Příklady z Fyziky plazmatu
1 Úvod
1.1 Příklad (2b.)
Uvažujme, že na počátku máme rovnoměrné plazma, ve kterém je hustota elektronů i iontů
stejná a rovna n0 (plasma je elektricky neutrální). Nyní předpokládejme, že se elektrony
na ploše y, z nějakým vnějším vlivem ze svých rovnovovážných poloh posunuly o malou
hodnotu s ve směru osy x.
(a) Použitím Gaussova zákona ukažte, že elektrické pole, které vznikne mezi náboji je dáno
vztahem
Ex =
n0e
0
s .
(b) Ukažte, že pohybová rovnice pro každý elektron pod vlivem tohoto elektrického pole je
d2
s
dt2
+
n0e2
me 0
s = 0 .
Dokažte, že toto je rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
pe =
n0e2
me 0
1/2
.
1.2 Příklad (2b.)
(a) Odhadněte teplotu plazmatu, v němž se v kouli o poloměru 1 mm liší hustota elektronů
od hustoty iontů o 1 %. Hustota nabitých částic je 1020
m-3
. (Vyjděte z předpokladu
rovnosti kinetické (tepelné) a potenciální energie, vyplývající z Coulombovských sil.)
(b) Dosadťe zadané hodnoty a vypočtenou teplotu do vzorce pro výpočet Debyeovy délky
D a ukažte, jaké musí být fyzikální rozměry plazmatu L.
1.3 Příklad (2b.)
Mějme raketu, která je mimo působení gravitačního pole Země.
Označme:
v. . . konstantní rychlost plynů vyfukovaných z rakety vzhledem k raketě
u(t). . . okamžitá rychlost rakety
M(t). . . okamžitá hmotnost celé rakety
-dM(t)/dt. . . konstantní časová změna hmotnosti rakety, daná hmotou plynů vyvržených
z rakety
(a) Dokažte, že pohybová rovnice rakety je
d
dt
[M(t)u(t)] =
dM
dt
[u(t) - v] .
a ukažte, že okamžité zrychlení rakety je
du
dt
= -
v
M(t)
dM
dt
.
1
(b) Zintegrujte pohybovou rovnici a ukažte, že
u(t) = u(t0) + v ln[M(t0)/M(t)] .
(c) Pokud raketa hoří po časový interval t = t - t0 a pokud M(t) M(t0), ukažte, že
počáteční zrychlení rakety je
du
dt t0
=
v
M(t0)
M(t0) - M(t)
t
v
t
.
(d) Dosadťe do vztahů pro (du/dt)t0 a u(t) pro chemickou raketu v = 103
m/s a t = 10 s;
a také pro plazmový pohon s v = 104
m/s a t = 100 dní. Pro spočítání u(t) uvažujte
ut0 = 0 a M(t0) = 10M(t).
1.4 Příklad (1b.)
Z Maxwellových rovnic odvodťe rovnici pro zachování náboje

t
+  J = 0 .
Tento výsledek ukazuje to, že zachování elektrického náboje přímo vyplývá z Maxwellových
rovnic.
1.5 Příklad (2b.)
Z Maxwellových rovnic odvodťe následující zákon zachování energie v elektromagnetických
polích, který je známý jako Poyntingův teorém:

t V
1
2
E2
+
1
2
H2
d3
r +
S
(E × H)  dS = -
V
(J  E)d3
r ,
pro lineární izotropické médium, pro které platí D = E a H = B/. Fyzikálně interpretujte
každý člen této rovnice. Jaký je fyzikální rozměr těchto členů?
2