Cvičení č. 1

   

   Výpočet vzdáleností na Zemi

   

   a) Stanovte délku rovnoběžky pro zeměpisné šířky 0°, 10°, 20°, 30°, 40°, 50°, 60°, 70°, 80° a
   90°.

   b) Vypočtěte délku 1° zeměpisné délky pro zeměpisné šířky 0°, 23,5°, 50° a 66,5°.

   c) Vypočtěte délku ortodromy mezi místy A a B.

   d) Vypočtěte délku loxodromy mezi místy A a B a porovnejte ji s ortodromou.

   

   ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   a) Pro délku rovnoběžky d[φ] platí:

   

   d[φ] = 2 . π . r[φ]  a  cos φ = r[φ] / r[z],  po dosazení tedy

   

   d[φ] = 2 . π . r[z] . cos φ

   

   r[z] = 6371 km

   

   Poloměr Země je různý: 6378 km (rovníkový), 6356 km (pólový) a 6371 km střední.

   

   Příklad:  φ = 25°,  d[φ] = 2 . 3,1415927 . 6371 . cos 25° (= 0,90630)  = 36280 km.

   

   Nákres, Tabulka, Závěr

   ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   b) Pro délku 1° zeměpisné délky platí:

   

   d[φ](1°) = d[φ] / 360°  =  2 . π . r[z] . cos φ / 360°

   

   Příklad: φ = 35°, d[φ](1°) = 2 . 3,1415927 . 6371 . cos 35° (= 0,81915) / 360° =
   91,1 km.

   

   Nákres, Tabulka, Závěr

   ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   c) Délka ortodromy - nejkratší spojnice po zemském povrchu vedená po hlavní kružnici - mezi
   místy A (φ[A], λ[A]) a B (φ[B], λ[B]) se řeší pomocí sférického
   trojúhelníku.

   Hodnoty zeměpisné šířky a délky bývají ve výpočtech konvenčně uváděny následujícím způsobem:
   Kladné hodnoty v případě severní zeměpisné šířky a východní zeměpisné délky, záporné hodnoty
   v případě jižní zeměpisné šířky a západní zeměpisné délky.(*)

   

   Pro výpočet se používá kosinové věty, která v trojúhelníku na povrchu koule platí:

   

   cos c° = cos a . cos b + sin a . sin b . cos γ,     kde

   

   a = 90° - φ[B],               b = 90° - φ[A],               γ = λ[B]
   -λ[A

   ]Z rovnice vyjde c ve stupních, které je třeba převést na kilometry - jde tedy o obloukovou
   míru. Převod:

   

   d[AB] = c° . d[0°](1°),        kde d[0°](1°) je délka jednoho stupně zeměpisné délky na
   rovníku.

   

   Dá se vypočítat také jako d[0°](1°) = r[z] / ρ°,   ρ° = 57,29578 je velikost
   jednoho radiánu vyjádřená ve stupních (po zaokrouhlení 57,3).

   

   Příklad: A (12° s. š, 68° v. d.),  B (76° j. š., 157° z. d.)

   

   a = 90° - (-76°) = 166°,          b = 90° - 12° = 78°,                γ = -157°-68° =
   -225°

   

   cos c° = cos 166° . cos 78° + sin 166° . sin 78° . cos (-225°),  tedy

              

   cos c° = -0,97029 . 0,20791 + 0,24192 . 0,97814 . (-0,70710)

   

   cos c° = -0,36906, z toho

   

   c = 111,66°

   

   d[AB] = 111,66 . 111,2 =  12417 km.

   

   Nákres,  Závěr

   ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

   d) Loxodroma je spojnice dvou míst na povrchu koule protínající v každém místě místní poledník
   pod stejným úhlem - azimutem. Pro výpočet délky loxodromy se používají dvě rovnice:

   

   1) 

                r[z] . | (φ[B] - φ[A])° |

   l[AB] =
   ───────────

                   cos A . ρ°         , kde neznáme velikost azimutu loxodromy A. Tu
   zjistíme z rovnice:

   

   

   2)

                               (λ[B] - λ[A]) . M

   tg A =
   ─────────────────────────

               ρ° . log [tg (φ[B] / 2 + 45°)/ tg (φ[A] / 2 + 45°)]   , kde M =
   0,434 (přesněji 0,4342945) je

   

   konstanta vycházející z integrace vztahu při jeho odvozování. Pokud (λ[B] - λ[A])
   > 180°, pro výpočet je třeba použít v rovnici místo (λ[B] - λ[A]) výraz  360° +
   λ[B] - λ[A] nebo 360° - λ[B] + λ[A], tak, aby tato hodnota byla menší
   než 180° (viz. pravidlo *)

   

   Nákres, symboly

   

   Příklad: A (12° s. š, 68° v. d.),  B (76° j. š., 157° z. d.)

   

                              (360° - 157°  - 68°) . 0,434                                  58,59

   tg A =
   ───────────────────────────  
   =
   ────────────
   =  -1,019972

               57,3 . log [tg (-76°/2 + 45°)/ tg (12°/2 + 45°)]             57,3 . log 0,099428

   

   A = -45,566481°

   

   Zpětné dosazení do první rovnice:

   

   l[AB] = 6371 . | (-76°-12°) |  / 57,3 . cos (-45,566481) = 13976 km.

   

   Závěr: Loxodroma mezi místy A a B je delší než ortodroma o 1559 km.