8 Funkce zadaná implicitnˇe

Uvažujme tento problém: Nechť F je funkce dvou proměnných a označme množinu (křivku)

Zvolme libovolný bod na křivce M. Chceme vyšetřit chování křivky v okolí tohoto bodu, zejména určit rovnici tečny v tomto bodě a rozhodnout, zda křivka v okolí tohoto bodu leží nad, nebo pod tečnou.

Jestliže křivka M je přímo grafem funkce jedné proměnné y = f(x), tj. F(x,y) = y − f(x) = 0, problém snadno vyřešíme výpočtem derivací f

. Rovněž v jednoduchých případech, jako je rovnice kružnice, lze využít metod diferenciálního počtu funkcí jedné proměnné, neboť z rovnice kružnice můžeme snadno spočítat y jako funkci proměnné x. Je-li však rovnice křivky komplikovanější, např. x³ + y³ − 2xy = 0, a chceme určit rovnici tečny ke křivce určené touto rovnicí v bodě [x₀,y₀] = [1,1], předchozí postup selhává, protože z rovnice křivky nelze y rozumně spočítat.

V této kapitole ukážeme, jak tuto nesnáz obejít. Budeme se nejprve zabývat problémem, zda je křivka M v okolí daného bodu totožná s grafem nějaké funkce jedné proměnné, a pokud ano, jak spočítat její derivace.

V prvním odstavci je tento problém vyřešen pro funkci jedné proměnné, v druhém pro funkci n proměnných a v třetím odstavci pro zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí.

8.1 Implicitně zadaná funkce jedné proměnné

Jinými slovy, funkce y = f(x) je v okolí bodu [x₀,y₀] zadána implicitně¹ rovnicí F(x,y) = 0, jestliže existuje

> 0 takové, že F(x,f(x)) = 0 pro x

(x₀ −

,x₀ +

V případě rovnice kružnice x² + y² − 1 = 0 z obrázku vidíme, že v okolí libovolného bodu P₀≠[

1,0] této kružnice je rovnicí x² + y² − 1 = 0 implicitně zadána funkce y = f(x) =

(znaménko + bereme, leží-li bod na horní půlkružnici, a znaménko −, je-li na dolní půlkružnici).

Dále vidíme, že v okolí bodů [

1,0] není rovnicí zadána žádná funkce proměnné x.

Je vidět, že v libovolném okolí počátku není rovnicí F(x,y) = 0 určena implicitně žádná funkce. Naopak v dostatečně malém okolí každého jiného bodu těchto křivek je rovnicí F(x,y) = 0 deﬁnována funkce y = f(x). V prvním případě to jsou funkce y = √ -- x

nebo y = − √ -- x

, podle toho, leží-li bod v horní, nebo dolní polorovině určené osou x, ve druhém případě y = x nebo y = −x, podle toho, na které z dvojice přímek bod leží.

V následující Větě 8.1 je uvedena postačující podmínka pro existenci funkce zadané implicitně v okolí daného bodu křivky a ve Větě 8.2 způsob pro výpočet její derivace.

Důkaz. Existenci implicitně zadané funkce dokážeme pomocí Banachovy věty o pevném bodu kontraktivního zobrazení v úplném metrickém prostoru, viz [D-D]. Nechť , > 0 jsou reálná čísla, jejichž přesnou hodnotu určíme později, a označme I = [x₀ −,x₀ + ]. Uvažujme prostor funkcí

P = {g ∈ C(I) : g(x0) = y0, ∣g(x)− y0∣ ≤ ɛ pro x ∈ I}.

To znamená, že P je prostor spojitých funkcí na I, jejichž grafy procházejí bodem [x₀,y₀] a leží v

obdélníku kolem bodu [x₀,y₀]. Na P uvažujme metriku stejnoměrné konvergence

(f,g) = max_xI

f(x) −g(x)

. Označme d = F_y(x₀,y₀)≠0 a deﬁnujme na P zobrazení T : P

C(I) předpisem

T F-(x,g(x)) g(x) ↦−→ g(x) − d .

