12        Tvar,
rozměry a hmotnost Země
12.1______Historické určováni tvaru a rozměrů Země_____________
V části 1.3 byl popsán vývoj názorů na tvar Země až po myšlenku kulatosti Země. Po jejím přijeti vyvstala otázka určení velikosti Země. První historicky doložené měření velikosti Země je ze 3. století př. n. 1. od Eratosthénaz Kyrény. Jeho úhlová »etoda měření je založena na stanoveni vzdálenosti s dvou míst na stejném poledníku, které odpovídá na zemské kouli středový úhel a (obr. 12.1). Obvod Země o (přesněji obvod kruhu o poloměru Země r£ lze pak stanovit ze vztahu
_£_=«, odkud 0- ±™Ĺ.                                („.y
o         360°                               a                                                 v      ;
12.1   Měření velikosti Země  - princip Eratosthénova měření (A — Alexandria, S - Syéné)
242
Eratosthenes si k určení obvodu Země zvolil Syéné (dnešní Asuán — <p «■ 24°06' s. š., X. = 32°51' v. d.) a Alexandrii («p = 31°09' s. š., A = 29°53' v. d.), o nichž předpokládal, že leží na stejném poledníku, Syéné i na obratníku Raka. V Syéné v den letního slunovratu dopadaly sluneční paprsky v pravé poledne na dno jedné studny, tj. zenitová vzdálenost Slunce byla nulová. V téže době změřil pomocí skafé zenitovou vzdálenost Slunce v Alexandrii (a = 7,2°). Vzdálenost Alexandrie—Syéné byla odhadnuta na 5000 stadií. Eratosthenes vypočítal hodnotu zemského obvodu o = 250 000 stadií.
Při hodnocení výsledků tohoto a dalších měření působí značné potíže neznalost hodnoty použitého stadia. Stadion byla délková jednotka rovná 600 řeckým footům. Protože však byly používány footy různé délky (od 0,264 do 0,354 m), dává přepočet Eratosthénova měření Široké spektrum výsledků (39 650-53 150 km).
Úhlovou metodu měření použil pro stanovení obvodu Země také Poseidonius (135 —50 př. n.
1.).
Další měření provedli až Arabové r. 827 v blízkosti Bagdádu, kde naměřili délku 1° z. š. v rozmezí 111,722-113,330 km.
Autorem prvního novodobého stupňového měření v Evropě byl r. 1525 francouzský lékař a matematik J. Fernbl. Měření prováděl na pařížském poledníku, kde stanovil místo ležící o 1° severně od Paříže. Vzdálenost obou míst určil z počtu otáček kola vozu (111,286 km).
Již v této době však bylo zřejmé, že přímé měření vzdáleností na zemském povrchu je příčinou mnoha chyb. Začíná se uplatňovat nová metoda měření - triangulace, poprvé použitá nizozemským matematikem a fyzikem W. Snelliem (1591—1626). Princip metody triangulace spočívá v tom, že vzdálenost dvou bodů není měřena přímo, ale pomocí sítě trojúhelníků,
proložených mezi oba body. Pro měření vzdálenosti bodů 0,02 se vybere několik bodů A, B.....
G tak, aby jejich vzdálenost byla kolem 30-40 km a z každého bodu byly vidět dva další (obr. 12.2). Jedna strana trojúhelníku, kterou lze přímo změřit, se volí jako základna a provede se měření všech úhlů v trojúhelnících. Je-li např. b <= OtA změřená základna, lze další strany trojúhelníku BO, a AB stanovit pomocí sinové věty:
OiA     =      AB      =     BO!                                                       (12 2)
sin < B       sin < Oi       sin < A
Zmčříme-li dále úhly sevřené spojnicí Oi02 a stranami OxA, AB, BC,..., G02, lze snadno vypočítat postupně úseky OtA', A'B', B'C',..., G'02, jejichž součet dává hledanou vzdálenost Oi02. Např. pro A'B' platí:
A'B'«AB cos a                                                                              (12.3)
a analogicky pro ostatní úseky. Body, tvořené vrcholy soustavy trojúhelníků, se nazývají trigonometrické body. Ty pak vytvářejí trigonometrickou nit.
V r. 1669 Francouzi provedli nová měření mezi Paříží a Amiensem a v následujících letech na pařížském poledníku protaženém přes celou Francii. Přitom bylo zjištěno, že délka 1° z. š. měřená v různých částech poledníku není stejná. To vedlo k názoru o zploštění Země v polárních oblastech. K rotačnímu elipsoidu jako tvaru Země dospěl r. 16861. Newton úvahami o působení odstředivé a gravitační síly a z výsledků pozorování ostatních planet sluneční soustavy. Proti pojetí Newtona (hlavní poloosa a je větší než vedlejší poloosa b, tj. Země je zploštěná v oblasti pólů) stál opačný názor D. a J- Cassiniových (b > a, tj. Země je zploštěná v oblasti rovníku). Měření v Peru (1735-1743), kde byla zjištěna hodnota 1° z. š. 110,6 km, a v Laponskú (1736-1737) - hodnota 111,5 km - potvrdilo představu rotačního elipsoidu se zploštěním v oblasti pólů. Z dalších stupňových měření je třeba uvést měření z r. 1792, které bylo provedeno na pařížském poledníku (prodlouženém až do Barcelony), z něhož vzešla nová délková jednotka metr, určený jako jedna desetimilióntina poledníkového kvadrantu Země. Ve Francii byl metr uznán za úřední jednotku r. 1799, v Rakousku-Uhersku až r. 1876.
243
12.2   Princip měření vzdálenosti metódou triangulace (popis v textu)
Stupňová měření byla konána s různými úspěchy i jinde. Postupně se však ukazovalo, že pro zpřesnění poznatků o tvaru a velikosti Země nestačí a byla doplněna gravimetrickými měřeními (podrobnou historii uvádí např. J. Vykuto., 1982). V posledních třech desetiletích přispěly výraznou měrou k rozšíření těchto poznatků umělé družice Země.
12.2
Družicová geodézie
Vypuštění první umělé družice Země, sovětského Sputniku 1, dne 4. 10. 1957 zahájilo novou epochu ve výzkumu vesmíru, ale i Země. Postupně se zformovala tzv. družicová (kosmická) geodézie, která podle M. Bursi (1967) „řeší problémy a úlohy základní (vyšší) geodézie z pozemských měření poloh těles v blízkém kosmickém prostoru". Těmito tělesy jsou nejčastěji umělé družice Země. Pro potřeby družicové geodézie jsou využívány tzv. geodetické družice.
244
12.3 Družice S, geocentrum (hmotný střed Země) T, topocentrum (pozemská pozorovací stanice) P, geocentrický průvodič družice r a stanice R, topocentrický průvodič družice p (J. KlokoCnIk, 1978)
Při pozorování družice ze Země se uplatňují následující druhy měření v optickém nebo radiovém obora spektra (J. Klokocník, 1978):
a)  fotografováni speciálními družicovými komorami (určuje se směr k družici, tj. směr topocentrického průvodiče o — obr. 12.3, neboli určité topocentrické souřadnice družice — např. rektascenze a deklinace)
b)  sledování laserovými dáutoměry (měří se čas od vyslání laserového impulsu do jeho návratu po odrazu od cue, z něhož se vypočte topocentrická vzdálenost družice lol)
c)  měření dopplerovského posunu signáhi vysílaného z družice (ze změny frekvencí vysílací stanice na družici se určuje topocentrická nyhlost g; směr a vzdálenost lze s nižší přesností určit radarem)
d)  radiová měření (mohou určit g, popř. IqI, jsou ale méně přesná)
e)  interferometrická měření (měří se podobně jako fotografickými komorami dvě úhlové veličiny).
Naměřené veličiny se určitými způsoby dále filtrují a opravují o řadu rušivých vlivů do standardní dále použitelné podoby (tzv. redukce). Dnešní laserová a dopplerovská měření dovolují stanovit topocentrický průvodič s decimetrovými chybami a polohu družice na dráze a geocentrické souřadnice pozemských pozorovacích stanic s chybou do deseti metrů.
Vlastní pohyb družice v určitém referenčním souřadnicovém systému je popsán pohybovými rovnicemi, což jsou diferenciální rovnice 2. řádu. Jejich řešením se získá právě šest konstant — dráhových elementů, analogických'např. elementům uvedeným v části 3.2.3: a — hlavní poloosa dráhové elipsy, e — výstřednost dráhy, Q — délka výstupného uzlu, to — argument perigea, tj. vzdálenost perigea (přízemí) P od výstupného uzlu, i — sklon dráhy družice k rovníku, T — Čas průchodu družice perigeem. Vlivem gravitačních a negravitačních poruch dochází ke změnám dráhových elementů. Gravitační poruchy dráhy jsou způsobeny především odlišností tvaru Země od koule a nehomogenním rozložením hmot v zemském tělese (např. pólové zploštění Země zapříčiňuje rotaci uzlové přímky rychlostí až 360° za měsíc). Poruchy ve dráze vyvolávají také přitažlivé sfly Slunce a Měsíce (tzv. lunisolární poruchy). Z negravitačních poruch se u blízkých družic velmi výrazně projevuje brždění v atmosféře. Odpor atmosféry dlouhodobě
245
12.4   Dva způsoby určení neznámých souřadnic pozemského bodu na základě pozorování poloh umělé družice Země - přímá geometrická metoda (J. Mietelski, 1979)
zmenšuje hlavní poloosu a excentricitu dráhy, takže družice se dostává blíže k zemskému povrchu. Proces smršťování dráhy se urychluje až dojde k zániku družice v hustých vrstvách atmosféry. Vedle odporu atmosféry se uplatňuje i tlakový vliv slunečního záření.
