Kapitola 2 Pohyb částic v elektromagnetických polích 2.1 Úvod ^ Studium pohyb nabitých částic v silových polích umožňuje získat fyzikální náhled na dynamické procesy v plazmatu, protože přírodní i laboratorní plazmata jsou často ovlivňována externími silovými poli. Zároveň to umožňuje získat informace o některých makroskopických jevech, které jsou výsledkem kolektivního chování velkého počtu částic. Magnetické pole B udržuje nabité částice v plazmatu, a tím udržuje samotné plazma. Elektrické pole E je v laboratoři často využíváno pro generaci plazmatu. Pohybová rovnice pro Lorentzovu sílu F je ^ = F = q(E + vxB), (2.1) kde p je moment hybnosti částice a v jeho rychlost. Rovnice je relativisticky správná pokud p = 7777,1/ , (2.2) kde m je klidová hmotnost částice a 7 je Lorentzův faktor definovaný 7 = (1 - v2/c2)-l/2 • (2.3 V mnoha případech však vystačíme s nerelativistiským přiblížením m— = q(E+v x B). (2.4 VÁL Řešení v homogenním elektrostatickém poli je triviálním opakováním. Stručně si tedy v následující kapitole zopakujeme řešení v homogenním magnetostatickem poli a v kombinaci obou. 2.2 Homogenní magnetostatické pole 2.2.1 Formální řešení pohybové rovnice V případě neexistence elektrického pole řešíme pohybovou rovnici m-^. = q(v x B). (2.5) VÁL Je výhodné rozložit rychlost v na komponentu i/|| paralelní se směrem B & v± kolmou na B. Pak pro tyto dvě komponenty rychlosti dostaneme následující formální řešení v\\ = konst (2.6 v± = Í2cxrc, (2.7 kde nc = -^ = ^í2c = ncnc. (2.8 m m Výsledná trajektorie částice je superpozicí pohybu s konstantní rychlostí podél B a kruhového pohybu v rovině kolmé na B, takže částice opisuje šroubovici. Uhel mezi B a směrem pohybu částice (úhel sklonu) a = sin-i í^,) = tan-i (?A . (2.9 V v / \v\\ J Poloměr kruhové dráhy nazývaný též gyračm, cyklotronový nebo Larmorův poloměr je v\ mv\ re = fQ = W (2'10 2.2.2 Řešení v kartézských souřadnicích V předchozím odstavci se řešení pohybové rovnice nevázalo na žádný konkrétní souřadný systém. Nyní budeme uvažovat kartézskou soustavu souřadnic (x,y,z) takovou, že B = Bz. V tomto případě jsou složky rychlosti v rovině kolmé na B dány vztahy vx(t) = v± sin(Qct + 60) (2.11 Vy(t) = v± cos(Qct + 60), kde tan(6o) = vx(0)/vy(0) (2.12 a trajektorie částice je popsána jako x(t) = -^ cos(nct + e0) + x0 (2.13 y(t) = ^ sin(í2cr + e0) + Y0 (2.14 Z (t) = V\\t + Zo , kde Xo = x0 + ^cos(e0) (2.15 Yo = 2/0 -—sin(e0). Vektor r = xqx + yoý + zoz udává počáteční polohu částice. Vidíme, že [x - X0)2 + (í/ - Fo)2 = (f±/U)2 = r2. (2.16 2.2.3 Magnetický moment Magnetický moment m asociovaný s cirkulačním pohybem náboje, tj. proudem /, je kolmý k ploše A) kterou definuje trajektorie cirkulujícího náboje a má opačný směr než externě aplikované pole B. Jeho velikost je dána \m\=IA. (2.17 Proud můžeme vyjádřit jako tok náboje: j = 1*1 = I*L_£ 2.18 Tc 2tí ' V kde Tc = 2tt/Qc je perioda orbitálního pohybu (cyklotronová nebo Larmorova perioáa). Velikost m může tedy vyjádřit i jako \m\ = ^-^7vr2r = -\q\ttcr2r (2.19 ii 2tt c 21 ' c v nebo použitím vztahu Qc = \q\B/m a rc = v±/Qc jako . . \mv2 W± \m\ = ^ = ^, (2.20 kde W± vyjadřuje část kinetické energie částice asociované s transverzální rychlostí v±. Ve vektorové podobě pak můžeme psát W± m = -^B. (2.21 2.2.4 Magnetizační proud Uvažujme nyní soubor nabitých částic, kladných a záporných ve stejném počtu (např. případ plazmatu s malou hustotou, kde můžeme zanedbat srážky částic). Pak platí, že střední doba mezi srážkami je mnohem větší než gyrační perioda (tato podmínka je splněna pro mnoho plazmat ve vesmíru). Pak magnetické momenty, které jsou spojené s pohybem částic (hustotou proudu), vytváří vnitřní magnetické pole, které může být tak silné, že významně mění vnější magnetické pole. Abychom vyjádřili výslednou hustotu el. proudu, uvažujme makroskopický