Příklady z popisné statistiky
Příklad 1.: Hodnoty znaku X mají průměr -3 a rozptyl 4. Najděte průměr a rozptyl hodnot
znaku Y = 1 ­ 5X.
Řešení: Podle 5.17. a) dostáváme: m2 = 1 - 5m1 = 1 ­ 5.(-3) = 16, s2
2
= 52
.s1
2
= 25.4 = 100.
Příklad 2.: Hodnoty znaku X mají aritmetický průměr 20 a směrodatnou odchylku 10.
Najděte aritmetický průměr hodnot znaku Y = X2
.
Řešení:
Průměr hodnot znaku Y je  ==
==
n
1i
2
i
n
1i
i2 x
n
1
y
n
1
m . Průměr součtu kvadrátů hodnot znaku X
se objeví ve výpočetním vzorci pro rozptyl hodnot znaku X:
2
1
n
1i
2
i
2
1 mx
n
1
s -= =
. Odtud
dostaneme 5002010msx
n
1
m 222
1
2
1
n
1i
2
i2 =+=+== =
Příklad 3.: V datovém souboru zvýšíme každou hodnotu o 10%. O kolik procent se zvýší
rozptyl a o kolik % se zvýší koeficient variace?
Řešení:
Transformace X na Y je dána vzorcem Y = 1,1X. Tedy podle 5.17. a) m2 = 1,1m1 a
s1
2
= 1,12
s1
2
= 1,21s1
2
. Vidíme, že rozptyl se zvýší o 21%. Podle 5.25 je koeficient variace
znaku Y roven
1
1
1
1
2
2
m
s
m1,1
s1,1
m
s
== . Koeficient variace se tedy nezmění.
Příklad 4.: Znak X nabývá variant 0 a 1, přičemž varianta 0 se vyskytuje v 80% případů.
Vypočtěte průměr a směrodatnou odchylku znaku X.
Řešení:
Podle 5.18. a) je vážený průměr [ ] [ ] ==
==
r
1j
jj
r
1j
jj xpxn
n
1
m . V našem případě varianta x[1] =
0, její relativní četnost p1 = 0,8, varianta x[1] = 1, její relativní četnost p2 = 0,2. Po dosazení
máme: m = 0,8.0 + 0,2.1 = 0,2.
Podle 5.18. a) je vážený rozptyl [ ]( ) [ ]( ==
-=-=
r
1j
2
jj
r
1j
2
jj
2
mxpmxn
n
1
s ) . Po dosazení máme:
s2
= 0,8(0 ­ 0,2)2
+ 0,2(1 ­ 0,2)2
= 0,8.0,04 + 0,2.0,64 = 0,16, 4,016,0s ==
Příklad 5.: Vážený aritmetický průměr činil 1500 a vážený rozptyl 90000. Varianty x[j] byly
transformovány vztahem:
h
ax
y
]j[
]j[
-
= , j = 1, ..., r. Po této transformaci byl vážený
aritmetický průměr 5 a vážený rozptyl 9. Určete konstanty a a h.
Řešení:
Podle 5.17. a) je průměr lineární kombinace Y = a + bX roven m2 = a + bm1. V našem případě
tedy
h
a1500
5
-
= . Podle 5.17. a) je rozptyl lineární kombinace Y = a + bX roven s2
2
= b2
s1
2
.
V našem případě tedy 2
h
90000
9 = . Odtud h1 = 100, h2 = -100. Z první rovnice dostaneme
a1 = 1500 ­ 5.100 = 1000, a2 = 1500 + 5.100 = 2000.
Příklad 6.: Rozptyl součtů hodnot dvou znaků je 350, rozptyl rozdílů je 700. Vypočtěte
koeficient korelace, víte-li, že oba znaky mají stejné rozptyly.
Řešení:
Podle 5.17. b) je rozptyl součtu U = X + Y roven s3
2
= s1
2
+ s2
2
+ 2s12 a analogicky rozptyl
rozdílu V = X - Y roven s4
2
= s1
2
+ s2
2
- 2s12. Společnou hodnotu rozptylů znaků X a Y
označíme s2
. Dostáváme tedy dvě rovnice pro dvě neznámé:
2s2
+ 2s12 = 350
2s2
- 2s12 = 700
Odtud vypočteme s2
= 262,5 a s12 = -87,5. Koeficient korelace se počítá podle vzorce
21
12
12
ss
s
r = , v našem případě
3
1
5,262
5,87
s
s
r 2
12
12 -=-==
Příklad 7.: Máme k dispozici údaje od šesti obchodníků o poptávce (v kusech) po určitém
výrobku loni a letos:
č. obchodníka 1 2 3 4 5 6
poptávka loni 20 60 70 100 150 260
poptávka letos 50 60 60 120 230 320
Pro úsporu času máte uvedeny číselné charakteristiky: m1 = 110, m2 = 140, s1
2
= 6066,7, s2
2
=
10300, r12 = 0,972.
a) Stanovte parametry regresní přímky, která vystihuje závislost letošní poptávky na
loňské.
b) Byla-li loňská poptávka 110 kusů, jaký je regresní odhad letošní poptávky?
Řešení:
Nejprve nakreslíme dvourozměrný tečkový diagram.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280
X
0
50
100
150
200
250
300
350
Y
Ze vzhledu tohoto diagramu lze soudit, že regresní
přímka bude vhodným modelem závislosti letošní
poptávky (znak Y) na loňské (znak X).
ad a) Podle 6.9. máme:
2665,1
7,6066
10300
972,0
s
sr
s
ssr
s
s
b
1
212
2
1
2112
2
1
12
1 ==

=

==
685,01102665,1140mbmb 1120 =-=-=
Regresní přímka má tedy rovnici y = 0,685 + 1,2665x.
ad b) 1401102665,1685,0y =+=
)
Příklad 8.: Závislost mezi vnější teplotou a teplotou ve skladišti je popsána regresní přímkou
y = 8+0,6x. Při jaké vnější teplotě klesne teplota ve skladišti pod bod mrazu?
Řešení:
0 = 8 + 0,6x, tedy 3,13
6,0
8
x -=-= . Teplota ve skladišti klesne pod bod mrazu při vnější
teplotě -13,3°C.
Příklad 9.: Jak se změní směrnice regresní přímky, když každou hodnotu závisle proměnného
znaku zvětšíme o 10 % ?
Řešení:
Původní regresní přímka má rovnici y = b0 + b1x, nová regresní přímka má rovnici
1,1y = 1,1(b0 + b1x), tedy úsek i směrnice se zvýší o 10%.
Příklad 10.: V datovém souboru, z něhož byl vypočten průměr 110 a rozptyl 800, byly
zjištěny 2 chyby: místo 85 má být 95 a místo 120 má být 150. Ostatních 18 údajů je
správných. Opravte průměr a rozptyl.
Řešení:
Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že prvních 18 hodnot je správných.
Původní průměr:
19951208511020x12085x
20
1
x
20
1
m110
18
1i
i
18
1i
i
20
1i
i1 =--=





++===  ===
Nový průměr:
( ) 112150951995
20
1
15095x
20
1
m
18
1i
i2 =++=





++= =
Původní rozptyl:
800 = 236375x11012085x
20
1
mx
20
1 18
1i
2
i
222
18
1i
2
i
2
1
20
1i
2
i =-





++=-  ===
Nový rozptyl:
( ) 85111215095236375
20
1
m15095x
20
1
s 2222
2
22
18
1i
2
i
2
2 =-++=-





++= =