Existují dva záktartní přistány družicové geodézie: geometrický a dynamický. V prvním případě lze z přímého pozorováni družice z pozemních starie určit souřadnice neznámého bodu. Nejpřesnější výsledky (s chybou do 10 m) dává podle J. Mietelskěho (1979) přímá geometrická metoda, kdy se pozoruji tři polohy družice PSI— PS3 ze čtyř pozemních stanic, z nichž pro K1-K3 jsou jejich souřadnice známy (obr. 12.4a). Polohy družice PSI a PS2 se měří v několikaminutových odstupech, PS3 při následujícím obletu družice. Souřadnice neznámého bodu U se urči řešením vzniklých trojúhelníků. Větší chyba (desítky metrů) vzniká v případě, kdy se družice v bodě U pozoruje o určitý časový úsek později než v bodech Kl -K3, pro který se vypočítají souřadnice družice na základě známých elementů její dráhy (obr. 12.4b). K měření je třeba rovněž využít dva následující přelety družice. Na principech přímé geometrické metody je založena drážková navigace. Pozemní stanice pozorující družici určují její souřadnice a dráhové elementy. Každá lod pozorující družici pak dostává radiovou cestou informace o souřadnicích družice v okamžiku pozorování, což umožňuje výpočet polohy lodi. Obr. 12.S vyjadřuje schéma
246
12.S   Schéma činnosti družicového navigačního systému NNSS (J. Mietelski, 1979)
činnosti amerického navigačního systému NNSS (Navy Navigation Satellite System), využívaného od r. 1967 pro civilní účely, který umožňuje zjistit polohu lodi s přesností 200-2000 m.
Již v minulém století byl vysloven požadavek na vytvoření jednotného geodetického systémn pro celou Zemi, neboť základní astronomicko-geodetické sítě jednotlivých států nebo skupin států mají různou přesnost, polohu a orientaci na odlišných referenčních elipsoidech, jejichž středy nejsou totožné s hmotným středem Země. Ovšem teprve s pomocí družicové geodézie lze vytvořit na Zemi trojúhelníkovou síť o stranách dlouhých i několik tisíc kilometrů a určit prostorové pravoúhlé souřadnice bodů takové sítě. Tato síť pozemních družicových stanic se obvykle označuje jako síť „nultého" řada, která se dále zhusťuje drážkovými sítěmi 1. a 2. řádu na jednotlivých kontinentech. Na body družicové sítě se pak připojují trigonometrické sftč jednotlivých států.
V případě dynamického přístupu je bezpodmínečně nutná znalost dráhy družice, tj. parametrů definujících v daném okamžiku jednoznačně polohu a rychlost družice v prostoru. Hlavním cflem dynamické družicové geodézie je pak určení konstant (parametra) gravitačního pole Země, jejich dalií zpřesňování a určení geocentrických souřadnic pozemních pozorovacích stanic v jednotném celosvětovém souřadném systému. Zpřesnění popisu gravitačního pole Země s řádově centimetrovou přesností v určení geocentrických souřadnic by umožnilo např. sledovat pohyby zemské kůry a v ohrožených oblastech přispívat k předvídání zemětřesení, zpřesnit geofyzikální modely vnitřní stavby Země, provádět různé oceánografické studie ä detailně studovat slapové jevy (J. Klokočník, 1978).
Pohyb hmotného bodn (drežke) v gravitačním poli nějakého tělesa bude ideáhu kepleroTská dráha za předpokladu, že ústřední těleso je homogenní koulí bez atmosféry a bez působení jiného (tzv. třetího) tělesa. Jakékoliv nepravidelnosti v rozložení hmoty a ve tvaru tohoto tělesa však způsobí poruchy v uvedené dráze. Gravitační pole centrálního tělesa v případě homogenní koule je velmi jednoduché a závisí jen na vzdálenosti středu tělesa. Jakmile však je hmota v kouli
247
nerovnoměrně rozložena nebo těleso není kulově symetrické, závisí pak gravitační potenciál i na směru, tj. v případě Země i na zeměpisné šířce a délce. Gravitační potenciál V se pak dá vyjádřit v podobě rozvoje do řady sférických (kalových) funkcí:
GM f           °°    °°      /   R  \" __                        __                   __             •»
V - — (l + X Z   [—)  (C™ cos mX + s« sin mX) P"»> sin *>} .         (12.4)
n=0 m—O
kde GM je geocentrická gravitační konstanta;
r, q>, A jsou postupně velikost geocentrického průvodiče družice, jeho geocentrická šířka a délka;
R je délkový faktor (hlavní poloosa referenčního elipsoidu), vyjádřený ve stejných jednotkách jako r;
n, m jsou celá čísla označující stupeň a řád dále uvedených funkcí a koeficientů (přitom rn^ri); Ppn cos mX ( Pnm sin mX) jsou sférické neboli Laplaceovy harmonické funkce stopne n; P„o jsou sférické funkce zonální (zonální harmonické) neboli Legendreovy polynomy (funkce) stopne n;
Pm jsou sférické funkce tesserámí (tesserámí harmonické) neboli Legendreovy funkce přidružené (asociované) stopne n a řádu m [pro n = m se někdy nazývají sektorámí (sektorové)];
Cmv Sm je nejčastější označení dynamických (Stokesových) konstant neboli tzv. harmonických koeficientů. Ve vzorci (12.4) to jsou bezrozměrná čísla. Pro m = 0 se nazývají zonální, pro m =# 0 tesserámf a pro n= m sektorové, analogicky podle funkcí, u kterých stojí.
Pruh u symbolů značí, že jde o veličiny určitým způsobem normované. Harmonické koeficienty charakterizují dynamické vlastnosti tělesa (byly by číselně určeny, kdyby bylo známo rozložení veškeré hmoty v tělese) a jeho vnější gravitační pole.
Význam koeficientů v případě gravitačního pole Země lze podle V. Vanýska (1980) vyložit následovně. Za předpokladu, že zonální koeficient Cji0# 0, kdežto ostatní koeficienty jsou nulové, popisuje vztah pro gravitační potenciál gravitační pole rotačního elipsoidu. Cy, je tzv. dynamické zploštění tohoto elipsoidu, které je ovšem úměrné zploštění geometrickému a je mírou zploštění planety na pólech. Obdobně koeficient C^ vyjadřuje zploštění rovníku. To znamená, že pro C^pt 0 a C^^ý1 0 při ostatních nulových koeficientech je gravitačním potenciálem popsáno pole trojoséno elipsoidu. Ostatní koeficienty pak postihují ájnjší nepravidelnosti reálného tělesa, přičemž tesserámí a sektorové harmonické koeficienty definují strukturu gravitačního pole v závislosti na zeměpisné šířce a délce současně a zonální pouze v závislosti na zeměpisné šířce. Geometrickou představu o významu harmonických koeficientů přibližuje obr. 12.6. Koeficienty lze určit právě z pohybu umělých družic Země (před jejich použitím byl prakticky určen s menší přesností pouze koeficient Q,0). Průkopníkem v určování tvaru Země pomocí družic byl československý astronom E. Buchar (1901—1979), který poprvé z pohybů prvních družic nalezl zploštění Země velice blízké dnešním nejpřesnějším hodnotám. Soubor harmonických koeficientů a souřadnic stanic vytváří tzv. „model gravitačního pole". Nejvýznamnější modely popisuje např. J. Klokočník (1978). Ukazuje se, že nejmodernější řešení rovnice (12.4) určená kombinací družicových a tíhových dat jsou asi do n = m = 30. Tím je průběh plochy geoidu určen s řádově metrovou přesností a geocentrické souřadmce stanic asi na ±10 m.
Studiem změn dráhových elementů umělých družic a kosmických sond byla v posledních letech „zmapována" gravitační pole rady těles sluneční soustavy a vypočteny jejich další mechanické parametry. Zejména byly odvozeny soubory parametrů určujících vnější gravitační pole a tvar vnějších hladinových ploch Země, Marsu, Měsíce, Venuše, Merkura, Jupitera a Saturna. Byly rovněž započaty práce na interpretaci těchto polí a rozpracovány modely popisující hmotnostní strukturu Měsíce a planet zemského typu (M. Bursa, 1984).
