Kapitola 4
Diferenciál funkce

Diferenciálem funkce f jedné proměnné v bodě x₀ rozumíme přírůstek funkce na tečně vedené ke grafu funkce v bodě [x₀,f(x₀)]. V tomto případě existence diferenciálu neboli diferencovatelnost funkce je ekvivalentní existenci derivace v bodě x₀. Připomeňme, že f : je diferencovatelná v bodě x₀, jestliže existuje reálné číslo A takové, že

U funkce n proměnných (n ≥ 2) je totální diferenciál definován analogicky: je to přírůstek funkce na tečné nadrovině vedené ke grafu funkce bodem x₀ ⁿ. Přesnou definici pojmu tečná nadrovina uvedeme později; v podstatě je to nadrovina (tj. afinní podprostor dimenze n − 1), která má s grafem funkce lokálně (tj. v okolí bodu, kde tečnou nadrovinu sestrojujeme) společný právě jeden bod.

Se zavedením těchto pojmů okamžitě vznikají tyto otázky: Kdy v daném bodě existuje tečná nadrovina ke grafu funkce neboli kdy je funkce diferencovatelná? Stačí k tomu pouhá existence parciálních derivací jako u funkce jedné proměnné?

Odpovědi na tyto a další podobné otázky jsou obsahem této kapitoly.

4.1 Diferencovatelná funkce, diferenciál

Nejdříve definujme pojem diferencovatelnosti a diferenciálu pro funkce dvou proměnných.

Definice 4.1. Řekneme, že funkce f : 2 definovaná v okolí bodu [x0,y0] je v tomto bodě diferencovatelná, jestliže existují reálná čísla A,B taková, že platí (4.1) Lineární funkce Ah + Bk proměnných h,k se nazývá diferenciál funkce v bodě [x0,y0] a značí se df(x0,y0)(h,k), příp. df(x0,y0).

Poznámka 4.1. i) Ekvivalentní zápis definice diferencovatelnosti funkce dvou proměnných je tento: existují A,B a funkce : ² tak, že platí

(4.2)

kde

(4.3)

 

ii) Jmenovatel limity ve výrazu (4.1) je velikost vektoru (h,k) v euklidovské metrice. V odstavci 2.1 jsme zdůraznili ekvivalentnost metrik ₁,₂ a . Proto nahradíme-li výraz výrazem h + k (velikost (h,k) v metrice ₁) nebo výrazem max{h,k} (velikost (h,k) v metrice ), dostaneme definici ekvivalentní s Definicí 4.1 .

 

V předchozí kapitole jsme ukázali, že pro funkce dvou a více proměnných z existence parciálních ani směrových derivací neplyne spojitost. Následující dvě věty ukazují, že diferencovatelnost funkce je tou „správnou“ vlastností, která implikuje spojitost a některé další vlastnosti funkce.

Důkaz. Z diferencovatelnosti funkce f v bodě [x₀,y₀] plyne

neboť podle Poznámky 4.1.i) je lim_(h,k)(0,0)(h,k) = 0. Odtud funkce f je tedy spojitá v bodě [x₀,y₀]. □

 

Věta 4.2. Je-li funkce f diferencovatelná v bodě [x₀,y₀], pak má v tomto bodě parciální derivace a platí A = f_x(x₀,y₀), B = f_y(x₀,y₀), tj.

(4.4)

 

 

Důkaz. Položme v (4.1) k = 0. Pak lim_h0 = 0, a proto

tj. A = f_x(x₀,y₀). Stejným obratem dokážeme rovnost f_y(x₀,y₀) = B. □

 

Poznámka 4.3. i) Přírůstky h,k nezávisle proměnných x,y v definici diferenciálu se často značí dx, dy (především ve starší literatuře a v literatuře s fyzikálním zaměřením).

ii) Je-li funkce f diferencovatelná v každém bodě množiny M, má v každém bodě této množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x,y,h,k. Označíme-li dx = x − x₀ = h, dy = y − y₀ = k, dostáváme, že diferenciál funkce f je

iii) Diferenciál se používá k přibližnému výpočtu funkčních hodnot. Zanedbáme-li funkci , z rovnice (4.2 ) plyne

(4.5)

 

 

Geometrický význam totálního diferenciálu. Rovina v ³ o rovnici z = Ax + By + C se nazývá tečnou rovinou ke grafu funkce z = f(x,y) v bodě T = [x₀,y₀,f(x₀,y₀)], platí-li

