkaz. : Jelikož A = P, je (x, A) = 0 pro všechna x P. Tedy ke každému > 0 existuje a A tak, že (x, a) < . : Necht' ke každému > 0 a každému x P existuje a A takové, že (x, a) < . Je-li A P, existuje x0 P, pro něž (x0, A) > 0. Pak ale pro = 1 2 (x0, A) platí (x0, a) > pro každé a A, což je spor. Předchozí věta ukazuje na důležitost hustých podmnožin v metrických pro- storech. Například z hustoty množiny racionálních čísel v prostoru reálných čí- sel plyne, že každé reálné číslo lze s libovolnou přesností aproximovat racionál- ními čísly. Z hustoty množiny polynomů v prostoru spojitých funkcí (viz Příklad 3.9 ii)) plyne, že každou spojitou funkci můžeme na daném uzavřeném intervalu Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 42 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec s libovolnou přesností aproximovat vhodným polynomem. Podobných příkladů můžeme v matematické disciplíně nazývané teorie aproximace nalézt celou řadu. Příklad 2.14. Dokažte, že množina A = { m 2n : n, m N} (tzv. množina dyadic- kých čísel) je hustá v E1 . Řešení. Využijeme tvrzení Věty 2.13. Necht' > 0, x > 0 (je-li x < 0, stejnou konstrukci provedeme pro číslo |x|) jsou libovolná a necht' n je nejmenší přiro- zené číslo takové, že m0 = 2n > x. Číslo m1 = 2n-1 je dyadické, x > m1 a platí |m1 - x| < 2n-1 . Položme m2 = 2n-1 +2n-2 , tj. m2 je středem intervalu [m1, 2n ]. Pak číslo x leží v jednom z intervalů [m1, m2], [m2, 2n ]. Označme m3 střed inter- valu, v němž se x nachází. V této konstrukci pokračujeme tak, že vždy rozpůlíme ten interval, jehož krajními body jsou některá z čísel m0, m1, . . . , mk-1 a v němž leží číslo x, střed tohoto intervalu označíme mk. Ze způsobu provedení konstrukce je zřejmé, že platí |mk - x| < 2n-k . Protože lim k 2n-k = 0, pro dostatečně velká k je 2n-k < a mk je hledaným dyadickým číslem, které se od x liší o méně než . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 43 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec II.3. Otevřené množiny, okolí bodu Definice 2.15. Množina A P se nazývá otevřená, jestliže její komplement P A je uzavřená množina. Příklady 2.16. i) Otevřený interval (a, b) je otevřená množina v prostoru E1 , nebot' její komple- ment, kterým je sjednocení intervalů (-, a][b, ), je uzavřená množina. ii) Množina A = {[x, y] E1 : x2 + y2 < 1} je otevřená v E2 , nebot' její komplement v E2 je opět uzavřená množina. iii) V diskrétním metrickém prostoru je každá množina zároveň otevřená i uza- vřená. Protože v diskrétním metrickém prostoru konvergují pouze posloup- nosti, které jsou skorostacionární, je podle Věty 2.10 každá množina v diskrét- ním metrickém prostoru uzavřená, tedy i její komplement je uzavřená mno- žina, a podle předchozí definice je sama množina otevřená. iv) V každém metrickém prostoru (P, ) jsou P a zároveň otevřené i uzavřené množiny, nebot' každá z nich je uzavřená a jedna je komplementem druhé. v) Necht' A1, . . . An jsou otevřené množiny v E1 . Pak A1 × × An je otevřená množina v En . vi) Množina A = { f C[a, b] : | f (x)| < 1 pro x [a, b]} je otevřená množina v (C[a, b], c). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 44 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Definice 2.17. Necht' a P a > 0. Množinu O(a) = {x P : (x, a) < } nazýváme (epsilonovým) okolím bodu a. Není-li hodnota podstatná, pak index vynecháváme. Na tomto místě poznamenejme, že někdy je v literatuře zabývající se metric- kými prostory okolí bodu a P definováno (v souladu s definicí v topologic- kých prostorech, viz např. [2]) jako libovolná otevřená množina obsahující bod a. Obě definice jsou ekvivalentní, nebot' okolí každého bodu je otevřená množina (viz Cvičení 2.22 xiv)), a naopak je-li A libovolná otevřená množina obsahující bod a, pak existuje > 0 takové, že O(a) A (viz Věta 2.19 a)). Naše definice je však vhodnější z hlediska definice okolí bodu v En v diferenciálním počtu. Definice 2.18. Necht' A P, a P. Bod a se nazývá: a) Vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové, že O(a) A. Množina všech vnitřních bodů množiny A se nazývá vnitřek množiny A a značí se Ao . b) Hraničním bodem množiny A, jestliže pro každé okolí O(a) platí současně O(a)A = , O(a)(P A) = . Množina všech hraničních bodů množiny A se nazývá hranice množiny A a značí se h(A). c) Hromadným bodem množiny A, jestliže každé okolí O(a) obsahuje neko- nečně mnoho bodů množiny A. Množina všech hromadných bodů množiny A se nazývá derivace množiny A a značí se A . d) Izolovaným bodem množiny A, jestliže existuje okolí O(a) takové, že O(a) A = {a}. Množina všech izolovaných bodů množiny A se nazývá adherence množiny A. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 45 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Uzávěr, vnitřek a hranice množiny hrají důležitou roli např. při zavedení Jor- danovy míry v En . Následující věta uvádí některé jejich vlastnosti. Věta 2.19. Necht' A P. Platí: a) A je otevřená, právě když A = Ao . b) h(A) = A P A. c) h(A) = A Ao . d) (A B)o = Ao Bo . Důkaz. a) : Necht' A P je otevřená. Protože přímo z definice plyne Ao A, stačí do- kázat opačnou inkluzi. Necht' a A. Komplement P A je uzavřená množina, tj. P A = P A, a tedy a / P A. To znamená, že = (a, P A) > 0. Z toho plyne, že O/2(a) A, tedy a Ao . : Necht' A = Ao . Musíme ukázat, že P A = P A. Necht' {xn} 1 je libovolná konvergentní posloupnost prvků z P A. Kdyby její limita x0 neležela v P A, tj. ležela v A, a tedy v Ao , pak by existovalo > 0 takové, že O(x0) A, tj. (xn, x0) pro všechna n N, a to odporuje skutečnosti, že (xn, x0) 0. b) Opět dokážeme dvojici inkluzí h(A) A P A, h(A) A P A. : Necht' x h(A), tj. každé okolí bodu x obsahuje jak body množiny A, tak i množiny P A. Tedy současně (x, A) = 0 i (x, P A) = 0 (kdyby (x, A) = > 0, pak O/2(x) neobsahuje žádný bod množiny A, což je spor; podobně vede ke sporu předpoklad (x, P A) > 0). To znamená, že x A P A. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 46 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec : Necht' x A P A, tj. současně platí x A i x P A. Od- tud plyne, že každé okolí bodu x obsahuje jak body z množiny A, tak i body z množiny P A, a tedy x h(A). c) a d) Důkaz necháváme čtenáři jako cvičení. Věta 2.20. Pro průniky a sjednocení otevřených a uzavřených množin platí ná- sledující tvrzení: a) Průnik libovolného počtu uzavřených množin a sjednocení konečného počtu uzavřených množin je uzavřená množina. b) Sjednocení libovolného počtu otevřených množin a průnik konečného počtu otevřených množin je otevřená množina. Důkaz. a) Uzavřenost sjednocení konečného počtu uzavřených množin plyne indukcí z (U5). Necht' Ai , i I je libovolný systém uzavřených množin a i0 I je libovolné. Pak iI Ai Ai0 , a tedy podle (U4) iI Ai Ai0 = Ai0 . Protože i0 I bylo libovolné, z poslední inkluze plyne iI Ai iI Ai . Opačná inkluze plyne z (U3), tedy iI Ai = iI Ai , tj. iI Ai je uzavřená množina. b) Plyne z a) a de Morganových pravidel (viz [9]). Poznámka 2.21. Příklady množin An = -1 n , 1 n , Bn = -n n+1 , n n+1 ukazují, že průnik nekonečného počtu otevřených množin nemusí být otevřená množina a sjednocení nekonečného počtu uzavřených množin nemusí být uzavřená mno- žina. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 47 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Cvičení 2.22. i) Necht' A = [0, 1] (2, 3) {4}. Určete v E1 množiny A, Ao , h(A). ii) Necht' A = (0, 1) I, I značí množinu všech iracionálních čísel. Určete v E1 množiny A, Ao , h(A). iii) Udejte příklad množiny A R takové, že v E1 jsou množiny A, Ao , A, (A)o , Ao navzájem různé. iv) Dokažte toto tvrzení: Jsou-li metriky 1, 2 na prostoru P ekvivalentní, pak je množina A P otevřená v prostoru (P, 1), právě když je otevřená v pro- storu (P, 2). v) Necht' (P, ) je metrický prostor, A P. Dokažte, že platí: a) h(A) = h(P A); b) hranice množiny A je uzavřená množina; c) A = A A . vi) Necht' P značí množinu polynomů stupně nejvýše n definovaných na inter- valu [-1, 1]. Pro R(x) = anxn + +a0, Q(x) = bnxn + +b0 definujme (R, Q) = max x[-1,1] |R(x) - Q(x)|. Označíme-li a = (a0, . . . , an), b = (b0, . . . , bn), lze definovat i (R, Q) = = i (a, b), i = 1, 2, (metriky i jsou stejné jako v Příkladech 1.2 i) a 1.2 iii)). Rozhodněte, zda metriky a i jsou ekvivalentní. vii) Necht' (P, ) je metrický prostor. Označme U(P) systém všech neprázdných ohraničených a uzavřených podmnožin prostoru (P, ). Na U(P) definujme Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 48 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec metriku takto: (A, B) = max{sup aA (a, B), sup bB (b, A)}. Dokažte, že (U(P), ) je metrický prostor. Metrika se nazývá Hausdorffova metrika na U(P) -- viz [6, str. 370], [13, str. 24]. Poznamenejme, že někteří autoři definují Hausdorffovu metriku pro sys- tém všech neprázdných kompaktních podmnožin prostoru (P, ) -- viz [2, str. 117], [7, str. 97]. viii) Označme U(R2 ) systém všech neprázdných uzavřených podmnožin pro- storu E2 . Necht' An = {X R2 : 2(X, Sn) rn}, kde Sn R2 a rn > 0. Najděte nutnou a dostatečnou podmínku, aby posloupnost {An} byla konver- gentní v U(R2 ) s Hausdorffovou metrikou. ix) Necht' {An} je posloupnost uzavřených množin v metrickém prostoru (P, ). Položme Bm = n=m An, Cm = n=m An. Je zřejmé, že {Bm} je ,,neros- toucí" (Bm Bm+1) a {Cm} je ,,neklesající" (Cm Cm+1). Množiny m=1 Bm, m=1 Cm se nazývají limita superior, resp. limita inferior posloup- nosti {An}. Rozhodněte, zda platí toto tvrzení: Posloupnost množin {An} konverguje v Hausdorffově metrice, právě když lim inf An = lim sup An. x) Necht' P = C[a, b], A = {x(t) : b a x(t) dt > 0}, B = {x(t) : b a x(t) dt 0}. Rozhodněte, zda platí A = B v metrice c. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 49 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec xi) Necht' A je množina všech konvergentních posloupností. Rozhodněte, zda A je uzavřená v prostoru l (viz Příklad 1.2 vi)). (Dokažte si, že A je opravdu podmnožina l). xii) Rozhodněte, zda množina A je hustá v E1 : a) A = { m - n : m, n N}; b) A = k l : k,l Z, pro něž existuje m N tak, že k2 + l2 = m2 (tzv. množina Pythagorejských racionálních čísel). xiii) Necht' l značí množinu posloupností reálných čísel a pro x = {x1, x2, . . . }, y = {y1, y2, . . . } definujme (x, y) = n=1 1 n! |xn - yn| 1 + |xn - yn| , ~(x, y) = inf nN 1 n + max 1kn |xk - yk| . Ověřte, že takto definované funkce jsou metriky na l, a rozhodněte, zda jsou ekvivalentní. xiv) Je-li (P, ) metrický prostor, a P, r > 0 reálné číslo, klademe B[a;r] = {x P : (x, a) r} (uzavřená koule se středem a). a) Dokažte, že Or (a) je otevřená množina a B[a;r] je uzavřená množina v P. b) Platí Or (a) = B[a;r] ? Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 50 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec c) Určete B[[0, 0, 0]; 1] v R3 s maximální metrikou. Na strom se nesmíš bát. Je tam ovoce. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 51 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola III ÚPLNÉ A KOMPAKTNÍ PROSTORY Z předcházející kapitoly víme, že každá konvergentní posloupnost je cauchyov- ská. Vzniká přirozeně otázka, kdy je cauchyovská posloupnost konvergentní. Pro- story, v nichž toto platí, se nazývají úplné a mají některé důležité vlastnosti (odst. III.1). V případě, že metrický prostor není úplný, můžeme jej zúplnit -- sestrojit jeho úplný obal, což znamená vnořit ho do ,,většího" metrického prostoru tako- vým způsobem, že metrika indukovaná z tohoto nadprostoru je totožná s původní metrikou (odst. III.2). Také další nový pojem této kapitoly, pojem kompaktní prostor (odst. III.3), je založen na konvergentních posloupnostech a jeho důležitost je ukázána v odst. IV.3 a VI.4. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 52 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec III.1. Úplný metrický prostor Definice 3.1. Metrický prostor (P, ) se nazývá úplný, jestliže v něm každá cauchyovská posloupnost má limitu, tj. každá cauchyovská posloupnost je kon- vergentní. Příklady 3.2. i) Prostor E1 je úplný. Toto tvrzení plyne z faktu, že každá cauchyovská posloup- nost reálných čísel je konvergentní. Důkaz lze najít v [16] a lze jej provést např. pomocí tzv. principu vložených intervalů (někdy nazývaný též Cantorův-Dedekindův axiom), který říká, že množina intervalů In = [an, bn], pro něž platí In In+1 a lim(bn - an) = 0, má neprázdný průnik. ii) Diskrétní metrický prostor je úplný, nebot' cauchyovská i konvergentní po- sloupnost jsou skorostacionární posloupnosti. iii) Množina racionálních čísel s metrikou indukovanou z E1 není úplný prostor, nebot' např. 1 + 1 n n je cauchyovská posloupnost racionálních čísel, jejíž limita je číslo e (základ přirozených logaritmů), což je číslo iracionální. iv) Otevřený interval (a, b), a, b R s euklidovskou metrikou není úplný met- rický prostor, nebot' např. a + 1 n je cauchyovská posloupnost, ale její limita a neleží v intervalu (a, b). Naopak uzavřený interval [a, b] je úplný metrický prostor, což plyne z následující věty. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 53 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Věta 3.3. Necht' (P, ) je úplný metrický prostor a A P je uzavřená množina. Pak A s metrikou, která je indukována metrikou , je úplný metrický prostor. Důkaz. Necht' {xn} je libovolná cauchyovská posloupnost prvků z A. Protože A P a P je úplný, posloupnost xn je konvergentní v P, označme x0 její li- mitu. Protože A je uzavřená, je podle Věty 2.10 x0 A, tedy (A, ) je úplný. Příklady 3.4. i) Interval [a, b] s euklidovskou metrikou je úplný metrický prostor podle Věty 3.3. ii) Necht' (P, ) je metrický prostor, metriky 1, 2, na kartézském součinu P × P jsou definovány následujícím způsobem (ověřte, že to jsou opravdu metriky): 1([x1, x2], [y1, y2]) = (x1, y1) + (x2, y2), 2([x1, x2], [y1, y2]) = ((x1, y1))2 + ((x2, y2))2, ([x1, x2], [y1, y2]) = max{(x1, y1), (x2, y2)}. Pak prostory (P × P, k), k = 1, 2, jsou úplné, právě když metrický prostor (P, ) je úplný. Dokažte. Řešení. Tvrzení plyne z faktu, že posloupnost {[xn, yn]} P × P je konver- gentní, resp. cauchyovská v každé ze tří uvažovaných metrik, právě když jsou konvergentní, resp. cauchyovské posloupnosti xn i yn. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 54 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) En je úplný metrický prostor. Toto tvrzení plyne indukcí z předcházejícího tvrzení a úplnosti E1 . Věta 3.5 (Zobecnění principu vložených intervalů). Prostor (P, ) je úplný, právě když pro libovolnou posloupnost neprázdných uzavřených množin {An} prostoru (P, ) takovou, že a) A1 A2 , . . . , An . . . , b) lim n d(An) = 0, platí n=1 An = . Důkaz. : Necht' (P, ) je úplný metrický prostor a {An} je libovolná posloup- nost uzavřených množin splňující a), b). Vyberme xn An libovolné. Pak {xn} je cauchyovská. Vskutku, necht' > 0, pak podle předpokladu b) existuje n0 N takové, že pro n > n0 je d(An) < , a protože pro každé n, m n0 je An, Am An0 , platí (xn, xm) < pro každé n, m n0. Z úplnosti pro- storu (P, ) plyne existence x0 P takového, že xn x0. Zbývá ukázat, že x0 n=1 An. Je-li x0 / n=1 An, pak existuje n1 N takové, že x0 / An1 , a tedy x0 / An pro n n1, nebot' pro tato n je An An1 pro n n1. Protože An jsou uzavřené, existuje > 0 tak, že (x0, An) > pro n n1, a tedy i (x0, xn) > -- spor. : Necht' {xn} je libovolná cauchyovská posloupnost prostoru (P, ). Sestroj- me posloupnost uzavřených množin takto: K číslu 1 = 1/2 existuje n1 N takové, že pro každé n, m n1 je (xn, xm) < 1/2. Označme A1 = B[xn1 ; 1] Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 55 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec (uzavřená koule se středem xn1 a poloměrem r = 1, viz Cvičení 2.22 xiv)). K číslu 2 = 1/4 existuje n2 > n1 tak, že pro všechna n, m n2 je (xn, xm) < 1/4. Označme A2 = B[xn2 ; 1/2]. Platí A2 A1, nebot' je-li x A2, je (x, xn2 ) < < 1/2 a (x, xn1 ) (x, xn2 ) + (xn2 , xn1 ) 1/2 + 1/2 = 1. Obecně k číslu = 1/2k existuje nk > nk-1 tak, že pro n, m nk platí (xn, xm) < 1/2k . Po- dobně jako v předchozích případech definujme Ak = B[xnk ; 1/2k ]. Výsledkem konstrukce je posloupnost uzavřených množin An s vlastnostmi a) a b). Podle předpokladu existuje x0 n=1 An. Evidentně (xn, x0) 0, tedy {xn} je konver- gentní a x0 je její limita. Příklady 3.6. i) Metrický prostor C[a, b] s metrikou stejnoměrné konvergence c je úplný.1 Dokažte. Řešení. Necht' fn C[a, b] tvoří cauchyovskou posloupnost, tj. ke každému > 0 existuje n0 N tak, že pro n, m n0 platí max x[a,b] | fn(x) - fm(x)| < . Odtud plyne, že pro každé x [a, b] je číselná posloupnost { fn(x)} cauchy- ovská, a tedy konvergentní. Označme f (x) její limitu. K číslu /2 existuje n1 N takové, že pro n, m n1 platí | fn(x) - fm(x)| < /2 pro každé x [a, b]. Limitním přechodem pro m v posledním vztahu dostáváme sup x[a,b] | fn(x) - f (x)| /2 < , tedy { fn} konverguje stejnoměrně (tj. v me- trice c) k f a podle Příkladu 2.11 je f C[a, b]. 1V teorii funkcionálních posloupností se toto tvrzení nazývá Cauchyovo-Bolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence, viz [5, str. 45]. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 56 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Metrický prostor C[a, b] s integrální metrikou I (viz Příklad 1.2 v)) není úplný. Dokažte. Řešení. Necht' c je střed intervalu [a, b] a pro n > 2 b-a definujme fn(x) = 0, x [a, c], n(x - c), x c, c + 1 n , 1, x c + 1 n , b , (nakreslete si obrázek). Takto definovaná posloupnost je cauchyovská, ne- bot' I ( fn, fm) 0 pro min{n, m} . Necht' f (x) C[a, b] je pří- padná limita { fn(x)} v prostoru (C[a, b], I ), tj. I ( fn, f ) = b a | fn(x) - - f (x)| dx 0. Necht' > 0 je libovolné. Pro n > max 1 , 2 b-a platí I ( fn, f ) c- a | fn(x) - f (x)| dx + b c+ | fn(x) - f (x)| dx = = c- a | f (x)| dx + b c+ |1 - f (x)| dx. Protože > 0 bylo libovolné, musí platit f (x) = 0, x [a, c), 1, x (c, b], což odporuje spojitosti funkce f (x), tedy zkonstruovaná cauchyovská po- sloupnost nemá v C[a, b] limitu. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 57 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) Baireův metrický prostor (viz Příklad 1.2 vii)) je úplný. Dokažte. Řešení. Necht' xn = {xn 1 , xn 2 , xn 3 , . . . } je cauchyovská posloupnost prvků Bai- reova prostoru. Nerovnost (xn, xm) < znamená, že xn k =xm k , k = 1, . . . , n0, kde n0 je největší přirozené číslo menší než 1 . Protože > 0 je libovolné, znamená to, že každá z posloupností {xn 1 }, {xn 2 } . . . je skorostacionární, tedy pro každé k N existuje limita lim n xn k =: xk. Označíme-li x = {x1, x2, . . . }, platí lim n (xn, x) = 0, tedy posloupnost {xn} je konvergentní. Cvičení 3.7. i) Necht' P = R a metrika je na R definována takto: (x, y) = 1 je-li |x - y| iracionální, 1 2 je-li |x - y| nenulové racionální, 0 je-li x = y. Rozhodněte, zda je tento metrický prostor úplný. ii) Rozhodněte, zda pampeliškový prostor (viz Cvičení 1.4 vii)) je úplný. iii) Prostor l2 (viz Cvičení 1.4 viii)) je úplný. Dokažte. iv) Rozhodněte, zda prostor l (viz Příklad 1.2 vi)) je úplný. v) Necht' n (0, 1]. Pro každé x ={x1, . . . , xn, . . . }, y ={y1, . . . , yn, . . . , } l2 definujme (x, y) = n=1 n(xn - yn)2 . (3.1) Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 58 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Dokažte, že metrický prostor (l2, ) je úplný, právě když inf nN n > 0. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 59 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec III.2. Úplný obal metrického prostoru Definice 3.8. Bud' (P, ) metrický prostor. Metrický prostor (Q, ) se nazývá úplný obal metrického prostoru (P, ), jestliže platí: 1) (Q, ) je úplný prostor; 2) (P, ) je vnořený do (Q, ) (tj. P Q, = |P2 ); 3) množina P je hustá v (Q, ). Příklady 3.9. i) Euklidovský prostor E1 je úplným obalem prostoru racionálních i iracionálních čísel (s metrikou indukovanou z prostoru E1 ). ii) Prostor (C[a, b], c) je úplným obalem prostoru všech polynomů definova- ných na intervalu [a, b] s metrikou indukovanou tímto prostorem. Platnost podmínky 2) je triviální a podmínka 1) plyne z Příkladu 3.6 i). Platnost pod- mínky 3) plyne z následujícího tvrzení, které bývá v literatuře označováno jako Weierstrassova věta a jehož důkaz je možno nalézt např. v [11]. Tvrzení. Necht' f (x) C[a, b] a > 0 jsou libovolné. Existuje polynom R(x) takový, že max x[a,b] | f (x) - R(x)| < . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 60 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Věta 3.10. Ke každému metrickému prostoru (P, ) existuje jeho úplný obal. Tento obal je určen jednoznačně v následujícím smyslu: Jsou-li (Q1, ), (Q2, ~) úplné obaly prostoru (P, ), pak existuje izometrické zobrazení : Q1 Q2 takové, že |P je identita na P. Exaktní důkaz tohoto tvrzení je poněkud komplikovaný a se všemi podrob- nostmi je možno jej nalézt v [8]. Protože je však tento důkaz konstruktivní a po- měrně důležitý, uvedeme zde alespoň jeho hlavní myšlenky. Uvažujme všechny cauchyovské posloupnosti z prostoru (P, ) a na této mno- žině definujme relaci (není obtížné ukázat, že tato relace je ekvivalence) násle- dujícím způsobem: {xn} {yn} právě když lim n (xn, yn) = 0. Nyní uvažujme třídy rozkladu cauchyovských posloupností v (P, ) definované touto ekvivalencí a množinu těchto tříd označme Q. Necht' X, Y jsou dvě třídy ekvivalence z Q a {xn}, {yn} jsou nějací reprezentanti těchto tříd (lze ukázat, že na jejich výběru nezáleží). Definujme (X, Y) = lim n (xn, yn). Lze ukázat, že takto definovaná funkce na Q2 je metrikou a že prostor (Q, ) je úplný. Přiřadíme-li nyní každému prvku x P třídu X Q tvořenou všemi po- sloupnostmi konvergujícími k tomuto prvku, je tímto způsobem definováno izo- metrické zobrazení P na jistou podmnožinu v Q. Ztotožníme-li P s touto pod- množinou, dostáváme platnost podmínky 2). Z vlastností cauchyovských posloup- Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 61 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ností plyne i platnost podmínky 3). Takto definovaný metrický prostor (Q, ) je tedy hledaným úplným obalem prostoru (P, ). Poznámka 3.11. Předchozí věta říká, že E1 je zúplnění prostoru racionálních čísel s euklidovskou metrikou. Tuto větu však není možné přímo použít pro konstrukci reálných čísel, protože definice metrického prostoru předpokládá znalost množiny reálných čísel. V literatuře lze najít různé konstrukce oboru reálných čísel. V [4, 16] je tato konstrukce pojata axiomaticky, v [9] je použita tzv. metoda Dedekindových řezů. Poznamenejme, že ke konstrukci reálných čísel je rovněž možné použít myš- lenku úplného obalu, aplikovanou na racionální čísla. Tímto způsobem postupoval Georg Cantor. Cvičení 3.12. i) Necht' (P, ) je úplný metrický prostor, A P. Pak (A, ) je úplný obal metrického prostoru (A, ). Dokažte. ii) Pro x = (x1, . . . , xn, . . . ), y = (y1, . . . , yn, . . . ) l2 definujme (x, y) = n=1 2-n (xn - yn)2 . (Takto definovaný metrický prostor není úplný, viz Příklad 3.7 v).) Rozhod- něte, zda množina omezených posloupností s metrikou definovanou vztahem (3.1) s n = 2-n je úplným obalem l2 s touto metrikou. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 62 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec III.3. Kompaktní prostory Z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné je známo (druhá Weierstrassova věta), že spojitá funkce f definovaná na uzavřeném intervalu [a, b] zde nabývá své nejmenší a největší hodnoty, tj. existují x1, x2 ležící v tomto intervalu taková, že f (x1) = inf x[a,b] f (x), f (x2) = sup x[a,b] f (x). Nyní necht' (P, ) je metrický prostor A P a f : A E1 . Chtěli bychom najít podmínky na množinu A a zobrazení f , aby platilo obdobné tvrzení, tj. aby existovala a1, a2 A taková, že f (a1) = sup xA f (x), f (a2) = inf xA f (x). Projdeme- -li si důkaz druhé Weierstrassovy věty, zjistíme, že kromě spojitosti funkce f je nejdůležitější skutečností fakt, že z každé posloupnosti bodů uzavřeného intervalu lze vybrat konvergentní podposloupnost (toto tvrzení je známo jako Bolzanova- -Weierstrassova věta). Tímto je také motivována následující definice. Definice 3.13. Metrický prostor (P, ) se nazývá kompaktní, jestliže z každé po- sloupnosti jeho bodů lze vybrat konvergentní podposloupnost. Množina A P se nazývá kompaktní, jestliže A s metrikou indukovanou metrikou je kom- paktní prostor, tj. z každé posloupnosti bodů množiny A lze vybrat podposloup- nost mající v A limitu. Věta 3.14. Necht' A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ). Pak A je uzavřená a ohraničená. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 63 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Důkaz. Předpokládejme, že A není uzavřená, tj. existuje x A, které neleží v A. Protože (x, A) = 0, existuje posloupnost xn A konvergující k x. Každá vy- braná podposloupnost z konvergentní posloupnosti má tutéž limitu x (Věta 2.2), která však neleží v A, tedy z {xn} nelze vybrat podposloupnost mající v A limitu, což je spor. Nyní předpokládejme, že A není ohraničená, tj. d(A) = sup x,yA (x, y) = . Sestrojme posloupnost xn A takto. Bod x1 A vyberme libovolně a necht' x2 A je takové, že (x1, x2) 1 (takové x2 existuje vzhledem k neohraniče- nosti A). Jsou-li již známy prvky x1, . . . , xn-1 A, bod xn A vyberme tak, že (xn, xk) 1, k = 1, . . . , n - 1. (Takový bod lze vždy najít, nebot' v opačném případě by byla množina A podmnožinou sjednocení uzavřených koulí se středy v xk, k = 1, . . . , n - 1 a poloměry r = 1, což odporuje její neohraničenosti). Z takto sestrojené posloupnosti evidentně nelze vybrat konvergentní podposloup- nost, nebot' pro n = m je (xn, xm) 1. Příklady 3.15. i) Diskrétní metrický prostor je kompaktní, právě když P má pouze konečně mnoho prvků. Dokažte. Řešení. Tvrzení plyne z faktu, že posloupnost bodů diskrétního metrického prostoru je konvergentní, právě když je skorostacionární. Má-li tedy každá po- sloupnost obsahovat konvergentní podposloupnost, nesmí se v této posloup- nosti vyskytovat nekonečně mnoho navzájem různých prvků, a proto je P kompaktní, právě když má pouze konečně mnoho prvků. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 64 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Necht' (P, ) je metrický prostor, ~P = Pn = P × × P. Pro x = = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) a p 1 definujme p(x, y) = n k=1 p (xk, yk) 1/p . Takto definovaná funkce je metrika na ~P (ověřte!) a množina A ~P je kom- paktní v ~P, právě když ,,průměty" Ak = {a P : existují a1, . . . , ak-1, ak+1, . . . , an P taková, že [a1, . . . , ak-1, a, ak+1, . . . , an] A}, k = 1, . . . , n, jsou kompaktní v P. Dokažte. Řešení. : Předpokládejme, že množiny Ak, k = 1, . . . , n jsou kompaktní a {am = [am 1 , . . . , am n ]} necht' je libovolná posloupnost bodů z A. Protože A1 je kompaktní, z {am 1 } lze vybrat konvergentní podposloupnost. V {am 2 } uvažujme pouze členy s indexy konvergentní podposloupnosti z {am 1 }. Protože A2 je kom- paktní, z této podposloupnosti lze vybrat v {am 2 } konvergentní podposloup- nost a v {am 3 } uvažujme pouze členy s indexy této vybrané podposloupnosti. Z těchto členů lze opět vybrat konvergentní podposloupnost. Opakujeme-li tento postup až do indexu n, obdržíme konvergentní podposloupnost posloup- nosti {am n }, přičemž podposloupnosti z {am k }, k = 1, . . . , n - 1 s indexy této podposloupnosti jsou konvergentní. Tím jsme sestrojili konvergentní podpo- sloupnost z {am}. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 65 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec : Předpokládejme, že A je kompaktní, k {1, . . . , n} je libovolné a {am k } je libovolná posloupnost bodů z Ak. Vyberme libovolné prvky x1 A1, . . . , xk-1 Ak-1, xk+1 Ak+1, . . . xn An a utvořme pomocí nich posloupnost am = [x1, . . . , xk-1, am k , xk+1, . . . , xn]. Z této posloupnosti bodů množiny A lze vybrat konvergentní podposloupnost a je zřejmé, že členy {am k } s indexy této vybrané podposloupnosti tvoří konvergentní podposloupnost z {am k }, tedy Ak je kompaktní. Ve Větě 3.14 jsme dokázali, že kompaktní množina v libovolném metrickém prostoru je uzavřená a ohraničená. Následující věta říká, že v euklidovských pro- storech je tato podmínka pro kompaktnost dané množiny také dostatečná. Věta 3.16. Necht' A je podmnožina v En . Množina A je kompaktní, právě když je uzavřená a ohraničená. Důkaz. Podle Příkladu 3.15 ii) stačí tvrzení dokázat pro n = 1. Dokažme, že je-li podmnožina A v E1 uzavřená a ohraničená, pak je kompaktní. Necht' A je uzavřená a ohraničená. Pak každá posloupnost bodů z A je také ohraničená a podle Bolzanovy-Weierstrassovy věty z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné lze z této posloupnosti vybrat konvergentní podposloupnost. Pro- tože A je uzavřená, leží její limita podle Věty 2.10 také v A, a tedy A je kompaktní. Opačná implikace plyne z Věty 3.14. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 66 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Poznámky 3.17. i) Předcházející tvrzení ,,uzavřená + ohraničená = kompaktní" obecně neplatí. Například množina A l2 tvořená posloupnostmi x1 = {1, 0, . . . , 0, . . . }, x2 = {0, 1, 0, . . . , 0, . . . }, x3 = {0, 0, 1, 0, . . . , 0, . . . } . . . je evidentně uza- vřená a ohraničená v prostoru l2, ale nelze z ní vybrat konvergentní podposloup- nost. ii) Další vlastnosti kompaktních množin v metrických prostorech lze nalézt v od- stavcích IV.3 a V.2. Cvičení 3.18. i) Necht' (P, ) je metrický prostor, A P je uzavřená, B P je kompaktní, A B = . Pak (A, B) > 0. Dokažte. ii) Dokažte tato tvrzení: Sjednocení konečného počtu kompaktních množin je kompaktní množina. Průnik libovolného počtu kompaktních množin je kom- paktní množina. iii) Rozhodněte, zda v pampeliškovém metrickém prostoru (Cvičení 1.4 vii)) platí tvrzení ,,uzavřená a ohraničená = kompaktní". iv) Necht' (P, ) je kompaktní metrický prostor, A P je uzavřená. Pak (A, ) je úplný metrický prostor. Dokažte. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 67 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec v) Necht' P je množina regulárních n × n matic, pro A = (ai j ), B = (bi j ) P definujme (A, B) = n i=1 n j=1 (ai j - bi j )2 . Rozhodněte, zda množina ortogonálních matic (tj. matic, pro něž AT = A-1 , kde T značí transpozici) je kompaktní v P. vi) Necht' P je množina polynomů stupně nejvýše n s metrikou indukovanou z prostoru (C[a, b], c). Rozhodněte, zda množina A = {R(x) P : c(R(x), 0) 1}, kde 0 značí nulový polynom, je kompaktní. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 68 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola IV ZOBRAZENÍ METRICKÝCH PROSTOR Ů V této kapitole budeme věnovat hlavní pozornost spojitosti zobrazení mezi dvěma metrickými prostory (odst. IV.1). V odst. IV.2 budeme studovat tzv. lipschitzovská a kontraktivní zobrazení a v odst. IV.3 budou vyšetřovány vlastnosti spojitých zobrazení kompaktních prostorů. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 69 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec IV.1. Spojitá zobrazení Před uvedením definice spojitého zobrazení si připomeňme spojitost reálné funkce f (x) (což je zobrazení z E1 do E1 ) v bodě x0: Funkce f je spojitá v bodě x0, jestliže lim xx0 f (x) = f (x0), tj. ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé x (x0 - , x0 + ) platí f (x) ( f (x0) - , f (x0) + ). V souladu s Definicí 2.17 (okolí bodu) můžeme tuto definici formulovat také takto: Funkce f je spojitá v bodě x0, jestliže ke každému okolí V bodu f (x0) exis- tuje okolí U bodu x0 takové, že pro každé x U platí f (x) V . Analogicky definujeme spojité zobrazení mezi libovolnými metrickými pro- story. Definice 4.1. Necht' (P, ), (Q, ) jsou metrické prostory, F je zobrazení z P do Q. Řekneme, že toto zobrazení je spojité v bodě x0, jestliže ke každému okolí V bodu F(x0) v Q existuje okolí U bodu x0 v P takové, že F(x) V pro každé x U. Řekneme, že F je spojité na P, je-li spojité v každém bodě P. Následující věta je velmi důležitým nástrojem při vyšetřování spojitosti růz- ných zobrazení mezi metrickými prostory a v literatuře se často objevuje jako definice spojit spojitého zobrazení. Věta 4.2. Necht' (P, ) a (Q, ) jsou metrické prostory. Zobrazení F : P Q je spojité v bodě x0 P, právě když pro každou posloupnost bodů v P, pro niž xn x0, platí F(xn) F(x0). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 70 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Důkaz. : Necht' F je spojité v bodě x0 a {xn} je libovolná posloupnost kon- vergující k x0. Potřebujeme dokázat, že (F(xn), F(x0)) 0. Necht' > 0 je libovolné. Podle definice spojitosti zobrazení F v bodě x0 k -ovému okolí bodu F(x0) existuje -okolí bodu x0 ( > 0) takové, že pro x z tohoto okolí platí (F(x), F(x0)) < . Protože (xn, x0) 0, k číslu existuje n0 N takové, že pro každé n n0 je (xn, x0) < , a tedy (F(xn), F(x0)) < . Cel- kem jsme k libovolnému > 0 našli n0 N takové, že pro každé n n0 platí (F(xn), F(x0)) < , tedy F(xn) F(x0). : Necht' x0 je libovolné a pro libovolnou posloupnost xn x0 platí f (xn) f (x0). Předpokládejme sporem, že zobrazení f není spojité v bodě x0, tj. existuje okolí V bodu f (x0) takové, že v každém okolí U bodu x0 existuje x takové, že f (x) / V . Za okolí U bodu x0 berme postupně množiny Un = = x P : (x, x0) < 1 n , n = 1, 2, . . . a označme xn ten bod z Un, pro nějž f (xn) / V . Tímto způsobem jsme sestrojili posloupnost konvergující k x0, pro niž f (xn) nekonverguje k f (x0) (nebot' f (xn) / V pro každé n N), což je spor, a zobrazení f je spojité v bodě x0. Uvedenou větu využijeme v následujících příkladech. Příklady 4.3. i) Necht' F je zobrazení prostoru (C[a, b], c) do E1 definované takto: F( f ) = f a + b 2 , (tj. každé funkci spojité na intervalu [a, b] je přiřazeno reálné číslo rovné funkční hodnotě funkce ve středu intervalu [a, b]). Rozhodněte, zda je toto zobrazení spojité. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 71 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení. Necht' f C[a, b] je libovolná funkce a fn C[a, b] je libovolná po- sloupnost konvergující k funkci f , tj. ( fn, f ) = max x[a,b] | fn(x) - f (x)| 0, jestliže n . Z toho plyne, že i fn a+b 2 - f a+b 2 0, tedy zobrazení F je spojité na C[a, b]. ii) Necht' (P, ) je metrický prostor, a P, A P. Dokažte, že zobrazení f, g: P E1 daná vztahy f (x) = (x, a), g(x) = (x, A) jsou spojitá. Řešení. Necht' xn x0 je libovolná. Využitím trojúhelníkové nerovnosti do- stáváme | f (xn) - f (x0)| = |(xn, a) - (x0, a)| |(xn, x0) + (x0, a) - -(x0, a)| = (xn, x0) 0 pro n , tedy f (xn) f (x0) a f je spojité. V případě zobrazení g dostáváme |g(xn) - g(x0)| = |(xn, A) - (x0, A)| |(xn, x0)+(x0, A)-(x0, A)| = (xn, x0) 0 (využili jsme nerovnosti (x, A) (x, x0) + (x0, A), kterou lze snadno dokázat pomocí trojúhelní- kové nerovnosti a definice vzdálenosti bodu od množiny), tedy i zobrazení g je spojité. iii) Necht' d je diskrétní metrika na R. Určete nutnou a dostatečnou podmínku, aby zobrazení f : E1 (R, d) bylo spojité. Řešení. Necht' x0 R je libovolné a {xn} je libovolná posloupnost reál- ných čísel konvergující k x0 v metrice prostoru E1 , tj. |xn - x0| 0. K tomu, aby zobrazení f bylo spojité v bodě x0, je nutné a stačí, aby f (xn) konvergovala k f (x0) v diskrétní metrice. To je však možné tehdy a jen tehdy, když je posloupnost { f (xn)} skorostacionární, tj. od jistého indexu n0 N je f (xn) = f (x0). Protože {xn} je libovolná posloupnost konvergující Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 72 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec k x0, je toto možné, právě když f je konstantní zobrazení. Tedy zobrazení f : E1 (R, d) je spojité, právě když je konstantní, tj. existuje konstanta k R taková, že f (x) = k pro každé x R. Cvičení 4.4. i) Necht' d je diskrétní metrika na R. Určete nutnou a dostatečnou podmínku, aby zobrazení f : (R, d) E1 bylo spojité. (Doplněk k předchozímu pří- kladu). ii) Necht' P je prostor komplexních čísel s obvyklou metrikou (tj. stejnou jako v E2 ). Rozhodněte, zda zobrazení F(z) = |z|, G(z) = z jsou spojitá.1 iii) Dokažte, že zobrazení f : P Q je spojité, právě když pro každou množinu A P platí f (A) f (A). iv) Dokažte, že zobrazení f : P Q je spojité, právě když pro každou ote- vřenou podmnožinu A Q je množina f -1 (A) = {x P : f (x) A} otevřená v P. Může být slovo otevřená v tomto tvrzení nahrazeno slovem uzavřená? v) Necht' (P, ) je metrický prostor, A, B P, A B = jsou uzavřené podmnožiny v P. Dokažte, že existuje spojité zobrazení f : P E1 takové, že f (x) = 1 pro x A, 0 pro x B. 1z značí číslo komplexně sdružené k z. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 73 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec vi) Necht' (P, ) je metrický prostor a f : P P je spojité zobrazení. Rozhod- něte, zda zobrazení F : P E1 definované předpisem F(x) = (x, f (x)) je spojité. vii) Necht' F je zobrazení z l2 do l1 (viz Cvičení 1.4 viii)) definované pro x = = {x1, x2, . . . , } předpisem F(x) = {x2 1 , x2 2 , x2 3 , . . . , }. Rozhodněte, zda je toto zobrazení spojité. viii) Necht' P = R s metrikou (x, y) = |x| + |y| pro x = y, 0 pro x = y. Definujme zobrazení f : (R, ) E1 předpisem f (x) = 1 pro x = 0, 0 pro x = 0. Rozhodněte, zda je toto zobrazení spojité. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 74 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec IV.2. Kontrakce Definice 4.5. Necht' (P, ), (Q, ) jsou metrické prostory, F : P Q. Řek- neme, že zobrazení F je lipschitzovské, jestliže existuje nezáporná reálná kon- stanta L (tzv. Lipschitzova konstanta) taková, že (F(x), F(y)) L(x, y) pro každé x, y P. Je-li L < 1, pak říkáme, že F je kontrakce (s konstantou L). Vlastnosti kontrakce úplného metrického prostoru do sebe budou předmětem V. kapitoly. Vztah mezi spojitými a lipschitzovskými zobrazeními popisuje následující věta. Věta 4.6. Necht' (P, ), (Q, ) jsou metrické prostory, F : P Q je lipschit- zovské zobrazení. Pak je toto zobrazení spojité. Důkaz. Necht' x0 P je libovolné a {xn} je libovolná posloupnost v P konvergu- jící k x0. Protože platí (F(xn), F(x0)) L(xn, x0), je (F(xn), F(x0)) 0, tedy F je spojité v x0, a protože x0 P je libovolné, je F spojité na P. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 75 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklady 4.7. i) Dokažte, že diferencovatelná funkce f : [a, b] E1 je kontrakce, resp. lipschitzovská, právě když | f (x)| < 1, resp. | f (x)| < pro všechna x [a, b]. (4.1) Řešení. Necht' L < 1 je takové reálné číslo, že | f (x)| < L pro každé x [a, b] (takové číslo vždy existuje vzhledem k předpokladu (4.1)), a necht' x1, x2 [a, b] jsou libovolná. Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě dife- renciálního počtu platí | f (x1)- f (x2)| = | f (c)(x1 -x2)| = | f (c)||x1 -x2|, kde c leží mezi x1 a x2, a tedy | f (x1) - f (x2)| L|x1 - x2|, což znamená, že f je kontrakce. Předpokládejme sporem, že f je kontrakce s konstantou L [0, 1) a při- tom max x[a,b] | f (x)| 1. Pak existuje c [a, b] takové, že | f (c)| > L, tj. lim xc f (x)- f (c) x-c > L, odtud | f (x) - f (c)| > L|x - c|, je-li x dostatečně blízko c. To je však spor se skutečností, že f je kontrakce, a tedy musí platit (4.1). Analogicky se provede důkaz pro případ, kdy je f lipschitzovská. Z předcházejících úvah plyne, že diferencovatelná funkce na (obecně nekom- paktním) intervalu I je kontrakce, právě když sup xI | f (x)| < 1. ii) Stejnolehlost s koeficientem stejnolehlosti k, pro který platí |k| < 1, je kon- trakcí roviny, tj. metrického prostoru E2 , do sebe. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 76 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) Necht' F : (C[a, b], c) E1 je definováno předpisem F( f ) = b a f (x) dx, tj. funkci f (x) C[a, b] je přiřazeno reálné číslo b a f (x) dx (toto přiřazení je korektní, nebot' spojité funkce jsou integrovatelné). Dokažte, že F je spojité zobrazení. Řešení. Využijeme tvrzení Věty 4.6. Necht' f (x), g(x) C[a, b] jsou libo- volné. Potřebujeme dokázat, že existuje nezáporná reálná konstanta L taková, že (F( f ), F(g)) = |F( f ) - F(g)| Lc( f, g). Platí |F( f ) - F(g)| = b a f (x) dx - b a g(x) dx b a | f (x) - g(x)| dx max x[a,b] | f (x) - g(x)| b a dx = c( f, g)(b - a), což znamená, že zobrazení F je lipschitzovské (s konstantou L = (b - a)), a tedy spojité. iv) Necht' F je zobrazení prostoru C[0, 1] s metrikou stejnoměrné konvergence c do sebe, které je definováno předpisem F( f ) = x 0 t f (t) dt . Rozhodněte, zda je F kontrakce. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 77 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení. Necht' f, g C[0, 1], pak platí c(F( f ), F(g)) = max x[0,1] |F( f (x)) - F(g(x))| = = max x[0,1] x 0 t f (t) dt - x 0 tg(t) dt max x[0,1] x 0 t| f (t) - g(t)| dt 1 0 t| f (t) - g(t)| dt max x[0,1] | f (x) - g(x)| 1 0 t dt = 1 2 c( f, g), tedy F je kontrakce s konstantou L = 1 2 . Poznámka 4.8. V Příkladu 4.7 iii) jsme dokázali důležitý výsledek z teorie funk- cionálních posloupností: Jestliže posloupnost funkcí fn(x) konverguje na inter- valu [a, b] stejnoměrně k funkci f (x), pak je možné zaměnit pořadí limity a inte- grace lim n b a fn(x) dx = b a lim n fn(x) dx . Cvičení 4.9. i) Rozhodněte, zda následující funkce f : E1 E1 jsou lipschitzovské, resp. kontrakce: a) f (x) = arctg x, x E1 , b) f (x) = ax + b, x E1 , c) f (x) = x, x [0, 1]. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 78 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Necht' P je Baireův metrický prostor (viz Příklad 1.2 vii)). Definujme zobra- zení F metrického prostoru P do sebe takto: Pro x = {xn} P (tj. {xn} je posloupnost přirozených čísel) je F(x) = {1, x1, 1, x2, 1, x3, 1, x4, 1, . . . }. Rozhodněte, zda je toto zobrazení kontrakce. iii) Necht' P je množina slov skládajících se z 10 písmen s metrikou definova- nou v Příkladu 1.2 viii). Je-li x = {x1, . . . , x10} slovo skládající se z písmen x1, . . . , x10, definujeme f (x) = {a, x2, . . . , x10}, tj. první písmeno v každém slově je nahrazeno písmenem a. Rozhodněte, zda toto zobrazení je lipschitzovské, resp. kontrakce. iv) Necht' {x1, x2, . . . } l a F : l l1 je definováno předpisem F(x) = 1 3 x1, 1 9 x2, . . . , 3-k xk, . . . . Rozhodněte, zda je toto zobrazení lipschitzovské, resp. kontrakce. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 79 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec IV.3. Spojitá zobrazení kompaktních prostorů Jak jsme se již zmínili v odstavci III.3, jedním z nejdůležitějších výsledků teorie spojitých funkcí jedné proměnné jsou Weierstrassovy věty, jež říkají, že funkce, která je spojitá na uzavřeném intervalu, je na tomto intervalu ohraničená a nabývá zde své největší a nejmenší hodnoty. V tomto odstavci si ukážeme, že tyto věty jsou důsledkem obecnějšího tvrzení týkajícího se zobrazení kompaktních metric- kých prostorů. Věta 4.10. Necht' (P, ) a (Q, ) jsou metrické prostory, F : P Q je spojité a A P je kompaktní. Pak F(A) je kompaktní v Q. Důkaz. Necht' yn F(A) je libovolná posloupnost, tj. existuje posloupnost xn A taková, že f (xn) = yn. Protože A je kompaktní, z {xn} lze vybrat konver- gentní podposloupnost {xnk } konvergující k nějakému prvku x0 A. Ze spojitosti zobrazení F plyne lim k ynk = lim k F(xnk ) = F(x0) F(A). Tedy {yn} obsahuje konvergentní podposloupnost, jejíž limita leží v F(A), což znamená, že F(A) je kompaktní. Nyní si ukážeme, jak plynou Weierstrassovy věty z Věty 4.10. Necht' P = = Q = E1 , A = [a, b] a f : [a, b] E1 je spojitá funkce. Podle Příkladu 3.15 i) je uzavřený interval v E1 kompaktní množina, tedy f ([a, b]) je rovněž kompaktní. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 80 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec První Weierstrassova věta nyní plyne z faktu, že kompaktní množina v každém metrickém prostoru je ohraničená (viz Věta 3.14). Skutečnost, že funkce f na- bývá na [a, b] své nejmenší a největší hodnoty, plyne z následující úvahy: Vzhle- dem k definici infima množiny reálných čísel existuje posloupnost yn [a, b] taková, že f (yn) inf x[a,b] f (x). Z této posloupnosti lze vybrat konvergentní pod- posloupnost {ynk }. Její limitu označme x1, tj. lim k ynk = x1. Z Věty 4.2 plyne, že lim k f (ynk ) = f (x1). Z druhé strany, protože { f (ynk )} je vybraná podposloupnost z { f (yn)}, platí lim k f (ynk ) = inf x[a,b] f (x), tedy f (x1) = inf x[a,b] f (x). Podobně lze dokázat existenci x2 [a, b], pro něž f (x2) = sup x[a,b] f (x). Příklad 4.11. Necht' A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ) a b / A. Dokažte, že existují a1, a2 A taková, že (b, a1) = inf aA (b, a) = = (b, A), (b, a2) = sup aA (b, a). Řešení. Uvažujme funkci f : P E1 definovanou předpisem f (x) = (b, x). Tato funkce je spojitá na kompaktní množině A (viz Příklad 4.3 ii)). Podle Věty 4.10 je množina f (A) kompaktní v E1 , tj. uzavřená a ohraničená. Z toho plyne, že inf aA (b, a), sup aA (b, a) f (A), a odtud plyne existence hledaných prvků a1, a2 A. Cvičení 4.12. i) Necht' A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ). Dokažte, že exis- tují a1, a2 A taková, že (a1, a2) = sup a,bP (a, b) = d(A). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 81 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Necht' A je kompaktní množina v metrickém prostoru (P, ), f : A E1 je spojité. Dokažte, že graf zobrazení f , G( f ) = {[x, y] A × E1 : y = f (x)} je kompaktní množina v prostoru P × E1 s metrikou ~([x1, y1], [x2, y2]) = = (x1, x2) + |y1 - y2|. Každý nový nápad je nejdřív směšný, pak příliš prostý -- a nakonec to podle něj dělají všichni. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 82 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola V BANACH ŮV PRINCIP PEVNÉHO BODU A JEHO POUŽITÍ V této kapitole si dokážeme jeden z nejdůležitějších výsledků teorie metrických prostorů, tzv. Banachovu větu o pevném bodu kontraktivního zobrazení v úplném metrickém prostoru. Tuto větu lze s výhodou využívat k důkazu vět o existenci a jednoznačnosti řešení různých typů rovnic, což si podrobněji ukážeme v odst. V.2 a V.3. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 83 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec V.1. Banachův princip Definice 5.1. Necht' (P, ) je metrický prostor a F je zobrazení prostoru P do sebe, tj. F : P P. Bod x P se nazývá pevným bodem zobrazení F, jestliže F(x) = x. (5.1) Věta 5.2. Necht' (P, ) je úplný metrický prostor a F : P P je kontrakce, tj. existuje reálná konstanta q [0, 1) taková, že (F(x), F(y)) q(x, y) pro každé x, y P. Pak existuje právě jeden pevný bod zobrazení F, tj. existuje právě jedno x0 P takové, že F(x0) = x0. Banachův princip říká, kdy existuje právě jedno řešení rovnice (5.1). Pozna- menejme, že důkaz tohoto tvrzení je stejně důležitý jako samotné tvrzení (toto uvádíme proto, že důkazy matematických tvrzení jsou ve skriptech studenty vět- šinou přeskakovány a při přednášce jsou odpočinkovou chvilkou). Z důkazu totiž plyne metoda -- tzv. metoda postupných aproximací, kterou lze dané řešení rov- nice (5.1) zkonstruovat. Důkaz. Pro přehlednost rozdělíme důkaz na několik částí. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 84 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 1. Necht' x1 P je libovolné. Definujme posloupnost {xn} v P takto: x2 = = F(x1), x3 = F(x2), . . . , xn = F(xn-1) . . . S využitím předpokladu o kon- trakci ukážeme, že tato posloupnost je cauchyovská. Platí: (xn, xn+1) = (F(xn-1), F(xn)) q(xn-1, xn) = = q(F(xn-2), F(xn-1)) q2 (xn-2, xn-1) . . . qn-1 (x1, x2) pro libovolné n N. Využijeme-li tohoto vztahu, pro libovolné přirozené m > n dostáváme (xn, xm) (xn, xn+1) + + (xm-1, xm) qn-1 (x1, x2) + qn (x1, x2) + + qm-2 (x1, x2) = = (x1, x2) qn-1 [1 + q + + qm-n-1 ] (x1, x2) qn-1 [1 + q + . . . ] = qn-1 (x1, x2) 1 1-q . Necht' > 0 je libovolné. Protože lim qn-1 = 0, existuje n0 N takové, že pro n n0 platí qn-1 (x1, x2) 1 1-q < . Tedy pro n, m n0 je (xn, xm) < , čímž je dokázáno, že posloupnost {xn} je cauchyovská. 2. Protože prostor (P, ) je úplný, je {xn} konvergentní, tedy xn x0, kde x0 P. 3. Ukážeme, že x0 je pevným bodem zobrazení F. Předpokládejme sporem, že x0 není pevným bodem, tj. (x0, F(x0)) =: > 0. Pro libovolné n N platí (x0, F(x0)) (x0, xn)+(xn, F(x0)) = (x0, xn)+(F(xn-1), F(x0)) (x0, xn)+q(x0, xn-1). Protože jak (x0, xn), tak q(x0, xn-1) konvergují k nule, je jejich součet menší než , je-li n dostatečně velké, což je spor. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 85 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec x y y = x y = f (x) x1x2 x3x4 f (x1) f (x2) f (x3) f (x4) Obrázek 5: Pevný bod a metoda postupných aproximací Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 86 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4. Dokážeme, že x0 je jediný pevný bod zobrazení F. Předpokládejme, že y0 je jiný pevný bod. Pak (x0, y0) = (F(x0), F(y0)) q(x0, y0). Odtud plyne (1-q)(x0, y0) 0, což je vzhledem k faktu, že 1-q > 0, možné jen tehdy, když (x0, y0) 0, tj. x0 = y0. Poznámky 5.3. i) Věta o pevném bodu kontraktivního zobrazení v úplném metrickém prostoru byla ve výše uvedeném tvaru dokázána polským matematikem Stefanem Ba- nachem ve dvacátých letech 20. století. V současné době existuje celá řada zobecnění a modifikací tvrzení o existenci pevných bodů zobrazení v metric- kých prostorech; podrobnosti je možno nalézt např. v [17]. ii) Podmínky Banachova principu jsou pouze dostatečnými podmínkami pro existenci pevného bodu zobrazení metrického prostoru do sebe. Jinými slovy, toto zobrazení může mít pevný bod i v případě, že není splněn některý z před- pokladů Banachovy věty (tj. kontrakce -- do sebe -- úplnost), viz Příklad 5.4 i) a Cvičení 5.6 i). iii) Podmínku (F(x), F(y)) q(x, y), q [0, 1) nelze obecně nahradit slabší podmínkou (F(x), F(y)) < (x, y), (5.2) jak ukazuje tento příklad: P = E1 a F(x) = x + 2 - arctg x, které nemá v P pevný bod, přestože podmínka (5.2) je splněna. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 87 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklady 5.4. i) Najděte pevné body zobrazení f : E1 E1 , f (x) = x2 a proved'te diskusi, na jakých intervalech jsou splněny předpoklady Banachovy věty. Řešení. Graficky nebo řešením rovnice x2 = x dostáváme pevné body zobra- zení x = 0, 1. Necht' I je libovolný interval tvaru [a, b], [a, ), (-, a], tj. I s metrikou indukovanou z E1 je úplný metrický prostor. Podle Příkladu 4.7 i) je diferencovatelná funkce f kontrakcí, jestliže platí max xI | f (x)| = max xI |2x| < 1, což je splněno pro |x| < 1 2 . Proto dále uva- žujme libovolný uzavřený podinterval [a, b] intervalu -1 2 , 1 2 . Ověřme, kdy je f zobrazením [a, b] do sebe. K tomu musíme najít nejmenší a největší hodnotu f na [a, b] (tyto hodnoty existují v důsledku druhé Weier- strassovy věty). Diferencovatelná funkce nabývá svého maxima a minima na uzavřeném intervalu bud' v nějakém stacionárním bodě ležícím uvnitř inter- valu, nebo v jednom z krajních bodů intervalu. Položíme-li f (x) = 0, do- stáváme stacionární bod x = 0 a porovnáním této hodnoty s hodnotami f (a) a f (b) vidíme, že max f (x) = max{a2 , b2 }, min f (x) = 0, tedy f zobrazuje interval [a, b] do sebe, jestliže a [-1, 1], b (0, 1], b |a|. Například je-li f definovaná na [-0,4; 0,4], pak splňuje předpoklady Bana- chovy věty. ii) Necht' (P, ) je kompaktní metrický prostor, F : P P splňuje podmínku (5.2) pro každé x, y P, x = y. Pak má F právě jeden pevný bod v P. Dokažte. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 88 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení. Uvažujme zobrazení f : P E1 zadané takto: f (x) = (x, F(x)). Toto zobrazení je spojité (viz Cvičení 4.4 vi)). Předpokládejme, že zobrazení F nemá pevný bod v P. Pak f (x) > 0 pro každé x P. Vzhledem ke kompakt- nosti P a spojitosti f nabývá f na P své nejmenší hodnoty, tj. existuje x0 P takové, že f (x) f (x0) pro každé x P. Avšak pro x1 = F(x0) z podmínky (5.2) plyne f (x1) = (x1, F(x1)) = (F(x0), F(F(x0))) < (x0, F(x0)) = = f (x0), což je spor. Jsou-li x0, y0 dva pevné body F, podobně jako v důkazu Věty 5.2 lze ukázat, že podmínka (5.2) implikuje x0 = y0, tedy F má jediný pevný bod. Následující příklady ilustrují praktické použití Banachova principu, kterým je, jak jsme řekli v úvodu, -- důkaz existence a jednoznačnosti řešení rovnice (5.1); -- nalezení tohoto řešení metodou postupných aproximací. Příklady 5.5. i) Metodou postupných aproximací najděte řešení rovnice cos x = x. Řešení. Hledáme pevný bod zobrazení f (x) = cos x. Aby bylo toto zobrazení kontraktivní, musí být podle Příkladu 4.7 i) | sin x| < 1. Proto uvažujme toto zobrazení na intervalu I = - 2 +, 2 - , kde > 0 je dostatečně malé. Pak cos x : I [0, 1] je kontrakce úplného metrického prostoru do sebe a jeho pevný bod hledáme postupnými aproximacemi xn = cos xn-1. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 89 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Zvolíme-li x0 = 1 2 , numerickým výpočtem dostáváme tyto hodnoty: x1 = 0,87758, x4 = 0,69478, x15 = 0,73965, x2 = 0,63901, x5 = 0,76820, x20 = 0,73901, x3 = 0,80269, x10 = 0,73501, x30 = 0,73908. ii) Najděte pevný bod zobrazení f : E2 E2 , které je složeno ze stejnolehlosti s koeficientem k = 1 2 a středem stejnolehlosti [0, 0] a z posunutí určeného vektorem u = (1, 1). Řešení. Uvažované zobrazení je dáno předpisem f ([a1, a2])= 1 2 a1+1, 1 2 a2+ + 1 . Výpočtem z rovnic 1 2 a1 + 1 = a1, 1 2 a2 + 1 = a2 určíme (jediný) pevný bod A = [2, 2]. Metodou postupných aproximací dostaneme, zvolíme-li např. x1 = [-2, 2], tuto konvergentní posloupnost: x2 = [0, 2], x3 = [1, 2], x4 = 3 2 , 2 , x5 = 7 4 , 2 , x6 = 15 8 , 2 , x7 = 31 16 , 2 , . . . iii) Metodou postupných aproximací najděte řešení diferenciální rovnice s danou počáteční podmínkou y = -2xy, y(0) = 1. (5.3) Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 90 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Řešení. Abychom mohli použít Banachovu větu, zintegrujeme obě strany rov- nice v intervalu [0, x]. Dostáváme y(x) - y(0) = -2 x 0 ty(t) dt, tj. y(x) = = 1 - 2 x 0 ty(t) dt. Funkce y je tedy řešením úlohy (5.3), právě když je pevným bodem zobrazení F, které přiřazuje spojité funkci y(x) opět spojitou funkci1 h(x) = 1 - 2 x 0 ty(t) dt, a to v nějakém intervalu [-, ], > 0. Označme P prostor C[-, ] s me- trikou stejnoměrné konvergence (viz Příklad 1.2 v)). Podle Příkladu 3.6 i) je P úplný a F : P P, F(y(x)) = h(x). Důkaz, že zobrazení F je kon- trakce, je v podstatě totožný s řešením Příkladu 4.7 iv) a dává výsledek, že F je kontrakce, je-li [-, ] (-1, 1). Nyní metodou postupných aproximací dostaneme, zvolíme-li y0 = 1, y1 = 1 - 2 x 0 t dt = 1 - x2 , y2 = 1 - 2 x 0 t(1 - t2 ) dt = 1 - x2 + x4 2 , y3 = 1 - 2 x 0 t(1 - t2 + t4 2 ) dt = 1 - x2 + x4 2 - x8 6 , ... yn = 1 - x2 + x4 2! - x6 3! + + (-1)n x2n n! , 1Nebot' integrál jako funkce horní meze je spojitá funkce. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 91 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec což je Taylorův polynom stupně n v bodě x = 0 funkce y = e-x2 . V teorii nekonečných řad se dokazuje, že lim n yn = n=1 (-1)n x2n n! = e-x2 pro x (-, ). Řešením daného tzv. počátečního problému je proto funkce y = e-x2 . Dosa- zením do rovnice (5.3) se můžeme přesvědčit, že tato funkce je jejím řešením pro všechna x R. iv) Pomocí Banachova principu ukažte, že soustava rovnic x = 1 2 x + 1 3 y - 2, y = 1 3 x + 1 2 y + 1 má právě jedno řešení.1 Řešení. Uvedený systém rovnic definuje zobrazení f : R2 R2 tak, že ře- šení systému rovnic je právě jeho pevným bodem. Abychom mohli použít Banachovu větu, zaved'me na R2 např. euklidovskou metriku a ověřme, zda 1Tento příklad má ilustrativní charakter; systém rovnic lze samozřejmě řešit přímo. Uvedená metoda řešení systému lineárních rovnic je běžná v numerických metodách v případě, že matice soustavy má velké rozměry, nebot' přímé metody řešení pak vyžadují velkou kapacitu paměti počí- tače. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 92 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec f je kontrakce z E2 do sebe (případy jiných metrik jsou uvedeny ve Cvičení 5.8 iv)). Označíme-li u = (x, y), u = (x , y ), v = f (u), v = f (u ), dostáváme 2 (v, v ) = 1 2 (x - x ) + 1 3 (y - y ) 2 + 1 3 (x - x ) + 1 2 (y - y ) 2 = = 13 36 (x - x )2 + 13 36 (y - y )2 + 2 3 (x - x )(y - y ) 13 36 (x - x )2 + 13 36 (y - y )2 + 1 3 (x - x )2 + 1 3 (y - y )2 = = 25 36 [(x - x )2 + (y - y )2 ] = 25 36 (u, u ), přitom při odhadu členu 2 3 (x - x )(y - y ) jsme použili nerovnost 2ab a2 + b2 . Protože 25 36 < 1, plyne z Banachova principu existence a jednoznačnost řešení daného systému rovnic. Cvičení 5.6. i) Najděte pevné body osové souměrnosti, středové souměrnosti, posunutí, kru- hové inverze. ii) Najděte pevný bod následujících funkcí a rozhodněte, kdy jsou splněny před- poklady Banachovy věty: a) f (x) = ax + b, x R; Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 93 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec b) f (x) = 1 x , x c > 0; c) f (x) = x, x c 0; d) f (x) = ln x, x c > 0. iii) Určete interval, kde následující funkce splňují předpoklady Banachovy věty o pevném bodu, a metodou postupných aproximací najděte tento bod. a) f (x) = 1 + 1 2 x; b) f (x) = (x2 - 1)/3. iv) Je dána rovnice 2 arctg x = x. Určete přibližně kladný kořen této rovnice: a) metodou postupných aproximací, je-li x1 = 1,5; b) nahradíte-li v této rovnici funkci arctg x prvními dvěma členy Maclauri- nova rozvoje. Porovnejte hodnotu x5 z a) s výsledkem b). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 94 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec V.2. Cauchyova úloha V tomto odstavci zformulujeme Banachův princip pro řešení některých diferen- ciálních rovnic, kde zobecníme postup z Příkladu 5.5 iii). Další příklady jsou pak uvedeny ve Cvičení 5.8. Cauchyova úloha. Hledáme řešení diferenciální rovnice s počáteční podmín- kou y = f (x, y), y(x0) = y0. (5.4) Tímto řešením je diferencovatelná funkce y = y(x), jejíž graf prochází bodem [x0, y0] a která v nějakém okolí bodu x0 vyhovuje rovnosti y (x) = f (x, y(x)). Věta 5.7 (Cauchyova úloha). Necht' funkce f (x, y) je spojitá v E2 a splňuje tzv. Lipschitzovu podmínku vzhledem k proměnné y, tj. existuje nezáporná reálná konstanta L taková, že | f (x, y1) - f (x, y2)| L|y1 - y2| pro každé [x, y1], [x, y2] E2 . Pak má Cauchyova úloha (5.4) právě jedno řešení. Důkaz. Integrací obou stran rovnice (5.4) od x0 do x a využitím počáteční pod- mínky dostáváme y(x) = y0 + x x0 f (t, y(t)) dt. (5.5) Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 95 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Využitím pravidla pro derivaci funkce, kde proměnná je jednou z mezí integrálu, lze ukázat, že funkce y = y(x) je řešením (5.4), právě když splňuje rovnost (5.5). Necht' > 0 je takové, že L < 1, a uvažujme prostor C[x0 - , x0 + ] všech spojitých funkcí definovaných na intervalu [x0 -, x0 +] s metrikou stejnoměrné konvergence c. Definujme zobrazení prostoru C[x0 - , x0 + ] do sebe takto: F(y(x)) = y0 + x x0 f (t, y(t)) dt. Protože funkce y(x) splňující (5.5) jsou řešeními Cauchyovy úlohy (5.4), k dů- kazu existence řešení této úlohy stačí najít pevný bod zobrazení F. Necht' tedy g(x), h(x) C[x0 - , x0 + ]. Pak platí |F(g(x)) - F(h(x))| = x x0 f (t, g(t)) dt - x x0 f (t, h(t)) dt x x0 | f (t, g(t)) - f (t, h(t))| dt x x0 L|g(t) - h(t)| dt max x[x0-,x0+] |g(x) - h(x)|L x x0 dt Lc(g, h). Tedy c(F(g), F(h)) = max [x0-,x0+] |F(g(x)) - F(h(x))| Lc(g, h), což zna- mená, že F je kontrakce s konstantou L. Protože prostor C[x0 - , x0 + ] je úplný, má podle Věty 5.2 zobrazení F pevný bod, funkci y(x), která je řešením (5.4). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 96 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec V.3. Systém lineárních rovnic V tomto odstavci zobecníme úlohu z Příkladu 5.5 iv) -- použijeme Banachův princip pevného bodu k důkazu existence a jednoznačnosti řešení systému n line- árních rovnic o n neznámých Ax = b, (5.6) kde x = (x1, . . . , xn) a b = (b1, . . . , bn) jsou vektory a A = (ai j ) je regulární n × n matice s prvky ai j R. Přepíšeme-li tento systém do tvaru (E - A)x + b = x, definuje levá strana této rovnice zobrazení Rn do sebe, jehož pevným bodem je právě řešení daného systému (5.6). Hledáme podmínky na prvky matice A, které zajistí, že toto zobrazení je kon- trakcí na Rn s vhodnou metrikou. Uvažujme En a definujme zobrazení f : En En takto: f (x) = y = (E - A)x + b, (5.7) tj. označíme-li matici E - A = K, jsou jednotlivé komponenty vektoru y tvaru yi = n j=1 ki j xi - bi . Necht' y = f (x ), y = f (x ). Pak 2 (y , y ) = n i=1 (yi - yi )2 = n i=1 n j=1 ki j (xj - xj ) 2 n i=1 n j=1 k2 i j 2 (x - x ), Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 97 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec přičemž v poslední nerovnosti jsme použili Cauchyovu-Buňakovského nerovnost, která je uvedena v odst. VII.1. Odtud plyne podmínka pro to, aby f byla kon- trakce: n i=1 n j=1 k2 i j < 1. (5.8) Změníme-li euklidovskou metriku na množině Rn za maximální nebo součto- vou metriku, změní se tvar podmínky na prvky matice A -- viz Cvičení 5.8 iv). Cvičení 5.8. i) Metodou postupných aproximací najděte řešení Cauchyovy úlohy y = 1 2 y, y(0) = 1. ii) Dokažte existenci a jednoznačnost řešení Cauchyovy úlohy y + y2 + 1 = 0, y(0) = 0 a toto řešení najděte metodou postupných aproximací. iii) Pomocí Banachova principu ukažte, že soustava rovnic má právě jedno řešení. x = 1 3 x - 1 4 y + 1 4 z - 1 y = - 1 2 x + 1 5 y + 1 4 z + 2 z = 1 5 x - 1 3 y + 1 4 z - 2 iv) Najděte podmínky na prvky matice A tak, aby zobrazení definované vzta- hem (5.7) bylo kontrakcí, definujeme-li na množině Rn metriku 1, resp. . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 98 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Udejte příklad 2 × 2 matice, pro niž toto zobrazení je, resp. není kontrakcí v některé metrice. Skutečný objev, to není najít nové země, ale dívat se novýma očima. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 99 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola VI DALŠÍ VLASTNOSTI METRICKÝCH PROSTOR Ů V této kapitole jsou vysvětleny některé pojmy, které většinou nejsou probírány v rámci běžného kursu matematické analýzy, jsou však standardní částí každé monografie zabývající se podrobněji problematikou metrických prostorů. Tato ka- pitola může také sloužit jako úvod do studia topologie a funkcionální analýzy, což jsou matematické disciplíny probírané ve vyšších ročnících odborného studia. Důkazy jednotlivých tvrzení i komentáře k nim jsou v této kapitole poněkud stručnější než v předcházejícím textu. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 100 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VI.1. Souvislé metrické prostory Definice 6.1. Metrický prostor (P, ) se nazývá souvislý, jestliže P nelze vy- jádřit jako sjednocení dvou neprázdných disjunktních podmnožin P, které jsou uzavřené v P. Množina A P se nazývá souvislá, je-li metrický prostor (A, ) souvislý. Poznamenejme, že množina A P je tedy souvislá, pokud ji nelze vyjádřit jako sjednocení dvou disjunktních množin, které jsou uzavřené v A, a nikoliv v P, jak je často tato definice chybně interpretována. Příklady 6.2. i) Necht' a, b R. Pak intervaly [a, b], (a, b),[a, b), (a, b], (-, a), (a, ), [a, ), (-, a] a celá reálná přímka (-, ) jsou (jediné) souvislé mno- žiny v E1 . Důkaz souvislosti těchto množin je založen na axiomu o supremu pro množiny v R (každá neprázdná shora ohraničená množina v R má v R svoje supremum). Pro metrický prostor Q toto tvrzení neplatí! ii) Metrický prostor (P, ) je souvislý, právě když pro každou neprázdnou pod- množinu A P, A = P platí h(A) = . Dokažte. Řešení. : Necht' (P, ) je souvislý a předpokládejme, že existuje = = A P, pro niž h(A) = . Pak ale P = A P A je sjednocení ne- prázdných uzavřených disjunktních podmnožin. : Necht' pro každé = A P je h(A) = a předpokládejme, že (P, ) není souvislý, tj. existují neprázdné uzavřené disjunktní podmnožiny Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 101 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec A, B P takové, že P = A B. Pak ale B = P A a P A A = = B A = B A = , tj. h(A) = , což je spor. Následující tvrzení je zobecněním Bolzanovy věty z diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné, která říká, že spojitým obrazem intervalu na reálné ose je opět interval. Věta 6.3. Necht' (P, ), (Q, ) jsou metrické prostory, A P je souvislá a f : P Q je spojité. Pak f (A) je souvislá množina. Důkaz. Předpokládejme, že f (A) není souvislá, tj. tuto množinu lze vyjádřit jako sjednocení dvou neprázdných disjunktních množin Q1, Q2, které jsou uzavřené v f (A). Podle výsledku Cvičení 4.4 iv) jsou množiny f -1 (Q1), f -1 (Q2) uza- vřené (a samozřejmě i neprázdné a disjunktní) v A, přičemž A = f -1 (Q1) f -1 (Q2), což odporuje souvislosti množiny A. Cvičení 6.4. i) Metrický prostor je souvislý, právě když P a jsou jediné obojetné (tj. záro- veň otevřené i uzavřené) množiny v P. Dokažte. ii) Metrický prostor P je souvislý, právě když P nelze vyjádřit jako sjednocení dvou neprázdných disjunktních podmnožin, které jsou otevřené v P. Dokažte. iii) Dokažte, že otevřená množina A En je souvislá, právě když každé dva body z A lze spojit lomenou čarou, která leží celá v A. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 102 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iv) Necht' 1, 2 jsou ekvivalentní metriky na P. Dokažte, že (P, 1) je souvislý, právě když je souvislý (P, 2). v) Necht' (P, ), (Q, ) jsou metrické prostory. Dokažte, že metrický prostor P × Q s metrikou ~ definovanou pro [x1, y1], [x2, y2] P × Q předpisem ~ ([x1, y1], [x2, y2]) = 2(x1, x2) + 2(y1, y2) je souvislý, právě když každý z prostorů P, Q je souvislý. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 103 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VI.2. Separabilní prostory Definice 6.5. Metrický prostor (P, ) se nazývá separabilní, jestliže existuje nejvýše spočetná množina A P, která je hustá v P, tj. A = P. Připomeňme, že nějaká množina obsahuje nejvýše spočetně mnoho prvků, jestliže má konečně mnoho prvků nebo existuje bijektivní zobrazení této množiny na množinu přirozených čísel. Množina je nespočetná, jestliže není nejvýše spo- četná. Např. množina celých a racionálních čísel jsou nejvýše spočetné, množina iracionálních nebo reálných čísel je nespočetná. Sjednocení nejvýše spočetného počtu nejvýše spočetných množin je nejvýše spočetná množina, viz např. [9]. Věta 6.6. Necht' (P, ) je metrický prostor. Jestliže existuje > 0 a nespočetná množina X P taková, že (x, y) > pro každé x, y X, x = y, pak (P, ) není separabilní. Důkaz. Necht' A je libovolná hustá podmnožina v P. Podle Věty 2.13 to znamená, že ke každému x P a každému > 0, zejména k = /2, existuje a A takové, že (a, x) < . Protože X P, totéž tvrzení platí i pro x X, což je však vzhledem k nespočetnosti množiny X možné jen tehdy, když A je nespočetná, tedy metrický prostor (P, ) není separabilní. Příklady 6.7. i) Prostor E1 je separabilní, nebot' Q -- množina racionálních čísel -- je jeho spočetná hustá podmnožina. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 104 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Necht' (P, ) a (Q, ) jsou separabilní metrické prostory a necht' na množině P × Q je definována metrika stejným způsobem jako ve Cvičení 6.4 v). Pak prostor P × Q s touto metrikou je separabilní prostor. Vskutku, jsou-li A, B nejvýše spočetné husté podmnožiny v P, resp. Q, pak nejvýše spočetná mno- žina A× B je hustá v P × Q. Z tohoto faktu a předchozího příkladu mj. plyne, že prostor En je separabilní. iii) Prostor l2 je separabilní, nebot' množina všech posloupností racionálních čí- sel, v nichž pouze konečně mnoho členů je nenulových, je nejvýše spočetná a hustá v l2. Abychom tuto skutečnost dokázali, necht' x = {xk} je libovolná, tj. řada k=1 x2 k je konvergentní. Odtud plyne, že lim n k=n x2 k = 0. Odtud k číslu /2 > 0 existuje n0 N takové, že pro každé n n0 platí k=n x2 k < < /2. Protože množina racionálních čísel Q je hustá v E1 , k číslu /2k+1 existuje rk Q takové, že |xk - rk| < /2k+1 , k = 1, . . . , n0. Označme r = {r1,r1, . . . ,rn0 , 0, . . . , }. Pak platí (x,r) = n0 k=1 (xk - rk)2 + k=n0+1 x2 k < n0 k=1 2-(k+1) + 1 2 < 1 2 + 1 2 . Tedy množina posloupností racionálních čísel, v nichž pouze konečně mnoho členů je nenulových, je hustá v l2. iv) Prostor l všech ohraničených posloupností reálných čísel není separabilní. Necht' A je podmnožina l sestávající z posloupností, v nichž se vyskytují Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 105 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec pouze čísla 0 a 1. Tato množina je nespočetná (viz [9]) a pro x, y A, x = y, platí (x, y) = 1, tedy podle Věty 6.6 prostor l není separabilní. Cvičení 6.8. i) Rozhodněte, zda pampeliškový prostor (viz Cvičení 1.4 vii)) je separabilní. ii) Rozhodněte, zda metrický prostor ze Cvičení 3.7 iii) je separabilní. iii) Udejte nutnou a dostatečnou podmínku, kdy je diskrétní metrický prostor se- parabilní. iv) Rozhodněte, zda Baireův metrický prostor (viz Příklad 1.2 vii)) je separabilní. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 106 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VI.3. Homeomorfní zobrazení Definice 6.9. Necht' (P, ) a (Q, ) jsou metrické prostory a f : P Q je bijekce. Zobrazení f se nazývá homeomorfní, jestliže zobrazení f i f -1 jsou spojitá. Existuje-li mezi dvěma metrickými prostory homeomorfní zobrazení, pak řekneme, že tyto prostory jsou homeomorfní. Poznamenejme, že je-li zobrazení f spojité, inverzní zobrazení f -1 nemusí být spojité. Například identické zobrazení na R, chápané jako zobrazení (R, d) do E1 , je spojité (Cvičení 4.4 i)) a inverzní zobrazení E1 do (R, d) není spojité (Příklad 4.3 iii)). Důležitost pojmu homeomorfního zobrazení v teorii metrických prostorů po- pisuje následující věta. Věta 6.10. Necht' f : P Q je homeomorfní zobrazení. Pak platí: a) Množina A P je uzavřená v P, právě když množina f (A) je uzavřená v Q. b) Množina A P je otevřená v P, právě když množina f (A) je otevřená v Q. Důkaz. Tvrzení plyne z výsledku Cvičení 4.4 iv). Příklady 6.11. i) Necht' P je množina všech funkcí tvaru f (x) = xn , n N s metrikou (xn , xm ) = |n - m| a Q = N s metrikou indukovanou z E1 . Pak lze snadno ověřit, že f : P N definované předpisem f (xn ) = n je homeomorfní zob- razení z P na Q. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 107 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Necht' P je kulová plocha bez severního pólu. Pak P je homeomorfní s E2 , při- čemž homeomorfním zobrazením mezi těmito prostory je stereografická pro- jekce, viz Cvičení 1.4 vi). Spojitost stereografické projekce a k ní inverzního zobrazení plyne z explicitního předpisu pro toto zobrazení. Cvičení 6.12. i) Dokažte, že každé izometrické zobrazení je homeomorfní. ii) Dokažte toto tvrzení: Necht' 1, 2 jsou metriky na množině P. Tyto met- riky jsou ekvivalentní, právě když metrické prostory (P, 1) a (P, 2) jsou homeomorfní. iii) Ke každému metrickému prostoru (P, ) existuje s ním homeomorfní prostor (Q, ), který je omezený, tj. sup a,bQ (a, b) < . Dokažte. iv) Dokažte, že interval (0, 1) s metrikou indukovanou z E1 je homeomorfní s E1 .1 v) V diferenciálním počtu funkcí jedné proměnné je dokazováno toto tvrzení: Necht' f (x) je spojitá a prostá funkce na intervalu I = [a, b]. Pak inverzní funkce f -1 : f ([a, b]) [a, b] je také spojitá. Dokažte toto zobecněné tvrzení: Necht' f je prosté a spojité zobrazení kompaktního metrického prostoru (P, ) na metrický prostor (Q, ). Pak inverzní zobrazení f -1 je spojité. 1Tento příklad ukazuje, že homeomorfní obraz úplného prostoru nemusí být úplný. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 108 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VI.4. Kompaktní množiny Definice 6.13. Necht' (P, ) je metrický prostor a > 0. Množina A P se na- zývá -sít' v P, jestliže ke každému x P existuje a A takové, že (x, a) < . Význam pojmu -sítě při studiu kompaktních množin ilustruje následující tvr- zení. Věta 6.14. Metrický prostor (P, ) je kompaktní, právě když je úplný a ke kaž- dému > 0 existuje konečná -sít'. Důkaz. : Nejprve ukážeme, že kompaktní metrický prostor je úplný (což je vlastně řešení Cvičení 3.18 iv)). Necht' {xn} je libovolná cauchyovská posloup- nost v P. Z kompaktnosti P plyne, že existuje vybraná podposloupnost {xnk } konvergující k nějakému x0 P. Necht' > 0 je libovolné. Platí (xn, x0) (xn, xnk ) + (xnk , x0). Jsou-li nyní n a nk dostatečně velká, je každý ze sčí- tanců v poslední nerovnosti menší než 2 , tedy (xn, x0) 0. Nyní dokážeme existenci konečné -sítě. Necht' > 0 a x1 P jsou libovolná. Je-li B[x1, ] = P, je důkaz proveden a {x1} je hledaná -sít'. Je-li B[x1, ] P, existuje x2 P, takové, že (x1, x2) > . Pokud B[x1, ] B[x2, ] = P, je {x1, x2} hledanou -sítí, v opačném případě existuje x3 P takové, že platí (x1, x3) > , (x2, x3) > . Pokud by bylo možné v této konstrukci pokračo- vat do nekonečna, sestrojili bychom posloupnost {xn} takovou, že pro n = m, n, m N, je (xn, xm) , a z této posloupnosti nelze vybrat konvergentní podposloupnost. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 109 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec : Necht' (P, ) je úplný a ke každému > 0 existuje konečná -sít'. Bud' {yn} libovolná posloupnost v P. Existuje bod x1 z 1-sítě takový, že v B[x1, 1] leží nekonečně mnoho členů {yn}. Odtud plyne, že uvnitř B[x1, 1] existuje bod x2 1 2 - sítě takový, že B x2, 1 2 B[x1, 1] a v B[x2, 1 2 ] leží nekonečně mnoho členů posloupnosti {yn}. Jako výsledek této konstrukce obdržíme posloupnost množin An = B xn, 1 n , která splňuje předpoklady Věty 3.5, tedy existuje y0 n=1 An a není obtížné ukázat, že y0 je limitou jisté vybrané posloupnosti z {yn}. Příklady 6.15. i) Množina přirozených čísel N je -sítí v E1 , je-li > 1 2 . ii) Necht' P je Baireův metrický prostor, viz Příklad 1.2 vii), a necht' X = {x = = {xn} n=1, xn {1, 2, . . . , 9}}. Množina A P skládající se z posloup- ností, které mají na prvních dvou místech všechny možné kombinace cifer 1, 2, . . . , 9 a na zbylých místech jsou číslice 1, tvoří 1 2 -sít' v X. Definice 6.16. Systém otevřených podmnožin M v prostoru (P, ) se nazývá otevřené pokrytí prostoru P, jestliže MM M = P. Systém podmnožin N v prostoru (P, ) se nazývá podpokrytí pokrytí M , jestliže N je pokrytí a N N implikuje N M . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 110 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Následující věta udává nutnou a dostatečnou podmínku pro kompaktnost me- trického prostoru a v některých učebnicích je brána za definici kompaktních pro- storů. Její důkaz je možno nalézt např. v [8]. Věta 6.17 (Heineho-Borelovo lemma). Metrický prostor (P, ) je kompaktní, právě když z každého otevřeného pokrytí P lze vybrat konečné podpokrytí, tj. podpokrytí obsahující pouze konečně mnoho množin. Jako poslední tvrzení uved'me bez důkazu (ten je možno nalézt např. v [11]) důležité tvrzení, které se týká kompaktnosti množin spojitých funkcí a v litera- tuře bývá uváděno jako Arzelova věta. Pomocí této věty lze dokázat, že Cauchy- ova počáteční úloha (viz odst. V.2) je řešitelná za pouhého předpokladu spojitosti funkce f (x, y). Tedy předpoklad, že funkce f splňuje lipschitzovu podmínku vzhledem k proměnné y, může být vypuštěn, viz např. [12]). Věta 6.18. Uzavřená množina A v prostoru (C[a, b], c) je kompaktní, právě když všechny funkce z A jsou stejně ohraničené a stejně spojité, tj. právě když jsou splněny tyto podmínky: a) Existuje konstanta K 0 taková, že | f (x)| K pro každé f A a každé x [a, b]. b) Ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každou f A a každé x1, x2 [a, b], pro něž |x1 - x2| < , platí | f (x1) - f (x2)| < . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 111 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Příklady 6.19. i) Množina přirozených čísel N s metrikou indukovanou z E1 není kompaktní (nebot' není ohraničená). Najděte otevřené pokrytí této množiny, ze kterého nelze vybrat konečné podpokrytí. Řešení. Každá z jednoprvkových množin {1}, {2} . . . je otevřená v N a z tohoto otevřeného pokrytí evidentně nelze vybrat konečné podpokrytí. ii) Dokažte, že množina A = x = {xn} n=1 l2 : |xn| 1 n (tzv. Hilbertova krychle) je kompaktní v l2. Řešení. Využijeme tvrzení Věty 6.14. Ukážeme, že množina A je uzavřená (pak množina A s metrikou indukovanou z l2 je úplný metrický prostor -- viz Věta 3.3 a Cvičení 3.7 iii)) a že ke každému > 0 existuje v A konečná -sít'. Necht' xm = {xm n } n=1 je posloupnost bodů z A konvergující v metrice prostoru l2 k posloupnosti x = {xn}. Pak lim m xm n = xn pro každé n N, odtud |xn| 1 n , tj. x A a A je uzavřená podle Věty 2.10. Necht' > 0 je libovolné. Protože n=1 1 n2 = 2 6 < -- viz např. [5, str. 101], existuje n0 N takové, že n=n0 1 n2 < 2 . Nyní každý z intervalů -1 n , 1 n , n = 1, . . . n0 rozdělme na dílky o délce menší než 2n-1 a dělicí body včetně krajních bodů -1 n , 1 n označme xn k , n = 1, . . . n0. Za body -sítě bereme posloupnosti, jejichž členy s indexy n > n0 jsou nulové a na prvních n0 místech jsou všechny možné kombinace čísel xn k takové, že na n-tém místě je vždy některé z čísel xn k . Není obtížné ověřit, že takto sestrojená množina je opravdu -sítí. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 112 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Cvičení 6.20. i) Necht' A = { f C[a, b] : | f (x)| 1, f jsou lipschitzovské s konstantou L 2}. Dokažte, že A je kompaktní v (C[a, b], c). ii) Jestliže existuje > 0 a nekonečná množina A P taková, že (x, y) > pro každé x, y P, x = y, pak metrický prostor (P, ) není kompaktní. Dokažte. iii) Charakterizujte kompaktní množiny v prostorech l a lp, p 1, tj. udejte nut- nou a dostačující podmínku, kdy je množina v daných prostorech kompaktní. iv) Necht' (P, ) je kompaktní metrický prostor. Rozhodněte, zda prostor U(P) s Hausdorffovou metrikou (viz Cvičení 2.22 vii)) je také kompaktní. v) Necht' (P, ) je kompaktní metrický prostor a zobrazení f : P P spl- ňuje pro každé x, y P podmínku ( f (x), f (y)) (x, y). Dokažte, že f (P) = P a f je izometrické zobrazení. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 113 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VI.5. Závěrečná cvičení Na závěr této kapitoly zařazujeme několik neřešených příkladů, které by měly sloužit k celkovému procvičení problematiky metrických prostorů. Cvičení 6.21. Necht' P = R. Definujme metriky 1(x, y) = 1 |x| + 1 |y| , je-li x = 0, y = 0, x = y, 1 |x| , je-li x = 0, y = 0, 1 |y| , je-li y = 0, x = 0, 0, je-li x = y, 2(x, y) = 0, je-li x = y, |x| + |y|, je-li x = y. a) Dokažte, že 1, 2 jsou metriky, a rozhodněte, zda jsou ekvivalentní. b) Charakterizujte okolí bodů v prostorech (P, i ), i = 1, 2. c) Rozhodněte, zda prostory (P, i ) jsou úplné, resp. souvislé, resp. separabilní. d) Charakterizujte kompaktní množiny v (P, i ). e) Charakterizujte spojitá zobrazení (P, i ) E1 . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 114 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Cvičení 6.22. Necht' P = N a pro n, m N definujme 1(n, m) = 1 n - 1 m , 2(n, m) = 0, je-li n = m, 1 1+max{n,m} , je-li n = m, 3(n, m) = 0, je-li n = m, 1 1+n+m je-li n = m. a) Charakterizujte konvergentní posloupnosti v (P, i ), i = 1, 2, 3. b) Rozhodněte, zda (P, i ) je úplný, resp. separabilní, resp. souvislý. c) Rozhodněte, zda zobrazení T prostoru (P, i ) do sebe definované předpisem T (n) = n + 1 je spojité, resp. lipschitzovské, resp. kontraktivní. d) Dokažte, že i , i = 1, 2, 3 jsou metriky, a rozhodněte, zda jsou ekvivalentní. Cvičení 6.23. Necht' P = R2 a pro [x1, y1], [x2, y2] R2 definujme metriku ([x1, y1], [x2, y2]) = |x1 - x2|, je-li y1 = y2, 1 + (x1 - x2)2, je-li y1 = y2. a) Dokažte, že je metrika. b) Charakterizujte všechny konvergentní posloupnosti v (P, ). c) Rozhodněte, zda (P, ) je úplný, resp. separabilní, resp. souvislý. d) Charakterizujte kompaktní množiny v (P, ). Cvičení 6.24. Necht' P = [0, 1) N a pro x, y P definujme metriku (x, y) = |x - y|, je-li x, y [0, 1] nebo x = y, x + y, jinak. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 115 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec a) Dokažte, že je metrika. b) Rozhodněte, zda (P, ) je úplný, resp. souvislý, resp. separabilní. c) Charakterizujte kompaktní a otevřené množiny v (P, ). d) Rozhodněte, zda zobrazení F : P P definované předpisem F(x) = x - 1 2 x2 , je-li x [0, 1], x - 1, je-li x {2, 3, . . . } je spojité, resp. lipschitzovské, resp. kontraktivní. Najděte všechny pevné body tohoto zobrazení. Cvičení 6.25. Necht' P je množina spojitých funkcí na intervalu [1, ), pro f, g P definujme metriku ( f, g) = 0, pro f = g, 1 x pro f = g, x = inf{t [1, ), f (t) = g(t)}. a) Dokažte, že je metrika. b) Charakterizujte okolí bodů z P. c) Rozhodněte, zda (P, ) je úplný, resp. souvislý, resp. separabilní. d) Rozhodněte, zda množina A = { f P : | f (x)| 1, | f (x)| 1, x [1, )} je kompaktní. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 116 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Kapitola VII TOPOLOGICKÉ, NORMOVANÉ A UNITÁRNÍ PROSTORY Do této kapitoly je zařazena část týkající se nerovností potřebných při důkazu trojúhelníkové nerovnosti v různých příkladech a především jsou zde vysvětleny některé matematické pojmy, jež mají úzkou souvislost s pojmem metrický pro- stor, a to topologický prostor, který je obecnější než metrický prostor (každý met- rický prostor je současně topologickým prostorem), a normovaný lineární prostor, resp. unitární prostor, které jsou speciálnější než metrický prostor (každý unitární prostor je normovaným lineárním prostorem a každý normovaný lineární prostor je metrickým prostorem). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 117 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VII.1. Nerovnosti Jak vyplývá z příkladů odstavce I.1., při důkazu platnosti axiomu (M3) v různých příkladech hraje důležitou roli tzv. Minkowského1 nerovnost. Nejdříve dokážeme jedno pomocné tvrzení. Lemma 7.1. Necht' ,r, s R, (0, 1),r, s 0. Pak platí: r s1- r + (1 - )s. (7.1) Důkaz. Předpokládejme, že r > 0, s > 0 (v případě, že jedno z čísel r, s je rovno 0, je nerovnost triviálně splněna). Reálná funkce f (t) = t -t + -1 má v bodě t = 1 absolutní maximum f (1) = 0 na množině (0, ) (ověřte!). Platí tedy f (r/s) 0, což je dokazovaná nerovnost. Věta 7.2 (Hölderova nerovnost). Necht' xk, yk R, k = 1, . . . , n a p, q (1, ) jsou reálná, pro něž 1/p + 1/q = 1.2 Pak n k=1 |xk yk| n k=1 |xk|p 1 p n k=1 |yk|q 1 q . (7.2) 1Hermann Minkowski, 1864­1909, německý matematik, přispěl k vybudování matematického aparátu speciální teorie relativity. Byl mj. i učitelem A. Einsteina; známý je jeho výrok asi tohoto obsahu: ,,Nikdy bych si nemyslel, že teorii relativity vymyslí právě ten Einstein, který se tak ulíval z mých přednášek." 2Taková čísla se nazývají konjugovaná. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 118 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Důkaz. Vzhledem k absolutním hodnotám v nerovnosti stačí uvažovat případ xk, yk 0, přičemž je-li xk = 0 nebo yk = 0 pro všechna k, je nerovnost tri- viálně splněna. Je-li n k=1 xk = 0 a n k=1 yk = 0, plyne nerovnost z Lemmatu 7.1 dosazením = 1 p , r = x p k n k=1 x p k , s = y q k n k=1 y q k do (7.1) a sečtením obdržených nerovností pro k = 1, . . . , n. Dosadíme-li p = 2, q = 2 do (7.2), dostáváme známou Cauchyovu-Buňakov- ského nerovnost mezi absolutní hodnotou skalárního součinu a součinem velikostí vektorů z En . Věta 7.3 (Minkowského nerovnost). Necht' xk, yk R, k = 1, . . . , n a p 1. Pak platí n k=1 |xk + yk|p 1 p n k=1 |xk|p 1 p + n k=1 |yk|p 1 p . (7.3) Důkaz. Pro p = 1 je nerovnost (7.3) zřejmá. Pro p > 1 předpokládejme, stejně jako v důkazu Hölderovy nerovnosti, že xk, yk 0 a n k=1 xk = 0 = n k=1 yk. Do- sad'me do (7.2) výraz (xk + yk)p-1 místo xk, pak tentýž výraz dosad'me do (7.2) Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 119 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec místo yk. Sečtením takto vzniklých nerovností dostáváme n k=1 (xk + yk)p n k=1 (xk + yk)p p-1 p n k=1 x p k 1 p + n k=1 y p k 1 p . Vydělením poslední nerovnosti výrazem n k=1 (xk + yk)p p-1 p dostáváme dokazovanou nerovnost. 7.4. Minkowského nerovnost pro nekonečné součty Necht' {xk}, {yk} jsou posloupnosti reálných čísel takové, že nekonečné řady k=1 |xk|p , k=1 |yk|p , p 1 konvergují. Limitním přechodem v (7.3) pro n dostáváme Minkowského nerovnost pro nekonečné součty k=1 |xk + yk|p 1 p k=1 |xk|p 1 p + k=1 |yk|p 1 p . 7.5. Minkowského nerovnost v integrálním tvaru Jsou-li f (x), g(x) spojité funkce na intervalu [a, b], aplikací Minkowského nerovnosti na integrální součty příslušející integrálům b a | f (x) + g(x)|p dx, b a | f (x)|p dx, b a |g(x)|p dx dostáváme Minkowského nerovnost v integrálním tvaru b a | f (x) + g(x)|p dx 1 p b a | f (x)|p dx 1 p + b a |g(x)|p dx 1 p . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 120 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VII.2. Topologický prostor V předchozích kapitolách jsme často používali pojmy jako okolí bodu, otevřená, uzavřená, kompaktní množina apod., aniž bychom věnovali větší pozornost me- trice, pomocí které byly tyto pojmy definovány. Často se můžeme v matematice setkat s objekty, mezi nimiž je obtížné definovat vzdálenost ve smyslu Definice 1.1, přesto však můžeme mluvit o jejich okolí nebo o tom, že tvoří otevřenou (uzavřenou) množinu apod. Má tedy smysl axiomaticky zavést obecnější pojem, než je metrický prostor, a to tzv. topologický prostor. Zde si uvedeme dva možné přístupy -- první je založen na axiomatické definici otevřených množin, druhý má za základ axiomatizaci uzavřených množin. Definice 7.6. Necht' T = a T je systém podmnožin množiny T , který splňuje následující tři podmínky: (T1) , T T. (T2) Průnik libovolného konečného systému množin z T je prvek sys- tému T. (T3) Sjednocení libovolného systému množin z T je prvek T. Systém množin T se nazývá topologie na T , množiny z T se nazývají otevřené a dvojice (T, T) se nazývá topologický prostor. Poznámky 7.7. i) Na neprázdné množině lze samozřejmě definovat různé topologie, jsou jimi např. T1 = {, T }, T2 = P(T ) -- systém všech podmnožin množiny T . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 121 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec ii) Každý metrický prostor je topologický prostor, nebot' podle Příkladu 2.16 iv) a Věty 2.20 systém všech otevřených množin v metrickém prostoru splňuje axi- omy (T1)­(T3). Opačné tvrzení neplatí; je-li na množině T , která je alespoň dvouprvková, dán systém podmnožin T splňující axiomy (T1)­(T3), nelze obecně definovat metriku tak, že T jsou právě všechny otevřené množiny v této metrice (např. pro T = {, T }). Hledání dodatečných podmínek, za kterých je systém podmnožin množiny T splňující axiomy (T1)­(T3) totožný se systé- mem otevřených množin při jisté metrice na T , je jedním z problémů (tzv. pro- blém metrizovatelnosti topologického prostoru) studovaných v matematické disciplíně zvané topologie, s jejímiž základy se čtenář může seznámit např. v monografii [2]. Pojmy okolí bodu, uzávěr a uzavřená množina jsou v topologickém prostoru definovány takto: Definice 7.8. Necht' (T, T) je topologický prostor, x T . Okolím bodu x ro- zumíme každou množinu U T, pro niž x U. Bod x T se nazývá bodem uzávěru množiny A T , jestliže pro každé okolí U bodu x platí U A = . Množina A všech bodů uzávěru množiny A se nazývá uzávěr množiny A. Lze ukázat, že takto definovaný uzávěr množiny v topologickém prostoru má všechny vlastnosti (U1)­(U6) z Věty 2.9. Jinou, ekvivalentní možností jak definovat topologický prostor je konstrukce pomocí uzávěrové operace a uzavřených množin. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 122 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Definice 7.9. Necht' T = , u : P(T ) P(T ) (zobrazení systému pod- množin množiny T do sebe), splňující pro všechna A, B P(T ) následující podmínky (tzv. Kuratowského axiomy): ( ~U1) u() = ; ( ~U2) A u(A); ( ~U3) u(A B) = u(A) u(B); ( ~U4) u(u(A)) = u(A). Množina A T se nazývá uzavřená, jestliže u(A) = A. Dvojice (T, u) se nazývá topologický prostor. Při této definici se množina A T nazývá otevřená, jestliže množina T A je uzavřená. Příklad 7.10. Necht' T = a (T, T2) je topologický prostor z Poznámky 7.7 i) a definujme u : P(T ) P(T ) předpisem u(A) = A pro každou A T . Pak není obtížné ověřit, že (T, T2) a (T, u) jsou totožné topologické prostory v tom smyslu, že systémy otevřených množin v (T, T2) a (T, u) jsou totožné. Cvičení 7.11. Necht' (T, T1) je topologický prostor z části i) Poznámky 7.7. Ur- čete u : P(T ) P(T ) tak, aby (T, T1) a (T, u) byly totožné topologické pro- story. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 123 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VII.3. Normované lineární prostory Definice 7.12. Necht' V je vektorový prostor nad tělesem reálných čísel a necht' zobrazení p: V R splňuje pro všechna x, y V a všechna R následující podmínky: (N1) p(x) 0, přičemž p(x) = 0 právě když x = 0; (N2) p(x + y) p(x) + p(y); (N3) p(x) = ||p(x). Zobrazení p(x) se nazývá norma na V a obvykle se značí x místo p(x). Vek- torový prostor, na kterém je definována norma, se nazývá normovaný vektorový prostor nebo také normovaný lineární prostor. Jsou-li x, y prvky normovaného lineárního prostoru V a definujeme-li (x, y) = x - y , (7.4) je na V definována metrika, tedy každý normovaný lineární prostor je metrickým prostorem. Je-li normovaný lineární prostor v metrice definované vztahem (7.4) úplným prostorem, nazývá se Banachův prostor. Příklady 7.13. i) Prostor Rn s normou x = ( n k=1 x2 k )1/2 je normovaný lineární prostor. ii) Prostor spojitých funkcí na intervalu [a, b] s normou definovanou vztahem f = max x[a,b] | f (x)| Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 124 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec je normovaný lineární prostor. (Sčítání funkcí a násobení skalárem je defino- váno takto: ( f + g)(x) = f (x) + g(x), (f )(x) = f (x).) iii) Prostor l2 s normou x = k=1 x2 k 1/2 je normovaný lineární prostor. (Jsou-li x = {xk} k=1, y = {yk} k=1 l2 a R, definujeme x + y = {xk + yk} k=1, x = {xk} k=1.) Cvičení 7.14. i) Dokažte, že množina n×n matic se sčítáním matic a násobením matic reálným číslem definovaným obvyklým způsobem tvoří normovaný lineární prostor při každé z následujících definic normy na množině čtvercových matic (srovnejte s výsledkem Cvičení 5.8 iv)): A 1 = max 1in n j=1 |ai j |, A 2 = n(AT A), A = max 1 jn n i=1 |ai j |, kde n(.) značí největší vlastní číslo matice v závorce a AT je matice trans- ponovaná k matici A. ii) Rozhodněte, který z předchozích normovaných lineárních prostorů je Bana- chův prostor. iii) Rozhodněte, zda prostor c tvořený všemi konvergentními posloupnostmi {xn} s normou prostoru je Banachův prostor (srovnejte s výsledkem Cvičení 2.22 xi)). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 125 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec VII.4. Unitární prostory Definice 7.15. Necht' V je vektorový prostor nad tělesem reálných čísel a necht' zobrazení , : V×V R splňuje pro všechna x, y, z V a všechna , R následující podmínky: (S1) x, x 0, přičemž x, x = 0 právě když x = 0; (S2) x, y = y, x ; (S3) x + y, z = x, z + y, z . Pak se toto zobrazení nazývá skalární součin a prostor, na kterém je definován skalární součin, se nazývá unitární prostor. Souvislost unitárních prostorů s normovanými, a tedy i metrickými prostory udává následující tvrzení. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 126 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Věta 7.16. Necht' V je unitární prostor a necht' zobrazení . : V R je definované předpisem x = x, x . (7.5) Pak: a) platí tzv. Cauchyova nerovnost | x, y | x y pro všechna x, y V; b) . je norma na V; c) tato norma splňuje pro všechna x, y V tzv. rovnoběžníkové pravidlo x + y 2 + x - y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 . (7.6) Důkaz. a) Podle (S1) je pro každé reálné t kvadratická funkce f (t) = x + ty, x + ty 0. To znamená, že její diskriminant D = 4 x, y 2 - 4 x 2 y 2 0, což je Cauchyova nerovnost. b) Platnost podmínek (N1) a (N3) plyne bezprostředně z (S1) a (S3). Platnost podmínky (N2) dokážeme z (S2) a Cauchyovy nerovnosti: x + y 2 = x + y, x + y = x 2 + 2 x, y + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y )2 . c) Dokáže se přímým výpočtem po dosazení vztahu (7.5). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 127 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec V souvislosti s předchozím odstavcem vyvstává otázka, kdy je norma v nor- movaném lineárním prostoru vytvořena nějakým skalárním součinem pomocí vztahu (7.5). Odpověd' dává následující tvrzení (důkaz [13, str. 68], [18, str. 64]). Věta 7.17. Norma v normovaném lineárním prostoru je vytvořena skalárním součinem pomocí vztahu (7.5), právě když splňuje rovnoběžníkové pravidlo (7.6). Tento skalární součin je určen vztahem x, y = 1 4 x + y 2 - x - y 2 . Příklady 7.18. i) Prostor Rn s ,,obvyklým" skalárním součinem x, y = n k=1 xk yk je unitární prostor, norma z Příkladu 7.13 i) je vytvořena tímto skalárním součinem. ii) Na prostoru spojitých funkcí C[a, b] splňuje f, g = b a f (t)g(t) dt všechny tři podmínky (S1)­(S3). Metrika na C[a, b] definovaná tímto skalár- ním součinem je ( f, g) = f - g = b a [ f (t) - g(t)]2 dt 1/2 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 128 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec a nazývá se metrikou konvergence v průměru. Prostor C[a, b] s touto metri- kou není úplný, jeho zúplněním dostaneme prostor označovaný L2 [a, b] (tzv. Lebesgueův1 prostor funkcí integrovatelných v kvadrátu). Tento prostor hraje významnou roli mimo jiné v teorii Fourierových2 řad. iii) Prostor l2 je unitární prostor se skalárním součinem x, y = k=1 xk yk. Tento skalární součin vytváří normu z Příkladu 7.13 iii). Na závěr tohoto odstavce připomeňme ještě jeden významný matematický po- jem. Definice 7.19. Úplný unitární prostor se nazývá Hilbertův prostor3 . Úplnost se zde rozumí jako úplnost normovaného prostoru s normou definovanou vztahem (7.5). Poznámka 7.20. Je-li Hilbertův prostor H navíc separabilní, platí tvrzení, která jsou přirozeným zobecněním známých vět z teorie euklidovských prostorů. Zejmé- na platí tato tvrzení: 1Henri Leon Lebesgue, 1875­1941, francouzský matematik, zabýval se především teorií míry a integrálu. 2Fourier Jean-Baptiste Joseph, 1786­1830, francouzský matematik, zabýval se matematickou fyzikou. 3David Hilbert, 1862­1943, německý matematik, který pracoval téměř ve všech oblastech ma- tematiky, na světovém matematickém kongresu v Paříži v r. 1901 ve svém vystoupení formuloval 23 strategických matematických problémů (dnes známých jako Hilbertovy problémy), které měly zásadní vliv na rozvoj matematiky ve 20. století. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 129 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec a) Existuje posloupnost ortonormálních prvků uk H, tj. ui , u j = 0 pro i = j, 1 pro i = j, s vlastností, že ke každému x H a každému > 0 existuje m N a 1, . . . , m R taková, že x - m k=1 kuk < . Posloupnost uk s touto vlastností se nazývá ortonormální báze prostoru H a pro čísla k platí ak = x, uk (čísla ak se nazývají Fourierovými koeficienty prvku x v bázi uk). b) Pro ortonormální bázi v H platí tzv. Parsevalova rovnost k=1 x, uk 2 = x 2 . c) Každý separabilní Hilbertův prostor H je izometrický s prostorem l2. Izomet- rické zobrazení F : H l2 je definované předpisem x F - { x, u1 , x, u2 , . . . }. Cvičení 7.21. i) Rozhodněte, zda následující normy na daných prostorech jsou vytvořeny ska- lárním součinem: Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 130 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec a) Norma z Příkladu 7.13 ii) na prostoru C[a, b]. b) Norma x = k=1 |xk| na prostoru l1. c) Norma x = max 1kn |xk| na Rn . ii) Ukažte, že f, g = b a [ f (t)g(t) + f (t)g (t)] dt je skalární součin na C1 [a, b], tj. na množině funkcí mající spojitou derivaci. Rozhodněte, zda C1 [a, b] s tímto skalárním součinem je Hilbertův prostor. iii) Ukažte, že posloupnost 1 2 , cos x , sin x , cos 2x , . . . tvoří ortonormální bázi prostoru L2 [-, ] (viz Příklad 7.18 ii)). Odvod'te Fourierovy koeficienty funkce f L2 [-, ] v této bázi. Ke svým přáním dostáváš současně sílu uskutečnit je. Musíš však pro to něco udělat. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 131 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec NÁVODY A VÝSLEDKY CVI ČENÍ 1.4 i) 1(A, B) = 2, 2(A, B) = 2, (A, B) = 1. ii) K1 je čtverec s vrcholy v bodech [1, 0], [0, 1], [-1, 0], [0, -1], K2 -- kruž- nice se středem v počátku a poloměrem 1, K -- čtverec s vrcholy v bodech [1, 1], [-1, 1], [-1, 1], [-1, -1]. iii) a) c(x, x) = 1/4, I (x, x) = 1/6, b) c(x, ln x) = e - 1, I (x, ln x) = 1 2 (e2 - 3). iv) a), b), c) jsou metriky -- využijte Příkladu 1.2 ix). v) Pro A = [a1, a2, a3], B = [b1, b2, b3] je (A, B) = arccos(a1b1 + a2b2 + + a3b3). vi) Jsou-li A = [a1, a2, a2], B = [b1, b2, b3] P, (A, B) = a1 1-a3 - b1 1-b3 2 + a2 1-a3 - b2 1-b3 2 .1 1Další podrobnosti týkající se stereografické projekce je možno nalézt např. ve skriptu M. Ráb: Komplexní čísla a jejich užití v elementární matematice, Brno 1990. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 132 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec vii) a) K důkazu trojúhelníkové nerovnosti proved'te diskusi podle polohy bodů A, B, C R2 . b) Je-li [a, b] = [0, 0], pak K ([a, b];r) = {[x, y] R2 : x2 + y2 = r2 }. Je- -li [a, b] = [0, 0], je K ([a, b];r)={[x, y] : xb = ay, (x -a)2 +(y - b)2 = = r2 } pro r a2 + b2 a K ([a, b];r) = {[x, y] : xb = ya, (x - a)2 + + (y - b)2 = r2 } [x, y] : xb = ya, x2 + y2 = r - a2 + b2 2 pro r > a2 + b2. viii) a) Využijte Minkowského nerovnosti pro nekonečné součty (odst. 7.4). b) l: (0, {xn}) = 1/2, lp: (0, {xn}) = ( 1 2p-1 )1/p . ix) a) (11,5) = 1, (16,6) = 1/5, (60,10) = 1/25. b) n = 10 + 73 k, k je celé číslo. x) Načrtněte si v rovině trojúhelník s vrcholy a, b, c a metriku konstruujte jako ohodnocený orientovaný graf s těmito vrcholy. 1.10 i) (A, k) = 12 - 5 2, (B, k) = 2. ii) d(A) = 1/2. iii) Je-li X = [x1, x2, x3], je (X, A) = arccos 1 - x2 3 . 1.13 i) Rovnost c(F( f ), F(g)) = c( f, g) plyne ze symetrie intervalu [-1, 1] vzhledem k počátku. Izometrie v I plyne z platnosti vztahu 1 -1 f (x) dx = = 1 -1 f (-x) dx. ii) F je izometrické. iii) k = 3, plyne ze substituční metody pro určité integrály. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 133 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 2.4 i) Obě reálné posloupnosti jsou cauchyovské a podle Cauchyova-Bolzanova kri- téria z diferenciálního počtu jsou také konvergentní. ii) xn = {xn k } k=1 je konvergentní v Baireově prostoru, právě když každá z po- sloupností {xn k } n=1, k = 1, 2, . . . je skorostacionární. 2.22 i) A = [0, 1] [2, 3] {4}, Ao = (0, 1) (2, 3), h(A) = {0, 1, 2, 3, 4}. ii) A = [0, 1], Ao = , h(A) = [0, 1]. iv) Podle Věty 2.10 je množina P A uzavřená v (P, 1), právě když je uzavřená v prostoru (P, 2), odtud plyne tvrzení. v) a) ­ c) plyne téměř okamžitě z definice a Věty 2.10. vi) Metriky jsou navzájem ekvivalentní. Je-li Rm(x) = am n xn + + am 0 po- sloupnost polynomů, Rm(x) R(x) = a0 n xn + + a0 0 v metrice , právě když lim m |am k - a0 k | = 0, k = 0, . . . , n. vii) Důkaz viz [13, str. 25]. viii) An A = {X E2 : 2(X, S) r}, právě když Sn S v E2 a rn r v E1 . ix) Tvrzení neplatí. Uvažujte posloupnost intervalů {An} v E1 definovanou takto: An = 1 n , 1 - 1 n pro n sudé a An = -1 n , 1 + 1 n pro n liché. x) Platí A = B. Necht' c = a+b 2 a fn(t) = 2 n(b-a) (t - a), t [a, c], fn(t) = = 2 n(b-a) (b - t), pro t [c, b]. Pak pro libovolnou x(t) B je x(t) + + fn(t) A a c(x + fn, x) 0. xi) A je uzavřená v l. Necht' xn = {xn 1 , xn 2 , . . . } A a xn x = {x1, x2, . . . } v l. Pak lim n |xn k - xk| = 0, k N. Limitní posloupnost x je cauchyovská Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 134 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec (a tedy podle Cauchyova-Bolzanova kritéria konvergentní, tj. x A), nebot' |xk - xl| |xk - xn k | + |xn k - xn l | + |xn l - xl| a každý z posledních sčítanců je menší než /3, jsou-li k,l, n dostatečně velká. xii) a), b) Platí A = R. xiii) Metriky jsou ekvivalentní. Posloupnost xn = {xn 1 , xn 2 , . . . } konverguje k x = {x1, x2, . . . } v metrikách i , i = 1, 2, právě když lim n |xn k - xk| = = 0, k N. xiv) a) Využijte Vět 2.10 a 2.19. b) Tvrzení neplatí, v diskrétním metrickém prostoru, kde P je alespoň dvou- prvková, je O1(a) = O1(a) = {a} = B[a; 1] = P. c) B[[0, 0, 0]; 1] je krychle s vrcholy v bodech [1, 1, 1]. 