248
12.6   Příklady geometrické interpretace harmonických koeficientů (J. Klokočník, 1978)
12.3______Způsoby aproximace tvaru Země
Skutečný zemský povrch je v důsledku dlouhého vývoje naší planety velmi členitý, a to jak ve vertikálním, tak i v horizontálním směru. Horizontálně je zemský povrch členěn na kontinenty (pevniny) a oceány (tab. 12.1). Z celkové plochy Země připadá na oceány 70,8 %, na pevninu 29,2 %. Na severní polokouli činí podíl plochy pevniny 39 %, na jižní pouze 19 %. Toto nerovnoměrné rozložení pevnin a oceánů se výrazně projevuje ve fyzickogeografických podmínkách obou polokoulí. Průměrná výška pevniny je 875 m, přičemž nejvýše sahá Ču-mu-lang-ma do výšky 8848 m. Průměrná hloubka oceánů dosahuje 3704 m, přičemž největší hloubka změřená v Mariánském přikopu činila 11 034 m.
Vedle toho podléhá zemský povrch neustálým změnám (např. slapové působení, eroze). Na takovéto neustálené a složité ploše je prakticky nemožné vyjádřit stálou, přesnou polohu zvoleného bodu. Proto musíme tvar zemského tělesa idealizovat a jeho plochu přesně analyticky vyjádřit. Zemské těleso můžeme nahradit geoidem, rotačním elipsoidem, trojosým elipsoidem a koulí.
249
Tabulka 12.1 Základní charakteristiky kontinentů a oceánů lúdaje podle Mirovoj vodnyj balans i vod-nyje resursi Žemli, 1974)
Čísla v závorkách udávají percentuální vyjádření, x — údaj neuveden
Kontinent
Plocha    [106 km2]
Prüm, výška [m]
Max. výška [m]
Min. výška
M
Afrika	30,1	(20,20)	650	5 895	-150
Antarktida	14,0	(9,40)	2 040	5 140	X
Asie	43,5	(29,19)	950	8 848	-392
Austrálie	8,9	(5,97)	350	5 029	-12
Evropa	10,5	(7,05)	300	5 642	-28
Jižní Amerika	17,8	(11,95)	580	7 014	-35
Severní Amerika	24,2	(16,24)	700	6 193	-85
Pevnina celkem	149,0       100,00            875		8 848	;             -392
				
Oceán	Plocha   [106km2]	Prům. hloub, [m]	Máx. hloub. Im]	Objem [106 km3]
Atlantský Indický Severní ledový Tichý	91,7     (25,38) 76,2     (21,09) 14,7       (4,07) 178,7     (49,46)	3 602 3 736 1 131 3 957	9 219 7 450 5 220 11034	330,1     (24,66) 284,6    (21,26) 16,7      (1,25) 707,1     (52,83)
Oceány celkem	361,3   (100,00)	3 704	11 034	1338,5   (100,00)
12.3.1
ZEME JAKO GEOID
Kdyby Země byla v tekutém stavu, pak by pro určení jejího tvaru bylo postačující vyjádřeni vnějšího potenciálu tíhové sfly (tj. součtu potenciálů gravitační a odstředivé síly). Rovinný povrch Země by bylo možné vyjádřit rovnicí:
Vt = Vzo,                                                                                                   (12.5)
kde Vzo je hodnota vnějšího tíhového potenciálu na povrchu naší planety. Při tomto určení tvar Země závisí také na takových fyzikálních parametrech, jako je rozdělení hmot uvnitř Země a úhlová rychlost rotace. Ačkoli se Země nenachází v hydrostatické rovnováze, určuje se rovnicí (12.5) tvar Země, nazývaný geoid (pojem zaveden J. B. Listtngem r. 1872).
Geoid lze tedy tradičně definovat jako těleso, omezené vzhledem k atmosféře střední klidnou hladinou oceánů a moří, probíhající myslené i pod kontinenty nebo jako ekvipotendámí plochu, nejtěsněji přiléhající ke střední klidné hladině oceánů a moří. Střední klidná hladina oceánů a moří je hladina nezvlněná větrem, mořskými proudy, slapovými jevy, působením tlaku atd. Podle J. Vykutoa (1982) ovšem střední hladiny světových moří nevytvářejí stejnou hladinovou plochu, tj. geoid je třeba definovat jako hladinovou plochu procházející zvoleným nulovým výškovým bodem. Plocha geoidu jako plocha ekvipotenciální je tedy v každém bodě kohná na směr tíhové síry (tížnice). Protože rozložení hmot o různé hustotě v zemské kůře je nepravidelné (např. usazeniny s větší hustotou vychylují směr tížnice), je tvar geoidu dosti složitý (plocha geoidu je mírně zvlněná, bez hran a zlomů). Průběh oceánské části geoidu (až na působení slapů, větru, mořských proudů a dalších drobných efektů) umožňuje s velkou přesností a detailizaci určit metoda družicové atthnetrie. Z výškomeru (altimetru) na palubě družice (radar nebo laserový dálkoměr) se vysílá k povrchu Země signál a z tranzitního času se zjistí výška družice nad měřeným místem. Přitom je třeba současně sledovat dráhu družice a určit její momentální geocentrický průvodič.
250
«í
h)
[m] 300
no
100
so i
6378 000
[mšl] 9,7« 080
OTO 080 090 MO 030 020 010
9.78000 990 980 970
9.77980
60       90130     180      180160190      90      60       30
I___________1 V.O.__________I           I 2-0-
											
-			jŕ\	\li\					ŕíR		
-**    1	kí1		Ír	\J\					i/		
■\	ti				\	/	\		'/rw		k
m					H	/	\	A	\		\jr-
	\J				i	J	\	i\	f2		
■  \							v.	i			
>>											
■											
■											
"											
											
90*vd.
180*
90Vd
12.7 Průběh ekvipotendálni hladinové plochy (a) a hodnot tíhového zrychlení (b) podél zemského rovníku (podle M. Burši, 1971, 1972). Průběh ekvipotendálni hladinové plochy v podstatě vyjadřuje, v jaké vzdálenosti od středu Země lze naměřit stejnou hodnotu tíhové sfly. V grafu změn hodnot tíhového zrychlení jsou vyneseny údaje zjištěné přímým měřením pomod gravimetrie (1) a údaje odvozené z pohybu umělých družic Země (2). Díky jim se podařilo objevit výraznou tíhovou anomálii v místě A = 90° v. d. Posun křivek 1 a 2 je způsoben chybou zemského tíhového postupimského normálu (světový základní tíhový bod je Postupim -<p= 52°22,86', X = 13°4,06', H = 87 m, kde z kyvadlových měření v letech 1898-1904 byla určena hodnota tíhového zrychlení g = 9,812 740 m . s"2 ± 30 um . s"2; měření tíže v dalších bodech na Zemi ukázalo, že správnější hodnota g v Posrupimi je asi o 140 um . s~2 menší, tj. g = 9,812 600 m . s""2)
Průběh ekvipotendálni hladinové plochy a hodnot tíhové síly podél zemského rovníku ukazuje obr. 12.7a, b.
251
Kdyby celé zemské těleso bylo složeno z homogenní tvárlivé hmoty, dosáhla by Země tvaru pravidelného rotačního tělesa zploštělého na pólech — sféroidu, který se jen málo liší od geoidu a nemá zvlněnou plochu. Steroid tedy značí rovnoměrně rotující hladinové plochy co do hmoty ideálně hydrostaticky uspořádané Země nevystavené cizí gravitaci, jejíž střed leží v těžišti planety Země a má s ní stejnou hmotnost a stejnou úhlovou rychlost rotace. Hladinová plocha totožná s povrchem ideální Země je normami sféroid (F. Kuska, 1974).
123.2              ZEMĚ JAKO ROTAČNÍ ELIPSOID
Pro různé vědecké a technické cíle, na určování přesné polohy bodů ve vhodné souřadnicové soustavě a vzájemných vzdáleností zvolených bodů, na řešení rozličných geodetických a kartografických zobrazovacích problémů nejsou vhodné tak složité plochy jako jsou plochy geoidu a sféroidu. Protože rotační elipsoid vhodných rozměrů se jen málo liší od geoidu, volí se v geodézii a kartografii pro geometrické vyjádření uvedených vztahů rotační elipsoid.
Rotační elipsoid je charakterizován svojí průřezovou elipsou (s hlavní poloosou a, vedlejší b), která má v soustavě rovinných pravoúhlých souřadnic rovnici:
ŕ          y2
(12.5) ar          b
Rotací této elipsy kolem vedlejší osy vznikne rotační elipsoid, jehož rovnice v soustavě pravoúhlých prostorových souřadnic je dána vztahem:
x2+y2
z
í   ■„>-'•                                                                     <12">
kde x, y, z jsou osy pravoúhlé soustavy souřadnic v prostoru, x, y leží v rovině rovníku, zleží v ose rotace.