Má-li tato rovina procházet bodem T, musí tento bod vyhovovat rovnici roviny, tj. f(x₀,y₀) = Ax₀ + By₀ + C, odkud z = A(x−x₀) + B(y −y₀) + f(x₀,y₀). Tato rovina je tečnou rovinou, jestliže existuje diferenciál funkce v bodě [x₀,y₀], tj. podle Věty 4.2 je A = f_x(x₀,y₀),B = f_y(x₀,y₀). Rovnice tečné roviny má tvar

(4.6)

Odtud je vidět, že diferenciál funkce v daném bodě je přírůstek funkce na tečné rovině. Funkce (h,k) z Poznámky 4.1 určuje rozdíl mezi skutečným přírůstkem a přírůstkem na tečné rovině. Rovnice tečné roviny je nejlepší lineární aproximací funkce f(x,y) v okolí bodu [x₀,y₀].

Příklad 4.1. Z definice diferenciálu určete df a funkci pro f(x,y) = x² + y² v obecném bodě [x,y].

Řešení. Platí

Je tedy df(x,y)(h,k) = 2xh + 2yk a (h,k) = h² + k².

Příklad 4.2. i) Pomocí totálního diferenciálu přibližně vypočtěte:

a) 1,042,02;

b) .

 

Řešení. a) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x,y) = x^y v bodě [1,2] s diferencemi dx = 0,04, dy = 0,02. Platí

a tedy podle (4.5 )

b) K výpočtu použijeme diferenciál funkce f(x,y) = v bodě [3,4] s diferencemi dx = −0,02, dy = 0,05. Platí

a dosazením do (4.5 ) dostáváme

ii) Napište rovnici tečné roviny grafu funkce z = x² + y² v bodě [1,1,?].

Řešení. Dosazením do funkčního předpisu najdeme z-ovou souřadnici dotykového bodu z = 1² + 1² = 2. Nyní přímým dosazením do vzorce pro tečnou rovinu dostáváme její rovnici z = 2 + 2(x − 1) + 2(y − 1), tj. 2x + 2y − z − 2 = 0.

Jak již víme, ze samotné existence parciálních derivací funkce v bodě [x₀,y₀] neplyne diferencovatelnost (viz příklad 3.2 ). Jsou-li však tyto derivace v tomto bodě spojité, je diferencovatelnost zaručena, jak ukazuje následující věta.

Důkaz. Ze spojitosti parciálních derivací f_x,f_y v bodě [x₀,y₀] plyne jejich existence v jistém okolí tohoto bodu. Podle Věty 3.5 platí

neboť ze spojitosti parciálních derivací plyne, že limity výrazů v hranatých závorkách jsou nulové, a platí tj. podle Věty 2.2 je výsledná limita nulová. Dokázali jsme platnost (4.1 ). □

 

Příklady funkcí, které jsou, resp. nejsou diferencovatelné v daném bodě, viz příklady 13.4 , 13.5 , 13.9 .

Obecně – funkce n proměnných f : ⁿ je diferencovatelná v bodě x^{∗ n}, jestliže existuje a = (a₁,…,a_n) ⁿ takové, že pro h = (h₁,…,h_n) ⁿ platí

Na závěr tohoto odstavce ukážeme, že z diferencovatelnosti funkce plyne – kromě spojitosti a existence parciálních derivací – také existence směrové derivace ve směru libovolného vektoru. Ukážeme rovněž, jak lze pomocí diferenciálu tyto směrové derivace spočítat.

Věta 4.4. Předpokládejme, že funkce f : ⁿ je diferencovatelná v bodě x^{∗ n}, a nechť u ⁿ. Pak existuje směrová derivace f_u(x^∗) a platí

 

Důkaz. Nechť f je diferencovatelná v bodě x^∗. Z definice směrové derivace dostáváme

neboť lim_t0 = 0. □

 

Ve fyzikální terminologii se vektor f(x^∗) nazývá gradient funkce f v bodě x^∗ a zna čí se gradf(x^∗). Z lineární algebry víme, že skalární součin gradf(x^∗),u nabývá pro vektory u dané konstantní délky největší hodnotu, jestliže jsou vektory gradf(x^∗) a u lineárně závislé. Protože směrová derivace f_u(x^∗) udává rychlost změny funkce f ve směru vektoru u, je gradf(x^∗) směr, v němž funkce f v bodě x^∗ nejrychleji roste. Podobně −gradf(x^∗) je směr, v němž funkce nejrychleji klesá.

