Příklady na absorpční řetězce Poznámka: Výpočet stacionárního vektoru v MATLABu ­ rychlejší verze a) Zadáme matici přechodu P. Její řád zjistíme příkazem n = size(P,1). b) Vytvoříme jednotkovou matici I = eye(n). c) Získáme matici soustavy A = [[I-P]';ones(1,n)]. d) Vytvoříme vektor pravých stran f = [zeros(n,1);1]. e) Vypočteme stacionární vektor a = [A\f]'. Příklad 1.: Máme populaci diploidní cizosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a,A. Z populace náhodně vybereme jedince, sprášíme ho homozygotním jedincem typu AA a v příštím kroku vybíráme z populace tvořené jejich potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA. a) Najděte matici přechodu P. b) Ukažte, že řetězec je absorpční. c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. Řešení: ad a) = 100 2/12/10 010 P ad b) Řetězec má jediný trvalý stav AA, který je absorpční, proto je řetězec absorpční. ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu. = 2/102/1 100 001 P . Vidíme, že Dále . = 2/1 0 R , = 2/10 10 Q . ( ) =-= - 20 21 QIM 1 Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa (tj. od recesivního homozygota) v něm v průměru setrvá 1 krok než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aa setrvá ve stavu aA v průměru 2 kroky než bude absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován. ad d) . Interpretace: Ať řetězec vychází ze stavu aa nebo aA, tak s pravděpodobností 1 bude absorbován ve stavu AA. == 1 1 MRB ad e) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aa bude v průměru za 3 kroky absorbován. Řetězec vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován. == 2 3 Met Příklad 2.: Máme populaci diploidní samosprašné rostliny, ve které sledujeme gen se dvěma alelami a,A. Z populace náhodně vybereme jedince, samosprášíme ho a v příštím kroku vybíráme z populace tvořené jeho potomky. Postup lze popsat pomocí homogenního markovského řetězce s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 = aa, stav 1 = Aa = aA, stav 2 = AA. a) Najděte matici přechodu P. b) Ukažte, že řetězec je absorpční. c) Najděte fundamentální matici M a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů B a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. Řešení: ad a) = 100 4/12/14/1 001 P ad b) Řetězec má dva trvalé stavy aa a AA, oba jsou absorpční, proto je řetězec absorpční. ad c) Nejprve je nutné najít kanonický tvar matice přechodu. = 2/14/14/1 010 001 P . Vidíme, že ( )4/14/1R = , ( )2/1Q = . Dále .( ) (2QIM 1 =-= - ) ) Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA v něm v průměru setrvá 2 kroky než bude absorbován. ad d) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude s pravděpodobností 1/2 absorbován ve stavu aa a s pravděpodobností 1/2 bude absorbován ve stavu AA. ( 2/12/1MRB == ad e) . Interpretace: Řetězec vycházející ze stavu aA bude v průměru za 2 kroky absorbován. ( )2Met == Příklad 3.: Jistá firma třídí svoje pohledávky po termínu splatnosti do třicetidenních intervalů. Pohledávky, které jsou nad 90 dnů po době splatnosti, jsou považovány za nedobytné. K popisu situace zavedeme homogenní markovský řetězec s množinou stavů J = {1, 2, 3, 4, 5}, kde stav 1 znamená pohledávky 0 ­ 30 dní po době splatnosti, stav 2 pohledávky 31 ­ 60 dní po době splatnosti, stav 3 pohledávky 61 ­ 90 dní po době splatnosti, stav 4 splacené pohledávky a stav 5 nedobytné pohledávky. Dlouhodobou analýzou doby splatnosti jednotlivých pohledávek bylo zjištěno, že pravděpodobnosti přechodu jsou: p12 = 0,77, p14 = 0,23, p23 = 0,34, p24 = 0,66, p34 = 0,73 a p35 = 0,27. a) Sestavte matici přechodu. b) Klasifikujte stavy na absorpční a neabsorpční a najděte kanonický tvar matice přechodu. c) Vypočtěte fundamentální matici a interpretujte její prvky. d) Vypočtěte matici přechodu do absorpčních stavů a interpretujte její prvky. e) Zjistěte vektor středních hodnot počtu kroků před absorpcí. f) Předpokládejme, že objem pohledávek po termínu splatnosti v jednotlivých třicetidenních intervalech je (4 030 000 Kč, 9 097 000 Kč, 3 377 000 Kč). Jaká je průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek? Řešení: ad a) = 10000 01000 27,073,0000 066,034,000 023,0077,00 P ad b) Řetězec má tři přechodné stavy, a to 1, 2, 3 a dva trvalé stavy, a to 4 a 5. Oba jsou absorpční, tedy řetězec je absorpční. = 00027,073,0 34,000066,0 077,00023,0 00010 00001 P , , . = 27,073,0 066,0 023,0 R = 000 34,000 077,00 Q ad c) ( ) =-= - 100 34,010 26,077,01 QIM 1 Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 v něm v průměru stráví 1 x 30 = 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,77 x 30 = 23,1 dne ve stavu 2 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. Pohledávka zařazená do stavu 1 stráví v průměru 0,26 x 30 = 7,8 dne ve stavu 3 než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad d) . == 27,073,0 0918,09082,0 0707,09293,0 MRB Interpretace 1. řádku: pohledávka zařazená do stavu 1 bude s pravděpodobností 0,9293 splacena a s pravděpodobností 0,0707 se stane nedobytnou. ad e) == 1 34,1 03,2 Met Interpretace: 2,03 x 30 = 60,9 ­ pohledávce zařazené do stavu 1 bude v průměru trvat 60,9 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1,34 x 30 = 40,2 ­ pohledávce zařazené do stavu 2 bude v průměru trvat 40,2 dne než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. 1 x 30 = 30 ­ pohledávce zařazené do stavu 3 bude v průměru trvat 30 dnů než bude splacena nebo zařazena mezi nedobytné pohledávky. ad f) Průměrná hodnota splacených a nedobytných pohledávek: ( ) ( 203181614472184 27,073,0 0918,09082,0 0707,09293,0 337700090970004030000 = ) Průměrná hodnota splacených pohledávek je tedy 14 472 184 Kč a nedobytných pohledávek je 2 031 816 Kč.