Umístíme-li rotační elipsoid v geoidu tak, že jeho geometrický střed ztotožníme s těžištěm geoidu a vedlejší osu a rovinu rovníku s myšlenou osou zemské rotace a rovinou rovníku geoidu, dostaneme tzv. zemský elipsoid. Takový rotační elipsoid, který se celý nebo jenom jeho část dobře přimyká ke geoidu, se nazývá referenční elipsoid. Jeho plocha je referenční plocha. Referenční elipsoid nemusí být vzhledem ke geoidu orientován výše popsaným způsobem, gkaždém případě však jeho vedlejší osa musí být rovnoběžná« osou zemské rotace. Zvolený bod, v němž volíme dotyk elipsoidu s geoidem, se nazývá referenční neboli základní bod (normála elipsoidu je v něm totožná s tížnicí).
Velikost a tvar referenčního elipsoidu je vždy určen dvěma ze čtyř parametrů: numerickou výstředností e (pro geodetické účely se udává e2), zploštěním i, hlavní poloosou a, vedlejší poloosou b. Jeden z parametrů musí vždy určovat a nebo b. Hodnota i se vypočítá ze vztahu:
i = -?—*- .                                                                                (12.7)
a
c2 se vypočte ze vztahu (3.1). Ze vztahů (3.1) a (12.7) lze snadno odvodit vztahy pro výpočet a, b.
Prakticky až do začátku 20. století se parametry zemského elipsoidu určovaly obloukovou (geometrickou) metodou z geodetických sítí, od r. 1910 plošnou metodou z astronomicko-geode-tických sítí1), od r. 1936 se využívá také údajů gravimetrických a v poslední době i měření
l) V geodetické síti jsou kromě geodetických veličin (úhly, délky) astronomicky určeny pouze souřadnice výchozího (základního, referenčního) bodu a azimut jedné strany z tohoto bodu na sousední bod. Z výchozího bodu se odvozují souřadnice všech bodů trigonometrické sítě a azimuty všech stran. Astronomicko-geodetic-ká síť je pak taková trigonometrická síť, kde jsou astronomicky určeny souřadnice a azimuty vybraných bodů (tzv. Laplaceovy body).
252
umělých družk Země (blíže J. Vykuttl, 1982). Mezi nejznámější vypočtené referenční elipsoidy patří (tab. 12.2):
a)  Bessetův elipsoid
Byl určen F. W. Besselem v r. 1841 na základě většího počtu poledníkových oblouků stanovených z 10 různých stupňových měření (hlavně v evropské oblasti). Byl zaveden pro geodetické a kartografické výpočty ve všech státech střední Evropy i v některých dalších zemích (např. v SSSR dor. 1942). U nás byl použit ještě po r. 1918 pro systém JTSK (Jednotná trigonometrická síf katastrální), takže se vlastně v civilní zeměměřičské službě používá dosud.
b)  Hayfordův elipsoid
Byl odvozen r. 1909 J. F. Hayfordem plošnou metodou z astronomicko-geodetické sítě na území USA. Mezinárodní asociace geodetická (IAG) na Valném shromáždění Mezinárodní unie geodetické a geofyzikální (IUGG) v r. 1924 v Madridu prohlásila tento elipsoid za mezinárodní a doporučila jej pro geodetické a kartografické práce všem členským státům. ČSR na tento elipsoid, přijatý řadou zemí, ale nevyhovující plně pro střední Evropu, nepřistoupila.
c)  Knsovského enpsoid
Parametry elipsoidu byly určeny z astronomicko-geodetických sítí SSSR, západní Evropy a USA. Poprvé v historii určování rozměrů Země byla využita měření gravimetrická. K určení nového elipsoidu bylo přikročeno proto, že pro území SSSR není vhodný ani jeden z předchozích dvou elipsoidů (např. v Chabarovsku byl Besselův elipsoid již 370 m pod geoidem). F. N. Krasovsku určil předběžné parametry elipsoidu již v r. 1936 (a = 6 378 210 m, i = 1 : 298,6). Elipsoid po něm pojmenovaný má však základní parametry totožné s elipsoidem trojosým, stanoveným později A. A. Izotovem. Tento elipsoid byl po r. 1950 zaveden v socialistických zemích (u nás v r. 1952 při zahájení nového topografického mapování v měřítku 1: 25 000 pro souřadnicový systém 1952 a v r. 1957 pro vytvoření souřadnicového systému S-42).
d)  Elipsoid IAG 1967 (Geodetický referenční systém 1967)
Na XIV. Valném shromáždění IUGG v r. 1967 ve Švýcarsku byly doporučeny konvenční konstanty pro „Geodetický referenční systém 1967": rovníkový poloměr Země a = 6 378 160 m, geocentrická gravitační konstanta Země GMZ = 398 603 .109m3. s~2, dynamické zploštění Země Cy, = 10 827 .10"7.
Parametry vybraných referenčních elipsoidů                                     Tabulka 12.2
Elipsoid	a[m]	b[m]		i	délka rovníku [m]
Besselův Hayfordův Krasovského elipsoid IAG 1967	6 377 397 6 378 388 6 378 245 6 378 160	6 356 079 6 356 912 6 356 863 6 356 760	1 1 1 1	: 299,15 : 297,0 : 298,3 : 298,26	40 070 368 40 076 594 40 075 695 40 054 845
Hodnota ä byla určena astronomicko-geodetickými metodami z rozsáhlých triangulací, GMZ pomocí 3. Keplerova zákona z měřených vzdáleností k Měsíci a vzdáleným umělým družicím Země a hodnota Qq byla velmi přesně vypočtena z poruch drah blízkých umělých družic Země. Uvedené parametry elipsoidu IAG 1967 pak byly přijaty na XV. Generálním shromáždění IUGG v r. 1971 v Moskvě.
Protože v posledních letech výrazně vzrostl rozsah zejména družicových a gravimetrických měření, bylo XVII. Generálním shromážděním IUGG v r. 1979 (Canberra v Austrálii) doporučeno přijetí „referenčního systému 1980" (a = 6 378 137 m, i = 1 : 298,257).
253
123.3               ZEMĚ JAKO TROJOSÝ ELIPSOID
Myšlenkou vyjádření zemského tělesa v podobě trojosého elipsoidu se zabýval již r. 1859 F. F. Schubert. Příslušné výpočty však byly provedeny až r. 1928 W. Heiskanenem. V soustavě pravoúhlých prostorových souřadnice je trojosý elipsoid vyjádřen rovnicí:
x2          v2          z1
-   +-TT + ^T- =  1 .                                                        (12.8)
a
2             U2
b2     ^
kde a je hlavní a b vedlejší poloosa rovníkové elipsy, a hlavní a c vedlejší poloosa poledníkové elipsy. U trojosého elipsoidu je tak třeba vedle parametrů a, b, c, uvažovat zvlášť rovníkové zploštění iR a pólové zploštění ip, která se stanoví ze vztahů:
a-b        .          a- c                                                                  /,-, n\
iR= --------------,   íp=-------------- .                                                                   (12.9)
a                          a
Přestože trojosý elipsoid lépe vystihuje tvar geoidu, dává se v geodézii pro jednoduchost výpočtů
přednost elipsoidu rotačnímu, aniž tím vzniká podstatnější chyba.
123.4               ZEMĚ JAKO KOULE
V některých případech (např. pro odvození map malých měřítek, pro přibližné a rychlé výpočty některých prvků na zemském tělese) se bez větší újmy na přesnosti nahrazuje referenční elipsoid nebo jeho část koulí s vhodným poloměrem. Např. pro účely kartografie se poloměr koule r{ vypočte jako průměrná hodnoto tří os rotačního elipsoidu:
rx = -~ (a + a + b) .                                                           (12.10)
Vedle toho lze také poloměr referenční koule stanovit z podmínky, že její povrch je stejný jako povrch referenčního eUpsoidn (r2) nebo že její objem je stejný jako objem referenčního elipsoidu (r3). Potom např. pro referenční koule Krasovského vychází: rx = 6 371 118 m, r2 = 6 371116 m, r3 = 6 371 110 m. Koule tak představuje další aproximaci tvaru Země pro případ, že by Země byla homogenní a nerotovala.
123.5                POROVNÁNÍ GEOIDU S ELIPSOIDY
Protože geoid do jisté míry kopíruje skutečný tvar Země, je v oblastech pevnin nad elipsoidem, v oblastech oceánů klesá pod něj (obr. 12.8a). Výška geoidní plochy nad nebo pod elipsoidem závisí na tížukové odchylce, tj. na úhlu, který svírá v daném bodě normála elipsoidu se směrem tíhové síly (např. nejvyšší hodnoty odchylek mezi 10—50' připadají na velehorské oblasti). Obecně jsou nejvyšší odchylky zaznamenány v místech, kde jsou značné rozdíly v hustotě mořské vody a pevninských bloků.