4.2 Diferenciály vyšších řádů

V tomto odstavci zavedeme diferenciály vyšších řádů pro funkce více proměnných. Připomeňme, že diferenciál m-tého řádu funkce jedné proměnné v bodě x je mocninná funkce m-tého stupně přírůstku h

Pojem diferenciálu m-tého řádu funkce n proměnných bychom mohli definovat pomocí jisté limity jako v Definici 4.1 pro diferenciál prvního řádu a pak ukázat, že z existence m-tého diferenciálu plyne existence parciálních derivací m-tého řádu, které jsou rovny jistým konstantám vystupujícím v limitním vztahu definujícím m-tý diferenciál (srovnej s Větou 4.1 pro m = 1). Podrobně je tento postup uveden ve skriptu [N₂]. Zde pro jednoduchost uvedeme pouze konečný výsledek, který nejprve zformulujeme pro funkci dvou proměnných.

Definice 4.2. Nechť funkce f : 2 má v bodě [x0,y0] spojité parciální derivace až do řádu m včetně. Diferenciálem m-tého řádu funkce f v bodě [x0,y0] rozumíme homogenní funkci m-tého stupně

Poznámka 4.5. Pro případ m = 1 je vzorec pro d^mf samozřejmě totožný se vztahem (4.4 ). Pro m = 2,3 dostáváme diferenciály 2. a 3. řádu

 

Pro případ n proměnných je diferenciál m-tého řádu homogenní funkce n proměnných h = (h₁,…,h_n)

Tento vztah se často zapisuje pomocí formálního umocnění takto:

4.3 Kmenová funkce

V tomto odstavci řešíme následující úlohu: Je dána dvojice funkcí dvou proměnných P(x,y),Q(x,y). Máme rozhodnout, zda existuje funkce H(x,y) taková, že

Funkce H se nazývá kmenová funkce funkcí P,Q. Odpověď na otázku existence kmenové funkce dává následující věta.

Věta 4.5. Nechť P, Q jsou spojité funkce proměnných x, y definované na otevřené jednoduše souvislé¹ množině Ω ², které mají na této množině spojité parciální derivace P_y, Q_x. Pak výraz P(x,y)dx + Q(x,y)dy je diferenciálem nějaké funkce, právě když platí

(4.7)

 

 

Důkaz. „“: Nechť platí (4.7) a [x₀,y₀] Ω je libovolné. Položme

Pak H_x(x,y) = P(x,y) a

„“: Je-li výraz P dx + Qdy diferenciálem nějaké kmenové funkce H, pak P = H_x,Q = H_y. Ze spojitosti parciálních derivací P_y,Q_x plyne spojitost smíšených derivací H_xy a H_yx, které jsou si rovny (Schwarzova věta 3.2 ), a rovnost H_xy = H_yx je ekvivalentní rovnosti (4.7 ). □

 

Příklad 4.3. Rozhodněte, zda výraz (x² − y²)dx + (5 − 2xy)dy je diferenciálem nějaké funkce; v případě že ano, určete tuto (kmenovou) funkci.

Řešení. Nejprve ověříme, zda je uvedený výraz opravdu diferenciálem. Platí

tj. podle Věty 4.5 je zadaný výraz diferenciálem jisté kmenové funkce H. Dále platí kde (y) hraje roli integrační konstanty, neboť její derivace podle x je nulová. Derivováním podle y a dosazením do vztahu H_y = Q dostáváme odkud (y) = 5, tj. (y) = 5y+c. Vypočítali jsme, že zadaný výraz je diferenciálem funkce

Poznámka 4.6. Pojem kmenové funkce také úzce souvisí s tzv. exaktní diferenciální rovnicí. Uvažujme diferenciální rovnici (tj. rovnici, kde neznámou je funkce y = y(x), která v rovnici vystupuje spolu se svými derivacemi)

(4.8)

Dosadíme-li y = , dostáváme rovnici

Tato rovnice se nazývá exaktní, je-li −a_y(x,y) = b_x(x,y), tj. právě když je výraz na levé straně rovnice diferenciálem. Je-li H příslušná kmenová funkce, je řešení y = f(x) rovnice (4.8) zadáno rovností H(x,y) = c, kde c (říkáme, že funkce y = f(x) je zadána implicitně, viz Kapitola 8 ).