Najdeme-li pevný bod f

P zobrazení T, je tento bod hledanou implicitně zadanou funkcí f. Vskutku, je-li f(x) = T(f)(x) = f(x) − d⁻¹F(x,f(x)), je d⁻¹F(x,f(x)) = 0 pro x

I, což podle Deﬁnice 8.1 znamená, že funkce f je implicitně zadána rovností F(x,y) = 0.

Určíme nyní konstanty a tak, aby zobrazení T bylo kontrakcí a zobrazovalo prostor P do sebe (což jsou spolu s úplností prostoru P předpoklady Banachovy věty).

Nechť f,g P. Využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkci F dostáváme

	T(f)(x)−T(g)(x) = max_xIf(x)−d⁻¹F(x,f(x)) − g(x) + d⁻¹F(x,g(x)) =
	= f(x) − g(x) − = f(x) − g(x)1 −,

kde

(x) leží mezi f(x) a g(x). Protože funkce F_y je spojitá v bodě [x₀,y₀] a F_y(x₀,y₀) = d, existují

₁ > 0 taková, že

1 − d⁻¹F_y(x,y)

pro x

(x₀ −

₁,x₀ +

₁), y

(y₀ −

,y₀ +

). Je-li

≤

₁, pro takto zvolená

₁ platí

(T(f),T(g))	= max_xIf(x) − g(x)1 −≤
	≤max_xIf(x) − g(x) = (f,g),

tj. T je kontrakce s koeﬁcientem kontrakce q =

. Nechť f

P. Pak T(f) je spojitá funkce a T(f)(x₀) = f(x₀) − d⁻¹F(x₀,f(x₀)) = y₀. Odtud plyne existence

₂ > 0 tak, že pro x

(x₀ −

₂,x₀ +

₂) platí

∣T(f)(x)− y0∣ ≤ ɛ.

Položme = min{₁,₂}, pak pro takto určená , je T kontraktivní zobrazení P do sebe, což jsme potřebovali dokázat. □

Poznámka 8.1. i) Uvědomme si, že rovností F(x,y) = 0 může být v dostatečně velkém okolí bodu [x₀,y₀] zadána jedna či více spojitých nebo nespojitých funkcí. Tuto skutečnost ilustruje následující příklad.

Uvažujme rovnici y(y − 1) = 0. Touto rovnicí je v okolí bodu [0,0] určena spojitá funkce y 0 a kromě ní také nespojitá funkce

{ 0, pro x ∈ ℚ, χ(x) = 1, pro x ∈ ℝ \ ℚ.

ii) Podmínka F_y(x₀,y₀)≠0 je pouze dostatečnou, nikoliv nutnou podmínkou pro existenci implicitně zadané funkce. V případě rovnice y³−x = 0 je F_y(0,0) = 3y²

_y=0 = 0, a přesto je rovnicí v okolí počátku implicitně určena funkce y = 3√x--

PICT

obr. 8.2:

iii) Na zadávající rovnici F(x,y) = 0 se můžeme dívat také jako na rovnici deﬁnující funkci x = (y) proměnné y. Snadno se vidí na základě Věty 8.1 , že dostatečnou podmínkou pro existenci takto implicitně zadané funkce x = (y) v okolí b. [x₀,y₀] je F_x(x₀,y₀)≠0. Na obrázku 8.2 je vidět, že rovnicí x² + y² − 1 = 0 je v okolí bodu [1,0] implicitně určena funkce x = (y) = ∘ ------ 1− y2 .