Mapy výšek geoidu nad elipsoidem (obr. 12.8b) však tento závěr zcela nepotvrzují. Podle V. N. Žarkova a V. P. Trubicyna (1980) z toho plyne, že kontinentální oblasti jsou izostaticky zkompenzovány a odchylky jsou vyvolány fluktuacemi hustoty v zemské kůře a plášti.
Při nahrazování plochy geoidu elipsoidem je třeba klást určité dodatečné podmínky, např. podmínku minima součtu čtverců odchylek geoidu od trojosého elipsoidu, znázorněných na obr. 12.8b. Úloha se řeší analyticky a pro trojosý zemský elipsoid vychází (M. Bursa, 1979):
a = 6 378 173 m, iÄ = 1 : 94 000,
ip=l : 297,787, Afl= 14,8°z.d-,                                                               (12.11)
kde A„ značí zeměpisnou délku poledníku s největší poloosou a. Odpovídající zemský elipsoid rotační má parametry:
a = 6 378 139 m, i= 1 : 298,257.                                                            (12.12)
Parametry (12.11) a (12.12) charakterizují tvar zemského tělesa vcelku. Podrobnější výzkumy s využitím družic však ukázaly, že severní polokoule se tvarově značně Uší od jižní. Zatímco jižní
254
12.8 a) Vztah geoidu a elipsoidu ke skutečnému tvaru Země; b) Odchylky geoidu od trojosého elipsoidu (v m) zjištěné z pozorování pohybu umělých družic Země (podle M. Burši, 1979). Znaménko + značí výsku geoidu nad elipsoidem, znaménko - opak. Nultý poledník prochází středem mapy
polokoule má přibližně tvar trojosého elipsoidu, je severní polokoule asi třikrát více zploštělá (tj. „bočně"), ne jak by odpovídalo trojosému elipsoidu. Zato polově je více zploštělá polokoule jižní (1 : 298,0) než severní (1: 298,5), což znamená, že polární poloměr jižní polokoule je menší než polární poloměr severní polokoule.
Skutečné tvarové nepravidelnosä zemského tělesa jsou dobře patrný z řezů geoidem v rovině rovníku a v rovinách poledníků, v nichž leží osy rovníkové elipsy (obr. 12.9).
255
256
Antarktid*
12.9   Řezy geradem (podle M Bursi, 1970):
a) řez rovinou rovníku (a — hlavní poloosa rovníkové elipsy, ä — polomer koule),
b) řez poledníkovou rovinou, obsahující hlavní poloosu a rovníkové elipsy,
c) řez poledníkovou rovinou, obsahující vedlejší poloosu b rovníkové elipsy
12.4______Důsledky tvaru Země _____________________________
12.4.1              ZONÁLNÍ ROZDĚLENÍ ÚHRNŮ SLUNEČNÍHO ZÁŘENÍ NA
ZEMSKÉM POVRCHU
Protože Země je od Slunce značně vzdálena, lze předpokládat, že sluneční záření přichází k Zemi v podobě svazku rovnoběžných paprsků. Důsledkem přibližně kulového tvarn Země je pak skutečnost, že slunečním zářením je v daném okamžiku osvětlena polovina celkové plochy Země a že v jednotlivých místech zemského povrchu se liší úheL který s ním dopadající paprsky svírají. Nejvyšší úhrny slunečního záření dostávají ty části zemského povrchu, na které sluneční paprsky dopadají kolmo. Se zmenšováním úhlu mezi paprsky a povrchem klesají i úhrny slunečního záření. Důsledkem této skutečnosti spolu s oběhem Země kolem Slunce je přibližně zonální rozdělení úhrnů shraečního záření na zemském povrchn (blíže část 13.2.3.3).
257
12.4.2              PŘÍMÁ VIDITELNOST PŘEDMĚTŮ NA ZEMSKÉM POVRCHU
Přibližně kulový tvar Země omezuje teoretickou přímou viditelnost předmětů na zemském
povrchu. Předpokládejme, že pozorovatel P se nachází v určité výšce h = PM nad zemským povrchem (obr. 12.10). Tečny PB a PBX vedené z bodu P určují tzv. geodetický obzor. Úhel
12.10   Deprese obzoru (M. S. Averkuev, 1960)
a mezi matematickým obzorem a tečnou k zemskému povrchu se nazývá geodetická deprese oteoru. Kdyby neexistovala refrakce, pak by světelné paprsky byly přímkové a z bodu P by bylo vidět povrch omezený obloukem BBj. Ovšem v důsledku refrakce dopadají do oka pozorovatele světelné paprsky i ze vzdálenějších bodů, tj. krajní viditelná mez zemského povrchu se posunuje do bodů CCX. Obzor se jeví jako rozšOrený a vyzdvižený vzhledem ke geodetickému (rozšířený obzor je vidět ve směru tečny k trajektorii paprsku PC, tedy ve směru tečny t). Pozorovaná geodetická deprese obzoru d je pak menší než skutečná geodetická deprese a. Z trojúhelníku PBS lze snadno stanovit vzorce pro geodetickou depresi obzoru a a vzdálenost přímé viditelnosti
[TI/2         T                                    r        TI/2
(rz + h)2 - 7-z2J   =   \lrzh (1 + -£-)J      ,
tg a =  LJrz .                                                                               (12.13)
Jestliže zanedbáme velmi malé hodnoty h2/rz2 a hl2rz, můžeme psát:
a = (2h/rz)m,             L0 = (2rzh)m ,                                            (12.14)
kde klademe tg a = a (pro malé úhly a). V důsledku refrakce vzdálenost skutečně přímé 'viditelnosti L roste vzhledem k L0 asi o 6,5 %. Tedy např. pro A si 10 m je a = 6'5", L0 =   11,294 km,  L =   12,028 km, pro h =  1000 m je a =  60'52", L0 =   112,944 km, L = 120,285 km.
258
Hodnota pozorované deprese obzoru 6 je závislá na změně hustoty vzduchu a změně indexu lomu s výškou, t j. na teplotním zvrstvení prízemní vrstvy atmosféry. S dostatečnou přesnosti lze psát
ó2 = a2+ 2 An,                                                                               (12.15)
kde An = 0,227Aq je změna hodnoty indexu lomu mezi zemským povrchem a výškou h v závislosti na hustotě vzduchu Q. Při malých teplotních gradientech a inverzích (hustota s výškou klesá) je 6<a, tj. pozoruje se rozšíření a zdvižení obzoru. Při gradientech 3,4 °C na 100 m výšky, kdy hustota vzduchu se s výškou nemění, bude ô = a, tj. pozorování obzoru je neovlivněno refrakcí. Je-li gradient větší než 3,4 °C na 100 m výšky, tj. hustota vzduchu roste s vyšlou, je 6 > a, pozorovaný obzor je snížený a zúžený.
4
12.11    Vznik zrcadlení (M. S. Averkijev,  1960): a) průběh paprsku při horním zrcadlení, b) průběh paprsku při spodním zrcadlení
259
S refrakcí a odrazem světelných paprsků v přízemní vrstvě vzduchu, v níž se vytváří vrstvy s výraznou změnou hustoty, souvisí zrcadlení předmětů v atmosfére (fata morgana), kdy vedle skutečně pozorovaného předmětu je viditelný ještě jeho přímý nebo obrácený obraz. Pro vznik horního zrcadlení je třeba, aby v atmosféře hustota rychle klesala s výškou. Za této podmínky mohou světelné paprsky vycházející od předmětu AB dorazit do oka pozorovatele P různými cestami, takže pozorovatel vidi předmět nejen ve skutečné poloze AB, ale i ve zdánlivé A'B' (obr. 12.11a). Horní zrcadlení je typické hlavně pro polární oblasti. Naopak spodní zrcadlení vzniká ve stepních a pouštních oblastech, kde se prohřívají spodní vrstvy vzduchu, tj. hustota vzduchu s výškou roste. Světelný paprsek se zakřivuje k zemskému povrchu a pozorovatel vidí vedle skutečného předmětu jeho zrcadlový obraz (obr. 12.11b).
12.4.3              STANOVENÍ VZDÁLENOSTÍ NA ZEMI
Na způsobu přijaté aproximace tvaru Země (koule, elipsoid) závisí výpočty vzdáleností na Zemi. Při následujících úvahách se vychází z kulové Země.