objem, který obsahuje velké množství částic. Nechť S je část plochy v tomto objemu a křivka C tuto plochu ohraničuje. Na rozdíl od částic na trajektoriích, které protínající plochu S jedenkrát (trajektorie 1 na obrázku), částice na trajektoriích protínající S dvakrát (trajektorie 2 na obrázku) nepřispívají k výslednému proudu. Označíme ál element křivky C. Počet trajektorií, které obkrouží ál je n A • d/, kde n je počet trajektorií odpovídajících proudu / na jednotkový objem a A je orientovaná plocha, kterou každá trajektorie uzavírá. Výsledný proud protínající S je pak dán integrací proudu kolem ál přes celou křivku C: In= i InA • ál. (2.22) Protože m = IA je magnetický moment na jednotku objemu, je magnetizační vektor M dán M = nm = ni A , (2.23) takže In= í Mál= í (V x M) • áS . (2.24) Můžeme definovat průměrnou hustotu magnetizačního proudu protínající plochu S: In= í Jm-cIS, (2.25 Js takže dostáváme JM = V x M , (2.26 kde 'nW± M = nm = -[-^\B. (2.27 Hustotu náboje p m spojenou s hustotou magnetizačního proudu J m můžeme vyjádřit z rovnice kontinuity ^f + V.JM = 0. (2.28) Protože J m = V x M a protože pro libovolný vektor a platí V • (V x a) = 0, je hustota náboje p m konstantní v case. V Maxwellově rovnici V x B = po (j + e0—) (2.29 dt můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na dvě složky: magnetizační hustotu proudu J m a hustotu J' odpovídající jiným zdrojům, tj. J = JM + J'- (2.30 Když vyjádříme J m pomocí M, dostaneme V x B = po ( V x M + / + co— J , (2.31 což můžeme ještě přeuspořádat jako V x ( — B -M)=J' + e0— . (2.32 VMo / ot Definuj eme-li efektivní magnetické pole H vztahem B = fjLo(H+M) (2.33 můžeme rovnici (2.32) napsat jako V x H = J' + e0^ . (2.34 ot Pokud je M úměrné B nebo H M = XmH1 (2.35 existuje jednoduchý lineární vztah mezi B a H. Konstanta xm se nazývá magnetická susceptibilita prostředí. Pro plazma je však M oc l/B (viz rovnice (2.27)), takže není výhodné popisovat plazma jako magnetické prostředí. 2.3 Homogenní elektrostatické a elektromagnetické pole 2.3.1 Formální řešení pohybové rovnice m-^ = q(E+ v x B) (2.36 VÁL ~ EixB qE\\ . . v{t) = Qc x rc + ±u2 +^t+ v\\ (0). (2.37 První člen představuje gyrační kruhový pohyb, druhý člen je drift ve gyračního středu ve směru kolmém na E± a B)) třetí člen je konstantní zrychlení gyračního středu podél B a poslední člen je počáteční rychlost rovnoběžná s B. Rychlost ve nezávisí na hmotnosti ani znaménku náboje a často se nazývá plazmová driftová rychlost nebo elektromagnetický plazmový drift. Protože E\\ x B = 0, můžeme psát E x B ve = —^- - (2.38 2.3.2 Řešení v kartézských souřadnicích B = Bž (2.39 E = Exx + Eyý + Ezž (2.40 E,. WJ = V± »^^ t" 170) + „ vJt) = v\ sinfíU + On) + -r (2.41 , x 1 dvT ET , ,_ n . ET , ^ Vy{t) = ň;"ďf " ~i = ^cos( c + o)" T ( v' E x(t) = -t^ cosríU + 9o) + -?í + Xn (2.43 _v_íct, -r po; -r — 6 ^^0 y(t) = ^ sin(íící + 0o) ~^t + Yo (2-44 JC 2.3.3 Drift způsobený externí silou Jestliže je přítomna nějaká další externí síla (gravitační nebo inerciální, pokud uvažujeme neinerciální souřadný systém), musí se pohybová rovnice modifikovat: m-^- = q(E +v x B) + F . (2.45) VÁL Efekt této síly je formálně podobný působení el. síly. Předpokládejme, že F je homogenní a konstantní v čase. Potom analogicky k elektromagnetické driftove rychlosti, tato síla způsobí drift, jehož komponenta kolmá na B je Fx B * = -$?-■ (2-46 V případě homogenního magnetického pole F = mg mg x B q Bz 2.4 Prostorově nehomogenní magnetické pole Pro prostorově nehomogenní pole je integrace pohybové rovnice matematicky náročný problém. Pokud nás však nezajímají detaily pohybu částice a můžeme předpokládat, že magnetické pole je silné a pomalu se měnící, zatímco el. pole je slabé. Prostorovou škálou je v tomto případě gyrační poloměr: \VB\ r, < 1. 