Důkaz. Nechť f je funkce implicitně určená v okolí bodu [x₀,y₀] rovnicí F(x,y) = 0, tj. existuje > 0 takové, že pro x (x₀ − ,x₀ + ) platí F(x,f(x)) = 0. Důkaz existence derivace implicitně zadané funkce f zde nebudeme provádět (lze jej s podrobnostmi nalézt např. v [N₂]), zde se zaměříme pouze na odvození vzorce pro f. Derivováním rovnosti F(x,f(x)) podle x dostáváme

Fx(x,f(x))+ Fy(x,f(x))f′(x) = 0,

odkud

f′(x) = − Fx(x,f(x)). Fy(x,f(x))

Dosadíme-li za x = x₀, pak ze skutečnosti, že f(x₀) = y₀, plyne dokazované tvrzení. □

Příklad 8.1. i) Určete rovnici tečny a normály ke křivce dané rovnicí x³ + y³ − 2xy = 0 v bodě [1,1] (viz úvodní komentář).

Řešení. Označme F(x,y) = x³ + y³ − 2xy. Platí F_y(x,y) = 3y²− 2x,F_y(1,1) = 1≠ 0, jsou tedy splněny všechny předpoklady věty, tj. rovností x³ + y³ − 2xy = 0 je v jistém okolí bodu [1,1] určena implicitně funkce jedné proměnné y = f(x), pro jejíž derivaci v bodě x = 1 dostáváme

Fx(1,1) 3x2 − 2y f′(1) = −------- = − --2-----∣[x,y]=[1,1] = − 1. Fy(1,1) 3y − 2x

Rovnice tečny t je y − 1 = −(x − 1) ⇒ x + y − 2 = 0. Normála je přímka kolmá k tečně, a vzhledem k tomu, že pro směrnice k₁,k₂ dvou navzájem kolmých přímek platí k₁k₂ = −1, rovnice normály n je y − 1 = x − 1 ⇒ y = x.

ii) Určete, ve kterých bodech křivky x² + y² −xy − 1 = 0 je tečna rovnoběžná s osou x, resp. y.

Řešení. Stejně jako v předchozím příkladu zjistíme, že ve všech bodech, kde ∂- ∂y [x² + y² − xy − 1] = 2y − x≠0, je rovnicí x² + y² −xy − 1 = 0 implicitně určena jistá funkce proměnné x. Pro její derivaci platí

′ 2x-−-y y = −2y − x .

Tečna je rovnoběžná s osou x v bodech, kde y

=0, musí proto platit 2x−y = 0. Protože hledaný bod leží na křivce x² + y² −xy − 1 = 0, dostáváme systém rovnic

y = 2x, x2 + y2 − xy − 1 = 0.

Dosazením z první rovnice do druhé snadno najdeme řešení x =

, y =

, tedy tečna ke křivce je vodorovná v bodech [

Při určení bodů, kde je tečna rovnoběžná s osou y, postupujeme podobně. Tečna může být svislá pouze v bodech, kde je jmenovatel zlomku vyjadřující y nulový. (Ke stejnému výsledku dojdeme, jestliže se na rovnici x² + y² − xy − 1 = 0 díváme jako na rovnici určující implicitně x jako funkci proměnné y.) Obdržíme systém rovnic

2y − x = 0, x2 + y2 − xy − 1 = 0,

jehož řešením je dvojice bodů [

], v nichž je tečna ke křivce svislá.

Poznámka 8.2.

Při výpočtu derivace funkce zadané rovnicí F(x,y)=0 využíváme často místo vzorce (8.1 ) postupu uvedeného při jeho odvození. Rovnici F(x,y) = 0 derivujeme podle x a na y se díváme jako na funkci proměnné x. Pak dostáváme