Nejkratší spojnicí dvou různých bodů na referenční kouli je kratší oblouk hlavní kružnice, nazývané též ortodroma. Leží-li dvě místa A [<pA = 0, A,J a B [<Pb=0,X.b] na rovníku, redukuje se výpočet nejkratší vzdálenosti d na stanovení délky oblouku AB podle vztahu:
d=rz    ^-^   ,                                                                    (12.16)
kde rz je poloměr referenční koule a  q° =--------= 57,295 78   modul míry stupňo-
71
vé na obloukovou. Analogicky je nejkratší vzdálenost pro body A [q>A, A,J a B[q%, ÁB = kjjna stejném potedníkn dána vztahem:
d=rz  (9b - <Pa)°                                                                        (12 17)
12.12   Zemský sférický trojúhelník
260
V obecném případě lze vypočet nejkratší vzdálenosti bod« A[<pA, A^J a B[<Pb, AJ převést na řešení sférického trojnhehükn, jehož třetí bod je představován pólem Ps (obr. 12.12). Kratšímu oblouku ortodromy pak odpovídá strana c trojúhelníku ABPg, kterou lze stanovit pomod (4.15). Hlavní kružnice procházejíd body APs(BPs) jsou vlastné poledníky, takže strany trojúhelníku a, fc jsou doplňkem zeměpisné šířky bodů A, B do 90°, tedy: a = 90°- %,ft= 90°-
- q>A. Úhel y při vrcholu Ps je pak úhel sevřený oběma zmíněnými poledníky, tj. y = AX = Ab -
— AA. Po dosazení do (4.15) tedy dostaneme:
cos c = cos (90° -%) cos (90°-gs>A) + sin (90"-%) sm(9Q°-^A) cos Ak.                   (12.18)
Vypočítanou hodnotu c ve stupních převedeme na délkové jednotky a dostaneme déUm kratšího oblouku ortodromy d:
d = rz.ce/Qe.                                                                                  (12.19)
Z průběhu ortodromy je zřejmé, že se její zeměpisné souřadnice a azimut plynule mění (azhnutem se rozumí úhel sevřený ortodromou a poledníkem měřený ve směru otáčení hodinových ručiček od severu). Proto i plavba nebo let podle ortodromy vyžaduje stálé měnění kursu, takže výsledná dráha je pak složena z mnoha úseků, z nichž každý má jiný azimut. Proto se v minulosti často při volbě dráhy dávala přednost loxodromě.
Loxodroma (z řeckého loxos — šikmý a dromos — cesta) je definována jako cára na povrchu referenční koale protínající všechny poledníky v konstantním arimnta A (obr. 12.13a). Rovnid loxodromy lze odvodit z diferendálního trojúhelníku BCPS (obr. 12.13b):
<U =    rzd<P    tg/4.                                                                      (12.20)
r z cosy
Integrujeme levou stranu (12.20) v mezích k\, A? a pravou stranu v mezích q>\, y2:
jdi = tgA    J -ÍSL. x,                      Vl   cosy
A2 - A, = tgA [ n tg (-SL + 45°)"- n tg (-ÍL + 45-)]
tg(-f-+45°)
(A2 - A,)° = -f- tg A log------------------- ,                                  (12.21)
M               *(-f- + 45°)
kde M = 0,434 294 5 (In x = -i- log x) .
M
Délka d/ elementu loxodromy je:
d/= _[zdq>                                                                                  (12 22)
cosA                                                                                   v
Po integrad vztahu (12.22) mezi koncovými body loxodromy B1; B2, dostaneme délku loxodromy 7:
cosA           Q
kde y i a 9>2 jsou zeměpisné šířky bodů Bj a B2.
261
•)
b>
y»dy
12.13 Ortodroma a loxodroma: a) ortodroma a loxodroma na referenční kouli (K. Kuchař, 1979), b) k odvození vzorce pro výpočet délky loxodromy (F. Kúska, 1974)
Azimut loxodromy A lze vypočítat z rovnice (12.21). Při požadované menší přesnosti lze jak azimut, tak délku loxodromy odměřit z mapy v Mercatorově zobrazení, kde je loxodroma vyjádřena přímkou (ortodroma se jeví jako přímka na mapě s gnómonickou projekcí). Je-li A — 0°, ztotožňuje se loxodroma s poledníkem; pHA = 90° přechází loxodroma v rovnoběžku. V obecném případě má charakter sférické spirály, blížící se v nekonečně mnoha stále užších závitech k pólu, přičemž ale její délka je konečná (od daného bodu k pólu). Např. pro A = 60° je podle (12.23) její délka od rovníku až k pólu / = itrz, což je dvojnásobek nejkratší spojnice po poledníku. Ortodroma je obecně kratší než loxodroma. Pro A = 0° splývá ortodroma s loxodromou v jednom poledníku (vztah (12.23) je pak totožný se vztahem (12.17), při A = 90° je rozdíl délek obou křivek maximální. Na severní polokouli probíhá loxodroma jižně od ortodromy, na jižní polokouli je tomu naopak.
Příklad 12.1.: Vypočtěte délku ortodromy, azimut a délku loxodromy mezi Panamou (<p, = 8°45' s.S., Aj = 79°32' z.d.) a Le Havrem (ifc = 49°30' s.S., ^ = 0°6' v.d.), rz = 6 371,1 km.
Řešení: Po dosazení do (12.18) je cos c = cos 40°30' . cos 81°15' + sin 40°30'. . sin 81°15'. cos 79°38\ odkud c = 76°38' (druhé řešení rovnice c, = 283°22' pro výpočet nejkratší vzdálenosti bodů nevyhovuje). Podle (12.19) je pak délka ortodromy 8521,3 km. Azimut obou míst počítáme z poslední rovnice v (12.21), tj. po dosazení
\%A =
0,434 29.79°38'
57,295 78 (log tg 69°45' - log tg 49° 22,5 ')
= 1,647,
odkud A = 58°44'07", neboť Panama leží jižněji než Le Havre a obě místa jsou na severní polokouli, tj. azimut bude v 1. kvadrantu (znaménko tg A nerozhoduje). Délku loxodromy pak vypočteme podle (12.23), tj.
/ =
6371,1
40°45'
8730,9 km.
cos 58°44'7"       57,295 78 Loxodroma mezi Panamou a Le Havrem je tedy o 209,6 km delší než ortodroma.
262
12.4.4
12.14   K odvození vztahu mezi zeměpisnou šířkou <p a geocentrickou šířkou tfi bodu A (Ps, Pj - póly, t — tečna, n — normála) - upraveno podle F. Kusky (1974)
ŠÍŘKA GEOCENTRICKÁ A ASTRONOMICKÁ
V části 4.1.2 byla definována zeměpisná šířka daného místa pro případ zemské koule. V případě zemského elipsoidu, kterým rovněž nahrazujeme zemské těleso, nesměřuje ovšem obecně jeho normála do středu, takže zeměpisná šířka <p daného bodu A se liší od úhlu if>, který svírá spojnice středu elipsoidu a bodu A na jeho povrchu s rovinou rovníku (obr. 12.14). Úhel V potom udává tzv. geocentrickou (zemčstřednou) šířkn bodu A. Zeměpisné souřadnice q>, X. se na elipsoidu nazývají geodetickými souřadnicemi, protože z údajů získaných při triangulaci jsou odvozeny výpočtem, tj. geodeticky. Často se pro ně v této souvislosti užívá označení geodetická šířka B (odpovídá q>) a geodetická délka L (odpovídá A). Vztah mezi geocentrickou šířkou ip a zeměpisnou šířkou q> lze odvodit následujícím způsobem.
Diferencujeme nejdříve rovnici průřezové elipsy —T
a
2xáx
2vdv
= 0, odkud
ík-
y2
—- = 1, takže dostaneme: b2
dx
dy   •
Úhel q> je také při bodu A, takže z diferenciálního trojúhelníku je dx
tg<p= -
dy    '
a po dosazení (12.24)
tg   V   =   -TT
-£
Podle obr. 12.14 je tg V = y/x, tedy po dosazení do (12.26) je
„2
tg   <P
tg v-
(12.24)
(12.25) (12.26)
(12.27)
263
Z rovnice (12.27) vyjádříme tg xt> a protože e2 = ------5----, platí:
a
tg v = (1 - e2) tg ?> .                                                                  (12.28)
Na kotili splývá geocentrická šířka daného bodu s jeho šířkou zeměpisnou, t j. V = <P- V případě Krnovského referenčního elipsoidu je <p — y> největší pro zeměpisnou šířku <p = 45°, a to 11'33", pro ?> = 0° a q> = 90° je V = ?>•
Na rotačním elipsoidu roste délka 1° zeměpisné šffky (tj. vzdálenost dvou rovnoběžek) od rovníku k pólům (důsledek pólového zploštění). Např. pro Krasovského elipsoid jsou body na témže poledníku Sfl5=0°afl5=l<> vzdáleny o úsek x = 110,576 km, při q> = 44° a <p = 45° je x= 111,124 km apřiflj=89°a^= 90° je x= 111,695km.