3.7 i) Prostor je úplný, nebot' konvergentní a cauchyovské jsou pouze skorostacio- nární posloupnosti. ii) Prostor je úplný. Vyšetřete zvlášt' cauchyovské posloupnosti ležící v okolí po- čátku a cauchyovské posloupnosti ležící v okolí bodu [x, y] = [0, 0]. iii) Je-li xn = {xn k } k=1 cauchyovská v l2, pak každá z reálných posloupností {xn k } n=1, k N je cauchyovská, tedy i konvergentní, tj. lim n xn k = xk. Není obtížné ukázat, že xn x = {x1, x2, . . . } v l2. iv) Prostor l je úplný, k důkazu použijte stejné konstrukce jako v předchozím příkladu. v) Označme metriku v l2. Je-li ~ = inf nN n > 0, je pro x = {xn} n=1, y = = {yn} n=1, (x, y) (x, y) ~(x, y). Odtud lze snadno s využitím příkladu iii) dokázat, že l2 s metrikou je úplný. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 135 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec Je-li inf nN n = 0, existuje vybraná podposloupnost {nk } taková, že nk 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že řada k=1 2 nk konverguje. De- finujme posloupnost posloupností xm = {xm l } l=1, kde xm l = 1 pro l = = n1, n2, . . . , nm a xm l = 0 pro ostatní l. Tato posloupnost je cauchyovská v l2 s metrikou , ale její limita x = {xl} l=1, kde xl = 1 pro l = n1, n2, n3, . . . a xl = 0 pro ostatní l, není prvkem prostoru l2. 3.12 i) Platnost podmínek 2) a 3) je triviální a 1) plyne z Věty 3.3. ii) (l, ) není úplným obalem (l2, ), nebot' (l, ) není úplný prostor. Po- sloupnost posloupností xn = {1, 2, . . . , n, 0, 0, . . . } je cauchyovská (nebot' řada k=1 k/2k je konvergentní, tj. lim n k=n k/2k = 0) a její limita v metrice x = {1, 2, . . . , n, n + 1, . . . } není prvkem l. 3.18 i) Je-li (A, B) = 0, existuje xn B taková, že (xn, A) 0, a vzhledem ke kompaktnosti B lze předpokládat, že xn x0 B. Pak (x0, A) = 0, tj. x0 A = A, a tedy x0 A B -- spor. iii) Tvrzení neplatí. Jednotková kružnice z E2 je v pampeliškovém prostoru uza- vřená a ohraničená, ale pro každé dva různé body A, B na této kružnici platí (A, B) = 2, tedy z žádné posloupnosti bodů na kružnici nelze vybrat kon- vergentní podposloupnost. iv) Viz Věta 6.14. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 136 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec v) Množina je kompaktní. Sloupce ortogonální matice jsou tvořeny jednotko- vými vektory; je-li {An} posloupnost ortogonálních matic, konvergentní pod- posloupnost najděte podobným způsobem jako v Příkladu 3.15 ii). vi) P je kompaktní. Výsledek plyne ze skutečnosti, že množina koeficientů je ohraničená a uzavřená v En+1 . 4.4 i) Každé zobrazení f : R R je spojité zobrazení (R, d) E1 . ii) F i G jsou spojitá. iii) : Přímo z definice spojitosti; : je-li xn x0, položte A = {x1, x2, . . . }. iv) Tvrzení platí i pro uzavřené množiny, viz [8, str. 29]. v) Uvažujte funkci f (x) = (x,B) (x,A)+(x,B) . vi) F je spojité. Je-li xn x0, pak |F(xn) - F(x0)| = |(xn, f (xn)) - (x0, f (x0))| |(xn, x0) + (x0, f (x0)) + ( f (x0), f (xn)) - (x0, f (x0))| 0. vii) Jsou-li xn = {xn k } k=1, y = {yk} k=1, pak 1(F(xn ), F(y)) = k=1 |(xn k )2 - - y2 k | = k=1 |xn k - yk|.|xn k + yk| k=1 |xn k - yk|2 1/2 k=1 |xn k + yk|2 1/2 = = 2(xn , y)(xn , y), kde y = {-yk} k=1. Protože {(xn, y)} je konvergentní (konverguje k (y, y)), je ohraničená, tj. 1(F(xn ), F(y)) K2(xn , y). Odtud plyne spojitost F jako ve Větě 4.6. viii) Není, stačí uvážit posloupnost 1 n . Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 137 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 4.9 i) a) f je lipschitzovské (L = 1), není kontrakce, b) f je lipschitzovské pro každé a R, kontrakce pro |a| < 1, c) f není lipschitzovské. ii) F je kontrakce s L = 1/2. iii) f je lipschitzovské s L = 1, není kontrakce. iv) Jsou-li x = {xn}, y = {yn} l, platí 1(F(x), F(y)) = n=1 3-n |xn - yn| n=1 3-n sup nN |xn - yn| = 1 2 (x, y), tedy F je kontrakce. 4.12 i) Vyšetřete spojité zobrazení F : P × P R definované předpisem F(x, y) = = (x, y). ii) Tvrzení lze přímo dokázat z definic kompaktnosti a spojitosti. 5.6 i) Osová souměrnost -- každý bod osy souměrnosti, středová souměrnost -- střed souměrnosti, posunutí s nenulovým vektorem posunutí -- žádný pevný bod, kruhová inverze -- body kružnice. ii) a) Je-li a = 1, x = b 1-a , je-li a = 1, b = 0 -- žádný pevný bod, je-li a = 1, b = 0, každé x R je pevný bod. Předpoklady Banachovy věty splněny pro |a| < 1. b) Je-li c (0, 1], je pevný bod x = 1, je-li c > 1 -- žádný pevný bod. Předpoklady Banachovy věty nejsou splněny. c) Pevné body x1 = 0, x2 = 1 pro c = 0, pro c > 1 -- žádný pevný bod, Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 138 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec předpoklady Banachovy věty nejsou splněny. d) Žádný pevný bod pro každé c R, předpoklady Banachovy věty nejsou splněny. iii) a) Předpoklady jsou splněny pro x R, pevný bod je x = 2. Je-li x1 = 1, pak x2 = 3/2, x3 = 7/4, . . . , xn = 2 - 1/2n . b) Předpoklady splněny pro |x| < 3/2, pevný bod v tomto intervalu x = = 3- 13 2 . = -0,302775637. Je-li x1 = 1/2, je x2 = -1/4, x3 = -5/16 = = -0,3125, . . . , x10 . = -0,302775503. iv) b) x0 = 3 2 . 5.8 i) y = exp x 2 ; je-li y1 = 1, pak y2 = 1 + x 2 a yn(x) = Tn(x), kde Tn(x) je Taylorův mnohočlen n-tého stupně funkce exp x 2 se středem x0 = 0. ii) y = - tg x, porovnejte Taylorovy mnohočleny stupně 2n - 1 se středem x0 = = 0 funkce - tg x s postupnými aproximacemi yn(x), je-li y1 = 0. iii) Zobrazení [x, y, z] 1 3 x- 1 4 y+ 1 4 z-1, -1 2 x+ 1 5 y+ 1 4 z+2, 1 5 x- 1 3 y+ 1 4 z-2 je kontrakce (L = 0,8; dosad'te do (5.8)). iv) Pro A= a11 a12 a21 a22 je zobrazení kontrakce v 1, je-li max{|a11|+|a21|, |a21|+ + |a22|} < 1, a v metrice , je-li max{|a11| + |a12|, |a21| + |a22|} < 1. 6.4 i) Je-li = A P obojetná, pak P = A (P A) je sjednocení neprázdných uzavřených disjunktních množin. ii) Je-li A B = , A B = P, platí P = (P A) (P B). iii) Důkaz viz [1, str. 216]. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 139 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iv) Tvrzení plyne z faktu, že daná množina je uzavřená v (P, 1), právě když je uzavřená v (P, 2). v) Množina A × B P × Q je uzavřená, právě když A je uzavřená v P a B je uzavřená v Q. 6.8 i) Není separabilní, pomocí Věty 6.6 vyšetřete jednotkovou kružnici v E2 . ii) Není separabilní, pomocí Věty 6.6 vyšetřete nespočetnou množinu iracionál- ních čísel. iii) (P, d) je separabilní, právě když P je nejvýše spočetná. iv) Prostor je separabilní. Necht' > 0 je libovolné. Uvažujme nejvýše spočetnou množinu A tvořenou všemi posloupnostmi, jejichž členy s indexy n > 1 +1 jsou nulové ( značí celou část z daného čísla). 6.12 i), ii) Tvrzení plynou přímo z definice. iii) Uvažujte P s novou metrikou (x, y) = (x,y) 1+(x,y) . K důkazu, že toto je opravdu metrika, využijte výsledku Cvičení 1.4 iv) b). iv) f (x) = tg 2 (2x - 1) je homeomorfismus intervalu (0, 1) na R. v) Je-li A P uzavřená, pak je kompaktní, odtud f (A) je kompaktní, tedy uzavřená v Q, a spojitost zobrazení f -1 plyne z Věty 6.10. 6.20 i) Jsou-li funkce z A lipschitzovské se stejnou konstantou, pak je systém funkcí A stejně spojitý a tvrzení plyne z Věty 6.18. ii) Důkaz je obdobný jako důkaz Věty 6.6. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 140 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec iii) A l je kompaktní, právě když existuje {yn} 0 taková, že množina A = = {x = {xn} l : |xn| |yn|}. A lp je kompaktní, právě když existuje {yn} lp taková, že A = {x = {xn} lp : |xn| |yn|}. iv) Tvrzení platí, viz např. [2, str. 120]. 6.21 a) Nejsou ekvivalentní. b) 1: Je-li x = 0. O(x) = (-, -1/) (1/, ), je-li x = 0, O(x) = = -, - |x| |x|-1 |x| |x|-1 , pro > 1 |x| a O(x) = {x} pro 1 |x| . 2: Je-li x = 0, O(x) = (-, ), je-li x = 0, O(x) = {x} pro |x| a O(x) = (|x| - , - |x|) pro > |x|. c) 1, 2: Prostor je úplný, není souvislý ani separabilní. d) A P je kompaktní, právě když: 1: A je konečná nebo A = {xn R : xn v E1 }, 2: A je konečná nebo A = {xn R : xn 0 v E1 }. e) 1: f je spojité, právě když lim x- f (x) = lim x f (x) = f (0), 2: f je spojité, právě když lim x0 f (x) = f (0). 6.22 a) 1,2,3: Pouze skorostacionární posloupnosti jsou konvergentní. b) 1,2,3: Prostor je separabilní, není úplný (xn = n je cauchyovská) ani souvislý (každá podmnožina je obojetná). c) Je spojité ve všech metrikách, je lipschitzovské (L = 1), není kontrakce. d) Metriky jsou navzájem ekvivalentní. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 141 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 6.23 b) [xn, yn] [x0, y0], právě když yn = y0 pro velká n a xn x0 v E1 . c) Prostor je úplný, není souvislý (A = {[x, y] : x = 0, y [0, 1]} je obojetná) ani separabilní (vyšetřete množinu A pomocí Věty 6.6). d) Je-li A P, označme A1 = {x R : y R takové, že [x, y] A}, A2 = = {y R : x R takové, že [x, y] A}. Množina A P je kompaktní A1 je kompaktní v E1 a A2 je konečná. 6.24 b) Prostor je úplný a separabilní, není souvislý ([0, 1] a {2, 3, . . . } jsou uzavřené množiny). c) A P je kompaktní, právě když existuje číslo n0 N takové, že platí A [0, 1] {2, 3, . . . , n0}. d) Zobrazení je spojité, lipschitzovské (L = 1), není kontrakce, x = 0 je jediný pevný bod. 6.25 b) O( f ) = P, je-li 1 a O( f ) = g P : g(x) = f (x), x 1, 1 pro < 1. c) Prostor je úplný (vyšetřete konvergentní a cauchyovské posloupnosti), není souvislý (vyšetřete A = { f : | f (x)| < 1, x [1, )} a její komplement) ani separabilní (pomocí Věty 6.6 vyšetřete množinu konstantních funkcí). d) Není kompaktní, z posloupnosti fn = 1 n nelze vybrat konvergentní pod- posloupnost. 7.11 i) u(A) = T pro každou A P(T ). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 142 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec 7.14 i) Viz [10, Kap. 5] ii) Prostor je Banachův ve všech třech normách, nebot' konvergence posloupnosti matic A[k] A, k , v každé z norem je ekvivalentní konvergenci jed- notlivých prvků matic a[k] i j ai j . iii) Stačí dokázat, že prostor c je uzavřený v l. Necht' x[k] = {x[k] n } n=1 je po- sloupnost prvků z c a x[k] x = {xn} n=1. Pak pro libovolná k, m, n N je |xn - xm| |xn - x[k] n | + |x[k] n + x[k] m | + |x[k] m - xm|. Protože x[k] n xn pro k pro každé n N a pro pevné k je x[k] c, tj. x[k] n je cauchyovská posloupnost, je každý ze tří sčítanců na pravé straně poslední nerovnosti libo- volně malý, pokud jsou k, m, n dostatečně velká. To znamená, že x = {xn} je caychovská, tedy x c. 7.21 i) Ani jedna z norem není vytvořena skalárním součinem. V a) uvažte x(t) = = t, y(t) = t(1 - t), [a, b] = [0, 1], v b) a c) x = {1, 2, 0, 0 . . . , 0, . . . , }, y = {2, 1, 0, . . . , 0, . . . }. ii) Prostor není Hilbertův, protože není úplný. Uvažujte [a, b] = [-1, 1] a po- sloupnost funkcí fn(x) = 1+cos nx pro x [-(1/n), 1/n] a fn(x) = 0 pro x [-1, 1] \ [-(1/n), 1/n] a využijte stejné úvahy jako v Příkladu 3.6 ii). Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 143 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec LITERATURA [1] Alexandrov P. S. : Vvedenije v obščuju teoriju množestv i funkcij. Nauka, Moskva, 1948. [2] Čech E. : Bodové množiny. Academia, Praha, 1974. [3] Dorogovcev A. J. : Matematičeskij analiz, sbornik zadač. Vysšaja škola, Kijev, 1987. [4] Došlá Z. ­ Kuben J. : Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Skriptum MU, Brno, 2004. [5] Došlá Z. ­ Novák V. : Nekonečné řady. Skriptum. MU, Brno, 2002. [6] Engelking R. : General topology. PWN, Warszawa, 1977. [7] Fučík S. : Příklady z matematické analýzy II., Metrické prostory. Skriptum. SPN, Praha, 1977. [8] Fuchs E. : Metrické prostory. Skriptum. UJEP, Brno, 1976. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 144 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec [9] Fuchs E. : Teorie množin. Skriptum. UJEP, Brno, 1976. [10] Horn, R. A. ­ Johnson, C. R.: Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1990. [11] Jarník V. : Diferenciální počet II. Academia, Praha, 1976. [12] Kalas J. ­ Ráb M. : Obyčejné diferenciální rovnice. Masarykova univerzita, Brno, 1995. [13] Kosmák L. ­ Potůček R. : Metrické prostory. Academia, Praha, 2004. [14] Kufner A. : Co asi nevíte o vzdálenosti. Mladá fronta, edice ŠMM, Praha, 1974. [15] Kuratowski C. : Topologie (dva díly). PWN, Warszawa, I. díl 1958, II. díl 1961. [16] Novák V. : Diferenciální počet v R. Skriptum. SPN, Praha, 1985. [17] Smart D. R. : Fixed point theorems. Cambridge University Press, 1974. [18] Yoshida, K. : Functional Analysis, Springer-Verlag, Berlin, 1965. Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 145 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec REJST ŘÍK A adherence množiny, 44 axiomy Kuratowského, 122 metriky, 9, 18 B Banachův princip, 82 bod hraniční, 44 hromadný, 44 izolovaný, 44 vnitřní, 44 D derivace množiny, 44 E ekvivalentnost metrik, 36 -sít', 108 H Heineho-Borelovo lemma, 110 hranice množiny, 44 K konvergence, 33 M metoda postupných aproximací, 83 metrika, 9, 123 diskrétní, 11 euklidovská, 10 Hausdorffova, 48 indukovaná, 24 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 146 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec integrální, 13, 37 konvergence v průměru, 128 maximální, 11 na kouli, 20, 107 na kružnici, 15 na množině celých čísel, 23 na množině funkcí, 13, 24 na množině matic, 67 na množině posloupností, 15, 22, 57 na množině slov, 17 součtová, 11 stejnoměrné konvergence, 13, 36 taxíkářská, 12 množina hustá, 41 kompaktní, 62, 79 obojetná, 101 ohraničená, 26 otevřená, 43, 120 souvislá, 100 uzavřená, 38, 122 N nerovnost, 117 Cauchyova, 126 Hölderova, 117 Minkowského, 10, 118 trojuhelníková, 9 norma, 123 O okolí bodu, 44, 121 P pevný bod zobrazení, 83 pokrytí prostoru, 109 posloupnost cauchyovská, 34 funkcí, 36 konvergentní, 34 princip vložených intervalů, 54 prostor (B[a, b], c), 40 (C[a, b], c), 13, 40, 55, 59, 110 (C[a, b], I ), 13, 56 l, 15, 49, 104 lp, 22, 57 Baireův, 16, 57 Banachův, 123 diskrétní, 11 Titulní strana Obsah Výsledky cvičení Rejstřík Strana 147 z 147 Zpět Vpřed Zavřít Konec euklidovský, 9 Hilbertův, 128 kompaktní, 51, 62, 108, 110 metrický, 9 normovaný lineární, 123 pampeliškový, 22, 57 separabilní, 103 souvislý, 100 topologický, 120, 122 unitární, 125 úplný, 51 průměr množiny, 26 S skalární součin, 125 T topologie, 120 U úplný obal metrického prostoru, 51, 59, 60 uzávěr množiny, 38, 121 V vnitřek množiny, 44 vzdálenost bodů, 9 množin, 26 Z zobrazení, 68 homeomorfní, 106 izometrické, 31 kontrakce, 74 lipschitzovské, 74 spojité, 69