$Fx(x,y)+ y′Fy(x,y) = 0$ (8.2)

a z této rovnice vypočteme y.
Postup z předchozí poznámky je vhodný i při výpočtu vyšších derivací funkce implicitně zadané rovnicí F(x,y) = 0. Derivujeme-li rovnici (8.2 ) ještě jednou podle x, dostáváme $Fxx(x,y)+ (Fxy(x,y) + Fyx(x,y))+ Fyy(x,y)y′ + Fy(x,y)y′′ = 0$ a z této rovnice vypočteme y. Dalším derivováním poslední rovnice odvodíme vztah pro y atd.
Je-li c reálná konstanta, je rovnicí F(x,y) − c = 0 určena vrstevnice funkce F na úrovni c – viz Deﬁnice 1.3 . Směrnice tečny k vrstevnici v bodě [x₀,y₀] (pokud je funkce F diferencovatelná a tečna existuje) má rovnici $t : y − y0 = − Fx(x0,y0)(x − x0) Fy(x0,y0)$ a odtud F_x(x₀,y₀)(x − x₀) + F_y(x₀,y₀)(y − y₀) = 0. To znamená, že vektor u = (F_x(x₀,y₀),F_y(x₀,y₀)) je normálový vektor ke křivce F(x,y) − c = 0 v bodě [x₀,y₀].

Příklad 8.2.

Rozhodněte, zda křivka x³+y³−2xy = 0 leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou, nebo nad tečnou.
Řešení. Rovnici tečny jsme vypočítali v Příkladu 8.1 i) podle vzorce o derivaci funkce dané implicitně.

Nyní postupujme jako při odvození tohoto vzorce. Derivujeme-li rovnici x³ + y³ − 2xy = 0 podle x a uvážíme-li, že y je funkce proměnné x, dostáváme 3x² + 3y²y− 2y − 2xy = 0. Dalším derivováním podle x obdržíme 6x + 6y(y)² + 3y²y− 2y− 2y− 2xy = 0 a odtud
$′′ 4y′ − 6x − 6y(y′)2 y = ----3y2-−-2x----.$ Dosadíme-li do tohoto vztahu za x = 1,y = 1 a y = −1 (tato hodnota je vypočítána při výpočtu tečny), dostaneme y(1) = −16, což znamená, že křivka leží v okolí bodu [1,1] pod tečnou (neboť implicitně určená funkce je v bodě x = 1 konkávní).
Najděte lokální extrémy funkce zadané implicitně rovností

$∘ ------- y ln x2 + y2 = arctg-. x$ (8.3)

Řešení. Derivováním rovnosti implicitně zadávající y jako funkci proměnné x dostáváme
$x+-yy-′ ---1-- y′x-−-y x2 + y2 = 1 + y2 ⋅ x2 . x2$ Odtud $x + yy′ = y′x − y =⇒ y ′ = x-+-y. x − y$ Z podmínky y=0 máme x= − y a dosazením do (8.3) dostáváme ln = arctg(−1) a odtud x = ,y = . Nyní vypočteme y v nalezených stacionárních bodech. Derivujeme-li rovnici x + yy = yx − y „implicitně“ podle x (jiná možnost, vedoucí samozřejmě ke stejnému výsledku, je derivovat podle x zlomek ), dostáváme 1 + (y)² + yy = yx + y− y. Odtud $1 + (y′)2 y′′ =--------. x− y$ Dosadíme-li do této rovnosti, vidíme, že y(−) < 0, y() > 0, tedy v bodě x = − má implicitně zadaná funkce lokální maximum a v bodě x = lokální minimum. (Geometricky se o správnosti výpočtu můžeme přesvědčit náčrtkem křivky, přejdeme-li v (8.3) k polárním souřadnicím x = r cos, y = r sin, pak pro (−,) dostáváme část logaritmické spirály r = e² a pro (,) křivku, která je středově symetrická podle počátku s touto spirálou.)