Zeměpisnou iffka místa pozorovatele na zemském povrchu lze stanovit měřením výšky světového pólu nad obzorem (část 4.3.1). Praktická pozorování ovšem vztahujeme k rovině obzoru, který je však na skutečném zemském povrchu kolmý ke směru tíhové síly, nikoliv k normále zemského elipsoidu (obr. 12.15). Skutečně naměřená hodnota q> 'se od pravé hodnoty
12.15   Vztah mezi zeměpisnou a astronomickou šířkou
zeměpisné šffky <p liší o tížnicovou odchylku Ag>. Skutečně naměřený úhel <p' nazýváme astronosaickoB sfikoo. Zeměpisná šířka je tedy rovna rozdílu astronomické šffky q>'& tížnicové odchylky A<p:
<p = <p' - A<p.                                                                                                    (12.29)
12.5           Hmotnost Země
12.5.1              STANOVENÍ HMOTNOSTI A HUSTOTY ZEMĚ
Hmotnost Země Mz lze vyjádřit ze vztahu (8.3) ve tvaru:
A/z . -^ ,                                                                                  (12.30)
264
Položíme-li gravitační zrychlení ag rovné zemskému tíhovému zrychlení g, tedy «g = g - 9,81 m . s"2, a dosadíme-li do (12.30) také za rz = 6,371 11 .106m a G, dostaneme M z = 5,9682. 1024 kg, což přibližně odpovídá uváděné hmotnosti Země, která je Mz = 5,9742 .1024 kg (M. Bursa, 1984). Je třeba poznamenat, že vlastně dostatečně přesně známe pouze geocentrickou gravitační konstanta GMZ a jen poměrně málo přesně G nebo Mz.
Tabulka 12.3 Hmotnost Země a jejích geosfér v kg (1) a v % (2) (podle A. S. Monina, 1977)
	Země	Jádro              Plášť	Kůra            Hydrosféra
(1) (2)	5,9742 . 1024 100,0	1,92 . 1024      4,01 . 1024       4,7 . 1022          1,46 . 102' 32,2                67,0                 0,8                2,4 . 10-2	
			
	Atmosféra	Biosféra"	Fyzickogeografická sféra1'
(1) (2)	5,3 . 10'8 8,9 . 10"5	6,5 . 10'5 1,1 . ÍO"7	3,2 . 102' 5,4 . 10"2
" podle K. K. Markova et al. (1978)
Na celkové hmotnosti Země se její jednotlivé geosféry podflejí různou měrou. Z tab. 12.3 plyne, že asi 99,2 % hmotnosti Země je tvořeno hmotností pláště a jádra. Na vlastní fyzickogeografic-kou sféru pak připadá jen asi 0,054 %, přičemž poměr hmotností ji tvořících geosfér hydrosféry, atmosféry a biosféry je řádově 106 : 10* : 1.
Hmotnost Země Mz lze také stanovit na základě znalosti objemu Země Vz (v případě kulo-
4        i vého tvaru Země Vz = —— Jtrz) a její hustoty pzze vztahu
Mz = Vz qz = -i- uAqz ■                                                         (12.31)
Odtud lze vyjádřit hustota Země qz:
«—«-.                                                                       (I2J2)
Po dosazení číselných hodnot vychází pz — 5,515 . 103 kg . m~3, což koresponduje s údajem v tab. 3.1.
12.5.2              DŮSLEDKY HMOTNOSTI ZEMĚ
Hmotnost Země určuje především stupeň naši „připoutanosti" k Zemi. Předpokládejme opět kulovou, homogenní Zemi. Pro potenciální energii Ep bodu A o hmotnosti m, který je vzdálen o rA od středu Země platí:
Ep = - GmMz — + C .                                                           (12.33)
V zemském gravitačním poli se obvykle povrch Země pokládá za místo nulové potenciální energie, takže pro rA = rz je Ep = 0. Pro konstantu C pak dostaneme:
C=Gm — .                                                                              (12.34)
rz
265
Vztah (12.33) pro potenciální energii Ep lze s pomocí (12.34) vyjádřit ve tvaru:
Ep = GmMzi—---------—) = GmMz   *A ~ *Z   ■                         (12.35)
V ľz         ta i                     rArz
Pro místo nepříliš vzdálené od zemského povrchu je rA = rz, takže (12.35) lze psát ve tvaru:
Ep = GmMz —j- — magh ,                                                         (12.36)
rz
jestliže rA — rz = A. Vztah (12.36) vyjadřuje potenciální energii hmotného bodu A s hmotností m ve vzdálenosti A od zemského povrchu, když A « rza když potenciální energii vztahujeme na zemský povrch. Udělíme-li bodu A o hmotnosti m rychlost v, bude jeho kinetická energie Ek rovna:
1                2
Ek = — mv2 .                                                                          (12.37)
Kinetická a potenciální energie se obvykle zahrnují pod název „mechanická energie". Podle zákona zachování mechanické energie platí, že součet potenciální a kinetické energie hmotného bodu m v gravitačním poli hmotného bodu M je konstantní. Přitom se předpokládá, že hmotné body m a M tvoří izolovanou mechanickou soustavu, tj. že kromě gravitační sfly nepůsobí na bod m žádná vnější sfla (V. Hajko, J. Daniel-Szabó, 1980). Uvedený zákon lze v případě zemského gravitačního pole (v těsné blízkosti povrchu Země) pro různé výšky hx a A2 hmotného bodu A zapsat ve tvaru:
1              7                                     1                7
-----mv\ + maji\ = —— mvj + ma^ii .                                     (12.38)
Má-li se hmotný bod A pohybovat kolem Země po kruhové dráze ve Vzdálenosti A, musí platit, že odstředivá síla, která na něj působí, je rovna síle dostředivé, tedy:
m -JÍ- = G    mMz     ,                                                 (12.39)
rz + h          {rz + hf
kde Vj je rychlost udělená bodu A ve výšce h (dostředivá síla je rovna gravitační síle Země). Pro A = 0 platí:
mjL = GĽll£L,                                                    (12.40)
rz
odkud
S
MZ____        .._/•_.  \l/2
v? = G -^ = vz, v, = {agrzy2 •                                                 (12.41)
rz
Po dosazení ag '* 9,81 m . s~2 a rz = 6,371 11.106 m dostaneme v, = 7,91 km. s_1, což je tzv. první kosmická rychlost.
Dále předpokládejme, že chceme hmotnému bodu A udělit takovou rychlost v„, aby se nevrátil na Zemi. Jak plyne z (12.38), rychlost hmotného bodu se při pohybu od Země bude vlivem
gravitačního pole zmenšovat až na nulu v nekonečnu, tj. Ek = 0. Stejně tak pro A-----*■ °c bude
v nekonečnu Ep = 0, a tedy i Ek + Ep = 0. Proto musí být nulový i součet Ek + Ep na zemském povrchu; tedy:
odkud
1 2	-mv2,!-	-Gm	Mz	1 rz
ň	= 2G	Mz rz	= 2	Vz,
= 0,                                                       (12.42)
v„=(2Vz)1/:.                                      (12.43)
266
Po dosazení za ag a rz dostaneme v„= 11,18 km . s"1, což je tzv. druhá kosmická rychlost (hmotný bod A se pohybuje po parabolické dráze a vn je úniková rychlost z gravitačního pole Země).
Z porovnání vztahů (12.41) a (12.43) plyne vw = y/T V/. Z tohoto vztahu můžeme vypočítat i únikovou rychlost pro těleso, pohybující se ve vzdálenosti r = 1 AU od Slunce, jestliže dosadíme za V/ střední rychlost Země na oběžné dráze kolem Slunce v = 29,78 . 103 m.s-1. Dostaneme tak rychlost vni = ^/2~v = 42,12 km.s-1, což odpovídá pohybu hmotného bodu po hyperbolické dráze.
