Téma 9: Centrální limitní věta
Ilustrace centrální limitní věty
Vygenerujeme 12 x 1000 realizací náhodných veličin X1, ..., X12, Xi ~ Rs(0,1), i =1, ..., 12. Podle
centrální limitní věty má náhodná veličina X = X1 + ... + X12 - 6 přibližně rozložení N(0,1).
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o 13 proměnných a 1000 případech. Otevřeme
programovací okno STATISTICA VISUAL BASIC (File ­ New ­ Macro (SVB) Program ­
Name clv ­ OK) a do okna napíšeme příkazy:
Dim s As Spreadsheet
Set s = ActiveSpreadsheet
For i = 1 To 12
s.Variable(i).FillRandomValues
' do proměnných v1 až v12 se uloží náhodná čísla
' z intervalu(0,1)
Next i
s.VariableLongName(13) = "=Sum(v1:v12)-6"
' do proměnné v13 se uloží součet proměnných v1 až v12
' zmenšený o 6
s.Recalculate
Znázorníme histogramy proměnných v1 a v13 a porovnáme jejich vzhled s tvarem hustot
rozložení Rs(0,1), N(0,1).
Dále spočteme průměry a rozptyly proměnných v1 a v13 a porovnáme je s teoretickou střední
hodnotou a rozptylem náhodné veličiny s rozložením Rs(0,1) (E(X)=0,5, D(X)=1/12=0,833) a
náhodné veličiny s rozložením N(0,1) (E(X)=0, D(X)=1).
Řešení:
Jedná se o 1000 náhodných čísel vygenerovaných z intervalu (0,1).
Jejich aritmetický průměr je m = 0,497491 a rozptyl s2
= 0,082374.
Střední hodnota Rs(0,1) je E(X) = 0,5 a rozptyl D(X) = 1/12 = 0,08333.
Sloupky v histogramu by měly lehce kolísat kolem hodnoty 100, protože při rovnoměrném
spojitém rozložení na intervalu (0, 1) by absolutní četnost každého z intervalů (0, 1/10], (1/10,
2/10], ..., (9/10, 1) měla být 100.
Descriptive Statistics
Variable
Mean Variance
v1
v13
0,497471 0,082374
0,039656 1,009721
Jedná se o náhodnou veličinu v13 = v1+v2+...+v12 ­ 6, která podle centrální limitní věty má
přibližně rozložení N(0,1). (Přesněji řečeno, posloupnost standardizovaných součtů konverguje
v distribuci ke standardizované normální náhodné veličině.)
Aritmetický průměr v13 vyšel m = 0,039656, rozptyl s2
= 1,009721.
Střední hodnota X  N(0,1) je E(X) = 0, rozptyl D(X) = 1.
(Při každém provedení tohoto úkolu dostaneme trochu jiné výsledky, protože postup je založen
na generování náhodných čísel.)
Aplikace Moivreovy - Laplaceovy integrální věty
Pomocí STATISTIKY spočteme př. 11.2. ze skript Teorie pravděpodobnosti a matematická
statistika: Pravděpodobnost úspěchu při jednom pokusu je 0,3. S jakou pravděpodobností lze
tvrdit, že počet úspěchů ve 100 pokusech bude v mezích od 20 do 40?
Y100 ­ počet úspěchů v posloupnosti n = 100 opakovaných nezávislých pokusů,
pravděpodobnost úspěchu  = 0,3, Y100 ~ Bi(100, 0,3), E(Y100) = n = 30, D(Y100) =
= 21.( - 1n )
Aproximativní výpočet:
( ) 9773,0
21
11
21
10
21
3040
21
30Y
21
3019
P40Y20P 100
100 =





--










 -

-
<
-
= ,
kde (x) je distribuční funkce rozložení N(0,1).
Postup ve STATISTICE:
File ­ New ­ Number of variables 2, Number of cases 1 ­ OK.
Nastavíme se kurzorem na 1. sloupec.
Long Name =INormal(10/sqrt(21);0;1)- INormal(-11/sqrt(21);0;1) OK. (Funkce
INormal(x;mu;sigma) poskytuje hodnotu distribuční funkce v bodě x normálního rozložení se
střední hodnotou mu a směrodatnou odchylkou sigma.)
Přesný výpočet:
( ) ( ) ( ) ( ) 978614,0194040Y19P40Y20P 100100 =-=<= ,
kde (x) je distribuční funkce rozložení Bi(100, 0,3).
Postup ve STATISTICE:
Nastavíme se kurzorem na 2. sloupec.
Long Name =IBinom(40;0,3;100)- IBinom(19;0.3;100). (Funkce IBinom(x;p;n) poskytuje
hodnotu distribuční funkce v bodě x binomického rozložení s parametry p a n.)
Podle tohoto návodu vyřešte příklady 11.3., 11.5., 11.6.
Př. 11.3.: Pravděpodobnost, že zakoupený elektrospotřebič bude vyžadovat opravu během
záruční doby, je rovna 0,2. Jaká je pravděpodobnost, že během záruční doby bude nutno ze 400
prodaných spotřebičů opravit více než 96?
n = 400,  = 0,2, úspěch je nutnost opravy v záruční době
n = 80, n(1-) = 64
aproximativní výpočet: P(Y400 >96)  1 - INormal(16/8;0;1) = 0,022750
přesný výpočet: P(Y400 >96) = 1 ­ IBinom(96;0,2;400) = 0,024640
Př. 11.5.: Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 10 000
novorozenci bude
a) stejně nebo více děvčat než chlapců
b) chlapců od 5000 do 5300?
n = 10000,  = 0,515, úspěch je narození chlapce
n = 5150, n(1-) = 2497,75
Úkol (a)
aproximativní výpočet: P(Y10000  5000)  INormal(-150/sqrt(2497,75);0;1) = 0,001344
přesný výpočet: P(Y10000  5000) = IBinom(5000;0,515;10000) = 0,001347
Úkol (b)
aproximativní výpočet: P(4999 < Y10000  5300)  INormal(150/sqrt(2497,75);0;1) -
INormal(-151/sqrt(2497,75);0;1) = 0,997399
přesný výpočet: P(4999 < Y10000  5300) = IBinom(5300;0;1) ­ IBinom(4999;0;1) =
0,997400
Př. 11.6.: Pravděpodobnost, že určitý typ výrobku má výrobní vadu, je 0,05. Jaká je
pravděpodobnost, že ze série 1000 výrobků bude mít výrobní vadu nejvýše 70?
n = 1000,  = 0,05, úspěch je zhotovení vadného výrobku
n = 50, n(1-) = 47,5
aproximativní výpočet: P(Y1000  70)  INormal(20/sqrt(47,5);0;1) = 0,998145
přesný výpočet: P(Y1000  70) = IBinom(70;0,05;1000) = 0,997670