8.2 Implicitně zadaná funkce více proměnných

V úvahách prováděných na začátku předchozího odstavce se můžeme snadno „posunout“ o dimenzi výše. Uvažujme v

³ množinu M = {[x,y,z]

³ : F(x,y,z) = 0}, kde F je nějaká funkce tří proměnných. Za celkem přirozených předpokladů na funkci F (např. diferencovatelnost) je M nějaká plocha v

³ a můžeme si klást otázku, jaká je rovnice tečné roviny k ploše M v bodě [x₀,y₀,z₀]

M, popř. zda v okolí tohoto bodu je plocha pod, nebo nad tečnou rovinou. Lze-li z rovnice F(x,y,z) = 0 vypočítat proměnnou z, můžeme použít postup ze čtvrté kapitoly. Pokud toto není možné, zcela analogicky jako pro funkci dvou proměnných můžeme odvodit podmínku, kdy je množina M v okolí bodu [x₀,y₀,y₀] totožná s grafem nějaké funkce dvou proměnných z = f(x,y), tj. v okolí bodu [x₀,y₀,z₀] platí F(x,y,f(x,y)) = 0 a f(x₀,y₀) = z₀. Pokud taková funkce existuje, řekneme, že je v okolí bodu [x₀,y₀,z₀] implicitně zadána rovnicí F(x,y,z) = 0.

Zcela analogická je situace, kdy je rovnicí F(x₁,…,x_n,y) = 0 v okolí bodu [x^∗,y] = [x₁^∗,…,x_n^∗,y] implicitně určena funkce n proměnných y = f(x₁,…,x_n). Přistoupíme proto k formulaci existenčního tvrzení přímo pro tento obecný případ. Důkaz tvrzení neuvádíme, protože je v podstatě totožný s případem, kdy x je skalární proměnná.

Věta 8.3. Nechť funkce F : ⁿ⁺¹ , M = {[x,y] = [x₁,…,x_n,y] ⁿ⁺¹, F(x,y) = 0}, [x^∗,y^∗] M a F je spojitá na množině R = {[x,y] = [x₁,…,x_n,y] : x_i − x_i^∗ < a,i = 1,…,n, y − y^∗ < a}. Dále předpokládejme, že F má spojitou parciální derivaci F_y v bodě [x^∗,y^∗] a ∂∂Fy- (x^∗,y^∗)≠0. Pak existuje okolí bodu [x^∗,y^∗], v němž je rovnicí F(x,y) = F(x₁…,x_n,y) = 0 implicitně určena právě jedna spojitá funkce y = f(x) = f(x₁,…,x_n).

Má-li navíc funkce F v bodě [x^∗,y^∗] spojité parciální derivace ∂∂xi F, má implicitně určená funkce f v bodě x^∗ = [x₁^∗…,x_n^∗] parciální derivace a platí

∂f ∂F-(x ∗,y ∗) ---(x∗) = − ∂∂xFi--∗-∗-- ∂xi ∂y (x ,y )

Příklad 8.3. i) Určete rovnici tečné roviny v bodě [1,0,1] k ploše určené rovnicí x³ + y³ + z³ − 3xyz − x − y − z = 0.

Řešení. Určíme parciální derivace implicitně zadané funkce z = z(x,y). Derivováním zadávající rovnice podle x a podle y (uvážíme při tom, že z je funkcí proměnných x a y) dostáváme

3x2 + 3z2zx − 3yz − 3xyzx − 1 − zx = 0, 3y2 + 3z2z − 3xz − 3xyz − 1 − z = 0. y y y

Odtud

3x2-−-3yz-−-1 3y2 −-3xz-−-1 zx = 3xy + 1 − 3z2, zy = 3xy + 1− 3z2 .

Dosazením x = 1,y = 0,z = 1 dostáváme z_x(1,0) = −1, z_y(1,0) = 2, a tedy tečná rovina k dané ploše v bodě [1,0,1] má podle (4.6) rovnici z − 1 = −(x − 1) + 2y, po úpravě x − 2y + z − 2 = 0.

ii) Rozhodněte, zda plocha v ³ daná rovnicí x + y² + z³ + z − 4 = 0 leží v okolí bodu [1,1,1] pod tečnou rovinou, nebo nad tečnou rovinou sestrojenou v tomto bodě.