Hmotnost planety a teplota její plynné atmosféry určuje stupeň stálosti této atmosféry. Na teplotě zemské atmosféry závisí rychlost pohybu jednotlivých molekul vzduchu. Přitom počet molekul, pohybujících se určitými stejnými rychlostmi je různý. Rozdělení molekul podle rychlosti pohybu je dáno Maxvellovým rozdělením. Rychlost tepelného pohybn molekul plynu lze charakterizovat střední kvadratickou rychlostí molekul vsk:
v2sk=(v2 + v2 + ... + v2n)/n ,                                                        (12.44)
kde Vj, v2,..., v„ jsou rychlosti molekul a n jejich celkový počet (v2^ je tedy střední hodnota čtverců rychlostí molekul). Lze ukázat, že pro vsk platí:
vsk=(3kT/m)m ,                                                                         (12.45)
kde k = 1,381 . 10-23 J . K-1 je Boltzmannova konstanta, m je hmotnost molekuly a T je absolutní teplota plynu. Aby molekula nebo atom plynu měl dostatečně velkou pravděpodobnost, že unikne z gravitačního pole tělesa o hmotnosti M ze vzdálenosti r od jeho středu, musí platit:
v» Ž vrt ,                                                                                       (12.46)
kde v = (2GM/r)2 je úniková rychlost (v případě Země je v souladu s (12.43) v„ = vu). S ohledem na (12.45) lze (12.46) psát ve tvaru:
2GM/rĚ3kT/m .                                                                        (12.47)
Odtud plyne že teplota plynu T musí být stejná nebo vyšší než kritická teplota 7"«,, pro níž z (12.47) plyne:
T. =   2GMm    .                                                                           (12.48)
3kr
Dosadíme-li pro hmotnost molekuly nebo atomu relativní molekulovou hmotnost fi, lze nalézt
vztah:
r„ = 5013 ju. MIMz.rzlr   [K] .                                                   (12.49)
Pro většinu velkých planet i pro lehké plyny je T„ » 5000 K, což jsou teploty vyskytující se prakticky jen v atmosférách hvězd. Stejně tak pro Zemi vychází hodnoty r„ velmi vysoké (např. pro atomární vodík s y. = 1,008 je Tx = 5053 K). Přesto však k úniku plynu z atmosféry Země do meziplanetárního prostoru dochází. Při teplotě T«, má asi 39,2 % molekul rychlost v ^ v«, tj. odpovídající počet by při této teplotě v daném okamžiku mohl uniknout z gravitačního pole planety. K tomu však určitá molekula nebo atom potřebuje mít dostatečně dlouhou volnou dráhu, což je dráha, kterou urazí částice mezi dvěma po sobě následujícími srážkami s jinou částicí. Na povrchu Země při teplotě 273,2 K a tlaku 101 325 Pa je střední volná dráha velmi malá a počet srážek velmi vysoký. Teprve ve výškách kolem 500 km vzroste volná dráha na několik desítek km a počet srážek klesne na dvě až tři za minutu (tab. 12.4). Po srážce, při které nastává výměna energie mezi částicemi, nabývá molekula téměř vždy jiné rychlosti, přičemž srážkou získá s větší pravděpodobností menší rychlost. Nejpravděpodobnější rychlost molekul
267
Tabulka 12.4 Vybrané údaje o pohybu molekul v zemské atmosféře (V. Vanýsek, 1983)
Výška	Teplota	Počet molekul	Střední volná	Počet srážek
[m]	[K]	[m"3]	dráha [m]	[«-]
0	.. 288	2,6 . 10"	7 . 10-»	1010
105	200	9 . 10'»	1,5 . 10-'	3. 104
2 . 105	1250	8 . 10"	23	5
5. 105	1500	5 . 1013	2,6 . 104	0,036
Tabulka 12.5 Kritické hodnoty T«, střední kvadratická rychlost vJt (m. s"') a relativní počet moleknl n, (102 %) s rychlostmi v„ a vyššími pro H, H2, He a Oi v razných výskách zemské atmosféry (A — výika, T— teplota, v i, — odpovídající úniková rychlost, fi — relativní moleknlová hmotnost) (V. Vanýsek, 1983)
Vil
H (ji = 1,008) T. = 5 . 103 K
H2(m = T. = 1
2,016) 104K
He {/i = 4,003) T. = 2 . ÍO4 K
02 (m = 32) T. = 1,6 . ÍO5 K
ľ"J	i"-j	ľ" •»  j	vJt	n.	v,*	nr	Vrt	n.	Vrt	n.
0	273,2	11 180	2610	6 . ÍO"12	1845	ÍO'23	1305	ÍO"4'	461	«io-»°
105	200	11010	2233	ÍO"15	1580	ÍO"31	1116	ÍO"62	393	«io-»°
2. 105	1250	10 840	5582	0,015	3946	6 . 10"5	2791	8 . ÍO"10	986	~ió-»°
5. 105	1500	10 370	6116	0,042	4323	4,5 . 10"3	3058	2 . 10"'	1080	ÍO"59
Tabulka 12.6 Doba disipace některých plynú zemské atmosféry (v rocích) v závislosti na teplote (podle A. Ch. Chrguana, 1978)
Plyn		Teplota [K]	
	500	1000	2000
vodík hélium kyslík	2,4 . 10' 4,2 . 10" 10105	3,6 . 104 4,0 . 1013 105'	1,8 . 103 2,4 . 10' 10"
Kritická teplota T. pro (V. Vanýsek, 1983)
Tabulka 12.7 'H a u02 na povrch» některých tete» snmeční sonstavy
Těleso
'H [K]
602[K]
Slunce
Jupiter
Země
Měsíc
planetka0
kometa2*
1,53 . 10'	48,8 . 10'
1,42. ÍO5	4,5 . 106
5 . 10"	1,6 . 105
226	7 240
13	415
0,03	1,04
" r = 10s m, M = ÍO20 kg 2) r = 5 . 103 m, M = 1016 kg
268
a)
o                                  so                               100%
12.16 Schematické rozdelení relativní koncentrace N2, 02, O, He a H v zemské atmosféře (A. Ch. Chrgdan, 1978): a) při teplote tennosféry T = 650 K (což odpovídá noční teplote v dobé minima slunečních skvrn, r. 1964), b) při teplotě tennosféry T m 1600 K (což odpovídá denní teplotě v době maxima slunečních skvrn, r. 1958)
269
Vp = V 2/3 vsk je vlastně rychlost, kterou částice nejčastěji nabývají mezi jednotlivými srážkami. Pomocí ní lze pak určit počet částic v daném objemu, které dosahují rychlosti v nebo větší. Příslušný podíl částic s rychlostmi v > vH pro vybrané plyny je uveden v tab. 12.5. Plyne z ní, že při zemském povrchu při teplotách blízkých 273,2 K jen zcela zanedbatelné množství atomů vodíku může dosáhnout rychlosti vH. Odlišná je situace ve větších výškách než 500 km, v nichž nejméně 4 % atomů vodíku a 0,45 % molekul tohoto prvku dosahuje únikové rychlosti, stejně jako jisté množství hélia. S ohledem na volnou dráhu částic, která zde dosahuje 10-30 km, a průměrnou frekvenci dvou srážek za minutu mohou uvedené plyny prakticky bez překážky unikat (disipovat) do zemiplanetárního prostoru. Proto hladinu kolem 500 km označujeme jako hladinu disipace. Ostatní plynné složky zemské atmosféry, tj. především dusík a kyslík, s ohledem na podstatně vyšší hmotnosti dosahují únikové rychlosti jen s velmi malou pravděpodobností (V. Vanýsek, 1983). Na obr. 12.16 je schematicky znázorněno rozložení koncentrací 02, N2,0, He a H v zemské atmosféře do výšky 2500 km s ohledem na jejich rozdělení a disipaci. Při vysoké teplotě se svrchní atmosféra ve výšce nad 1500 km skládá převážně z hélia. Při nízké teplotě hélium „klesá" pod 1000 km a vysoké vrstvy jsou tvořeny vodíkem.
Dobu disipace vodíku, kyslíku a hélia z naší atmosféry udává tab. 12.6. Plyne z ní, že doba disipace vodíku a hélia je menší v porovnání s dobou existence naší planety (řádově 109 let). Proto zemská atmosféra obsahuje jen malé procento těchto plynů, neboť za dlouhé období vývoje Země byly tyto plyny z prvotní atmosféry téměř zcela disipovány. Přitom ovšem existují i jisté mechanismy, jimž jsou tyto plyny v atmosféře nebo do atmosféry uvolňovány. Tak zdrojem hélia pro atmosféru jsou přirozené radioaktivní procesy. Atmosférický vodík je neustále doplňován ■ disociačními procesy látek obsahujících kyslík, především vodní páry.
Při průměrné frekvenci srážek ve vysokých vrstvách 0,1 s-1 a za předpokladu, že by každá částice s rychlostí v ^ vn opustila atmosféru, ztratila by Země podstatnou část svého ovzduší asi za 3 .1016 let, což je doba přesahující o několik řádů stáří vesmíru.
Kritická teplota T«, bezprostředně závislá na hmotnosti planety, je tak jistým kritériem stability atmosféry. Z tab. 12.7 plyne, že např. na Měsíci již poměrně nízká teplota 220 K bude pro vodík kritická, zatímco na Jupiteru přesahuje 10s K. To vysvětluje odlišnost naší dusíko-kysKkové atmosféry od atmosfér obřích planet, které si díky své vysoké hmotnosti udržely původní atmosféru s převahou vodíku a hélia (viz tab. 3.2). Odlišné složení atmosféry Země s ohledem na ostatní planety podmiňuje a určuje charakter mnoha procesů a jevů, které jsou typické pouze pro naši planetu (např. existence života). Z tab. 12.7. je dále zřejmé, že z malých planetek unikají plyny již za velmi nízkých teplot, a že jádro komety nemůže udržet plynný obal ani v mimořádně velkých vzdálenostech od Slunce (zbytkové záření vesmíru způsobí, že teplota jádra komety nikdy neklesne pod 2,7 K, kdežto T„ je i pro molekuly s ju > 30 na povrchu těchto těles 1-2 K - V. Vanýsek, 1983).
Mezi Zemí a meziplanetárním prostorem neexistuje ovšem pouze výměna hmoty ve výše uvedeném smyslu. V důsledku působení zemské přitažlivosti dopadá na Zemi neustále značné množství meteoritického materiálu (asi 109—1010kg ročně), čímž se její hmotnost neustále mění.
270