 

Zcela analogický problém můžeme řešit pro funkce n proměnných. Podobně jako v důkazu Věty 4.5 lze ukázat, že v případě n-tice funkcí P₁,…,P_n : ⁿ se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu je výraz P₁(x)dx₁ + ⋯ + P_n(x)dx_n diferenciálem jisté kmenové funkce n proměnných v bodě x = [x₁,…,x_n], právě když

Příklad 4.4. Rozhodněte, zda je výraz (y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz diferenciálem jisté funkce H(x,y,z). Pokud ano, tuto funkci určete.

Řešení. Nejprve ověříme, zda je daný výraz opravdu diferenciálem:

Kmenovou funkci určíme takto: kde funkce C(y,z) opět hraje roli integrační konstanty. Derivováním podle y a z a porovnáním s funkcemi u dy, dz dostáváme Tím jsme dostali stejný problém jako v Příkladu 4.3, kdy je třeba určit funkci C(z,y), jestliže známe obě její parciální derivace. Stejným postupem jako v Příkladu 4.3 snadno zjistíme, že C(y,z) = yz + c, c . Zadaný výraz je diferenciálem funkce

 

Poznámka 4.7. Skutečnost, zda je výraz

(4.9)

diferenciálem jisté funkce, hraje fundamentální roli v teorii křivkový ch integrálů a v jejich fyzikálních aplikacích. Funkce P,Q,R můžeme chápat jako souřadnice nějakého silového pole v prostoru – vektor F(x,y,z) = (P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) udává směr a velikost síly působící v bodě [x,y,z]. Toto pole se nazývá konzervativní nebo také potenciálové, jestliže se při pohybu v tomto poli po libovolné uzavřené křivce nevykoná žádná práce (tuto vlastnost má například pole gravitační). Lze ukázat, že pole F je konzervativní, právě když je výraz (4.9) diferenciálem jisté funkce H. Tato funkce se ve fyzikální terminologii nazývá potenciál silového pole.

 

Cvičení

4.1.  Určete diferenciál funkce v daném bodě, popř. v obecném bodě tam, kde není konkrétní bod specifikován:

a) z = xy + , [x0,y0] = [1,1]

e) z = , [x0,y0] = [3,4]

 

b) z = arctg , [x0,y0] = [1,−1]

f) z = arcsin, [x0,y0] = [1,]

 

c) z = arctg , [x0,y0] = [,1]

g) u = , [x0,y0,z0] = [1,0,1]

 

d) u = x, [x0,y0,z0] = [2,1,1]

h) u =

 

 

4.2.  Pomocí diferenciálu vypočtěte přibližně:

a) arctg

c)

e)

 

b) arcsin

d) ln(0,972 + 0,052)

f) e0,053−0,02

 

• O kolik cm³ se přibližně změní objem kužele s poloměrem podstavy r = 10cm a výškou h=10cm, zvětšíme-li poloměr podstavy o 5mm a výšku o 5mm zmenšíme?
• O kolik přibližně musíme změnit výšku komolého jehlanu se čtvercovou základnou s délkami hran a = 2m, b = 1m a výškou v = 1m, jestliže a zvětšíme o 7cm a b zmenšíme o 7cm, chceme-li, aby objem zůstal nezměněn?

 

4.7.  Vypočtěte diferenciály vyšších řádů zadaných funkcí (v obecném bodě):

a) z = xln(xy), d2z =?

d) z = ln(x + y), dnz =?

 

b) z = x3 + y3 − 3xy(x − y), d2z =?

e) z = , dnz =?

 

c) z = (x2 + y2)ex+y, dnz =?

f) u = xyzex+y+z, dnu =?

 

 

4.8.  Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je:

a) (x + lny) dx + ( + siny) dy

c)

 

b) x sin2y dx + x2 cos2y dy

d) (y2 − 1) dx + (2xy + 3y) dy

 

 

4.9.  Zjistěte, zda dané výrazy jsou totálními diferenciály nějaké funkce, a pokud ano, najděte je:

a) (3x2 − 3xyz + 2)dx + (3y2 − 3xz + lny + 1)dy + (3z2 − 3xy + 1)dz

 

b) + +