Řešení. Postupem popsaným ve Větě 8.3 určíme parciální derivace v bodě [1,1] funkce z = z(x,y). Dostáváme

1 2y zx = − ------2, zy = − -----2, 2 1 + 3z 2 1+ 3z z = − -6zxz--, z = − 2-+-6zyz, z = − 6zxzyz, xx 1+ 3z2 yy 1+ 3z2 xy 1+ 3z2

tedy v bodě [1,1,1] platí z_x = − 1 4

, z_y = −

, z_xx = − 3- 32

, z_xy = − -3 16

, z_yy = − 7 8

. Tečná rovina v bodě [1,1,1] má rovnici z − 1 = − 1 4

(x − 1) −

(y − 1).

Nyní použijeme tvrzení uvedené v Poznámce 6.3 . Platí

( )( ) ( ) D(1, 1) = zxx(1,1)zyy(1,1)− z2xy(1,1) = − -3 − 7 − 3- 2 = 122-> 0 32 8 16 16

a z_xx(1,1) = − 3 32 . Proto plocha určená rovnicí x + y² + z³ + z − 4 = 0 leží v okolí bodu [1,1,1] pod tečnou rovinou v tomto bodě.

iii) Určete lokální extrémy funkce z = f(x,y) určené implicitně rovnicí F(x,y,z) = x² + y² + z² − xz − √ -- 2 yz = 1.

Řešení. Derivováním zadávající rovnosti podle x a y dostáváme

√ -- 2x + 2zzx − z − xz√x-− √2yzx = 0, 2y + 2zzy − xzy − 2z − 2yzy = 0,

(8.4)

odtud

√-- z − 2x 2z − 2y zx = ---------√---, zy = --------√---. 2z − x − 2y 2z − x− 2y

Stacionární body určíme z podmínky z_x = 0 = z_y, tj. z = 2x = √-- 2

y, tedy y = √2--

x. Dosazením do zadávající rovnice obdržíme dvojici stacionárních bodů P₁ = [1, √2--

,2], P₂ = [−1,− √2--

,−2]. V těchto bodech je F_z≠0, tedy v jejich okolí je implicitně určena jistá funkce z = f(x,y). Derivováním (8.4) vypočteme parciální derivace 2. řádu ve stacionárních bodech

zxx = − -----2--√---, zxy = 0, zyy = −------2--√---. 2z − x − 2y 2z − x − 2y

V obou bodech P_1,2 je D = z_xxz_yy − z_xy² = 1 > 0, tj. v těchto bodech nastávají lokální extrémy, a to maximum v bodě P₁ (neboť z_xx = −2) a minimum v bodě P₂ (z_xx = 2).

Podobným způsobem jako v Poznámce 8.2 iii) lze dokázat následující tvrzení.

8.3 Implicitně zadané zobrazení mezi prostory vyšších dimenzí

V tomto odstavci se zabýváme nejobecnějším případem. Nechť je dáno m funkcí F_i , n + m proměnných x = [x₁,…,x_n], y = [y₁,…,y_m], i = 1,…,m a uvažujme systém rovnic

Na m-tici funkcí F₁,…,F_m se můžeme dívat jako na zobrazení z

^n+m

^m, které označíme

. Pak F₁,…,F_m jsou složky tohoto zobrazení, tj.

= {F₁,…,F_m}. Podobně jako v předchozích dvou odstavcích označme M = {[x,y]

^n+m :

(x,y) = 0} a nechť [x^∗,y^∗]

M. Jestliže existuje okolí bodu [x^∗,y^∗]

^n+m

([x^∗,y^∗]) =

(x^∗)

(y^∗) a zobrazení

ⁿ takové, že pro každé [x,y]

([x^∗,y^∗]) je množina bodů [x,y]

M totožná s množinou bodů [x,

(x)],x

(x^∗), řekneme, že zobrazení

je v okolí bodu [x^∗,y^∗] implicitně určeno rovnicí

(x,y) = 0.

Hledáme podmínky pro existenci implicitně zadaného zobrazení. Jinými slovy, chceme v okolí bodu [x^∗,y^∗] ze systému rovnic (8.6) jednoznačně určit proměnné y₁,…,y_m v z ávislosti na x₁,…,x_n, neboli hledáme podmínky, za kterých systém rovnic (8.6) určuje v okolí bodu [x^∗,y^∗]

M nějaké spojité zobrazení

ⁿ. Současně odvodíme vzorec pro Jacobiho matici tohoto implicitně určeného zobrazení.

Čtenáři doporučujeme při čtení výsledků tohoto odstavce dosadit m = n = 1 (tj. všechny matice a vektory se redukují na skalární hodnoty) a porovnat je s tvrzeními z odstavce 8.1. Takto zjistíme, že když „zapomeneme“, že x,y jsou vektorové proměnné, je tvrzení Věty 8.5 stejné jako ve Větách 8.1 , 8.2 .

Věta 8.5. Nechť = {F₁,…,F_m} je spojité zobrazení na množině R = {[x,y] ^n+m : [x,y] _a(x^∗) _a(y^∗)}, nechť matice

( ∂-- -∂- ) | ∂y1F1(x,y) ... ∂ym F1(x,y) | ℱy(x,y) = ( ... ) ∂∂y-Fm(x,y) ⋅⋅⋅ ∂∂y-Fm(x, y) 1 m

je regulární v bodě [x^∗,y^∗] a její prvky jsou spojité v tomto bodě. Pak existuje okolí

([x^∗,y^∗]) =

(x^∗)

(y^∗) bodu [x^∗,y^∗] takové, že rovnicí

(x,y) = 0 je v tomto okolí bodu [x^∗,y^∗] určeno jediné spojité zobrazení

(x^∗)

(y^∗), tj. pro x

(x^∗) je

(x,

(x)) = 0.

Jsou-li navíc v bodě [x^∗,y^∗] spojité prvky matice

( ∂ ∂ ) ∂x1F1(x,y) ⋅⋅⋅ ∂xnF1(x,y) ℱx(x,y) = |( ... |) , -∂-F (x,y) ⋅⋅⋅ -∂-F (x,y) ∂x1 n ∂xn n

pak jsou prvky Jacobiho matice implicitně určeného zobrazení

spojité v x^∗ a platí

𝒢 ′(x∗) = [ℱy(x∗,y∗)]−1ℱx(x∗,y∗).

Nyní se budeme zabývat deﬁnicí tečného a normálového prostoru k podmnožinám v

ⁿ, které jsou deﬁnovány jako množina řešení jistého systému rovnic. Podrobně, nechť

ⁿ

^m, m < n, f_i :

ⁿ

, i = 1,…,m jsou složky tohoto zobrazení a označme M =

⁻¹(0) = {x = [x₁,…,x_n]

ⁿ :

(x) = 0}, tj. M je množina řešení systému rovnic

Jako model uvažujme dvojici rovnic x² + y² + z² − 1 = 0, x + y + z = 0. Z geometrického významu je zřejmé, že množinou M v

³ určenou touto dvojicí rovnic je kružnice, která je průsečíkem sféry x² + y² + z² = 1 s rovinou x + y + z = 0. Je-li [x^∗,y^∗,z^∗]

M, pak je přirozené nazvat směrový vektor tečny ke kružnici v bodě [x^∗,y^∗,z^∗] tečným prostorem k M v bodě [x^∗,y^∗,z^∗] a ortogonální doplněk k tomuto jednorozměrnému podprostoru normálovým prostorem. Je zřejmé, že normálový prostor k M v [x^∗,y^∗,z^∗] je lineární podprostor v

³, který je generován normálovými vektory ke kulové ploše a k rovině. Z tohoto pohledu je přirozená následující deﬁnice.

Poznámka 8.4. i) V literatuře věnované diferenciální geometrii a globální analýze (viz např. [S]) bývá tečný prostor k podmnožinám v ⁿ deﬁnován poněkud odlišně, pro množiny zadané systémem rovnic při splnění předpokladů z předchozí deﬁnice je však tento objekt totožný s námi deﬁnovaným tečným prostorem. Podrobněji o této problematice pojednává skriptum [N₂] a monograﬁe [S].

ii) Předpoklad na hodnost matice (x^∗) v Deﬁnici 8.2 nelze vypustit. Uvažujme v ² množinu M = {[x,y] : f(x,y) = x² − y² = 0, y ≥ 0}. Pak evidentně M je tvořena dvojicí polopřímek y x = 0 a v počátku (kde f_x(0,0) = 0 = f_y(0,0)) tečnu nelze sestrojit, neboť křivka zde má „hrot“.

Příklad 8.5. i) Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [x₀,y₀,z₀], z₀ > 0 k prostorové křivce, která je průsečíkem kulové plochy x² + y² + z² = 4 s válcovou plochou x² + y² − 2x = 0 (tzv. Vivianiho křivka²).

Řešení. Normálové vektory k jednotlivým plochám v bodě [x₀,y₀,z₀] jsou n₁ = (2x₀,2y₀,2z₀) pro kouli a n₂ = (2x₀ − 2,2y₀,0) pro válec. Normálový prostor ke křivce je generován těmito dvěma vektory (všimněte si, že v bodě [4,0,0] jsou lineárně závislé, zde má křivka hrot – načrtněte si obrázek). Jejich vektorový součin u = (−y₀z₀,z₀(x₀ − 1),y₀) je směrovým vektorem tečny, která má tedy rovnici t : [x,y,z] = [x₀,y₀,z₀] + (−y₀z₀,z₀(x₀ − 1),y₀), .

ii) Určete Jacobiho matici zobrazení F : ² ²: u = u(x,y),v = v(x,y), které je v okolí bodu [x^∗,y^∗,u^∗,v^∗] = [1,0,1,0] určeno implicitně dvojicí rovnic

2 2 2 2 x + y + uu+v v − 2 = 0, xu − yv+ e − 2 = 0

(8.7)

Řešení. Označme M množinu bodů v ⁴, které vyhovují zadávající dvojici rovnic. Přímým dosazením snadno ověříme, že vskutku [x^∗,y^∗,u^∗,v^∗] M a derivováním systému rovnic podle x (s tím, že u,v jsou funkce proměnných x,y) dostáváme (po jednoduché úpravě)

x+ uux + vvx = 0, (x + veuv)ux + (− y+ ueuv)vx = − u,

odtud pomocí Cramerova3 pravidla (toto je pro lineární 2

2 systémy většinou nejrychlejší metoda řešení)

∣∣− x v ∣∣ ∣∣u − xv ∣∣ ∣∣− u − y+ ueuv∣∣ ∣∣x + veuv − u∣∣ ux = ∣∣-----------------∣∣, vx = ∣∣-----------------∣∣. ∣∣ u uv v uv∣∣ ∣∣ u uv v uv∣∣ x+ ve − y +ue x + ve − y+ ue

Analogicky parciálním derivováním systému (8.7) podle y obdržíme systém dvou lineárních rovnic pro neznámé u_y,v_y, jehož řešením je (opět podle Cramerova pravidla)

∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣∣− y v uv∣∣ ∣∣ u uv ∣∣ uy = ∣---v--−-y+-ue----∣, vy = ∣--− x-+-ve-v-v---∣. ∣∣ u v ∣∣ ∣∣ u v ∣∣ ∣x+ veuv − y +ueuv∣ ∣x + veuv − y+ ueuv∣

Dosazení m bodu [x^∗,y^∗,u^∗,v^∗] do těchto vyjádření vidíme, že systém (8.7 ) deﬁnuje implicitně v okolí bodu [x^∗,y^∗,u^∗,v^∗] opravdu zobrazení : [x,y]↦[u,v] (neboť jmenovatel všech zlomků je nenulový) a platí u_x = −1, v_x = 0, u_y = 0, v_y = 0, tedy det(x^∗,y^∗) = 0.