2.48 B Řešení pohybu částic založeném na této aproximaci se často říká aproximace gyračního středu nebo Alfvénova aproximace. Pokud se může libovolná ze tří komponent vektoru B měnit v prostoru, máme celkem 9 parametrů. dBx/dx dBy/dx dBz/dx VB = (x y i) I dBJdy dBJdy dBJdy I I ý I (2.49 'V dBx/dz dBy/dz dBz/dz Pouze 8 jich je však nezávislých, protože _ „ dBx dBv dBz ox oy oz V následujícím budeme předpokládat kartézský systém souřadnic, v němž 8(0,0,0) = B0 = B0ž (2.51 Devět komponent tenzoru Vß můžeme seskupit do čtyř skupin: • divergentní členy dBx/dx, dBy/dy, dBz/dz • gradientní členy dBz/dx, dBz/dy • členy zakřivení dBx/dz, dBy/dz • smykové členy dBx/dy, dBy/dx 2.4.1 Divergentní členy Abychom lépe rozumněli prostorové nehomogenitě magnetického pole, je dobré si znázornit magnetické siločáry pro jednotlivé případy. Diferenciální element siločáry vyjádříme jako ds = dxx + áyý + ázž (2.52 Pak musí platit, že dsxB = 0 (2.53 což dává vztah dx áy áz , — = — = — . (2.54 % -By Bz Protože nás nyní zajímá jen divergentní člen a kolem počátku směřuje pole především podél osy z. můžeme rozvést Bx a By do Taylorovy řady: Bx(xh 0, 0) = Bx(0, 0, 0) + í^\ Xl = í^) Xl (2.55 /BR \ í BR \ By(0,yuO) = 5,(0,0,0) + (-gf) 2/1 = \-^j Vi (2.56 Magnetické siločáry protínající rovinu z = 0 v bodě (x\, 2/1, 0) splňují následující rovnice 1 ídBx\ 1 xi {y = 0) (2.57 dx Bx dz ~ Bz áy _ _ By B, \ <9x 'z 1 /asj, dz 5Z 5Z \ dy 2/1 (x = 0) (2.58 2.4.2 Gradient a zakřivení Magnetické pole vyjádřené následujícím vztahem vykazuje gradient ve směru x B = Bž = Bn(l + ax)ž (2.59 Musíme si uvědomit, že v oblasti, kde J = 0, by toto pole nesplňovalo Maxwellovu rovnici Vxß = 0, takže musíme přidat i člen zakřivení Bxx = B^ctzx a magnetické pole vyjádříme jako. B = B0 [azx + (1 + ax)ž] (2.60) Většinou ovšem nastává situace, kdy jsou přítomny všechny členy odpovídající divergenci, gradientu a zakřivení (např. magnetické pole Země). Smykové členy nevyvolávají v aproximaci prvního řádu žádné drifty, a proto se jimi dále nebudeme zabývat. 2.5 Aproximativní řešení pohybové rovnice v nehomogenním magnetostatickém poli Opět uvažujeme případ 8(0,0,0) = B0 = B0ž (2.61 Blízko počátku můžeme provést Taylorův rozvoj ß(r) = ß0 + r-(Vß) + ... (2-62 a předpokládáme 5B = \r- (VB)\ < |ß0|. (2-63 takže magnetické pole působící na částici se liší velmi málo od pole ve gyračním středu. Clen prvního řádu Taylor ova rozvoje r • (VB) můžeme explicitně zapsat jako r.(VB) = (r.V)B=(*! + „! + *!)ß = dBx dBx dBx\ Ä / dBv dBv dBv\ Ä x—- + y—- + z—- ) x + x—± + y—*- + z—-*- y+ ox oy oz J \ ox oy oz J dBz dBz dBz\ „ x—^ + y—Z- + z—í Ž 2.64 ox oy oz J přičemž derivace musí být provedeny v počátku souřadného systému. Jestliže dosadíme aproximativní vyjádření ß (2.62) do pohybové rovnice, dostáváme áv m át Rychlost částice je přibližně součtem v q(v x B0) + qv x [r- (Vß)] ,(0, + „(i> = ^ + dr« 2.65 át át 2.66 kde v« je porucha prvního řádu a i/°) je řešením rovnice nulového řádu v (i) < v (0) 2.67 m- dj/o) ^(»/(0) x B{ 2.68 které již bylo diskutováno dříve. Pokud dosadíme rozvoj rychlosti do rovnice (2.65) a zanedbáme členy druhého řádu áv m— = q(y x ß0) + ^^(0) x [r(0) • (Vß)] át 2.69 Druhý člen představuje jakousi dodatečnou sílu k případu homogenního magnetického pole. Tato síla však není konstantní a závisí na okamžité poloze částice. Proto se během jedné gyrační periody objeví malé oscilace. Pokud nás zajímá jen pohyb gyračního středu, stačí se zajímat o tuto sílu vystředovanou přes jednu gyrační periodu. 2.6 Průměrná síla na částici v nehomogenním magnetostat. poli během gyrační periody Zavedeme souřadný systém, jehož počátek se pohybuje počáteční rychlostí částice ve směru rovnoběžném s B. V homogenním poli by pak částice konala kruhový pohyb. V uvažovaném slabě nehomogenním poli se trajektorie částice nebude příliš lišit. Pokud by ale byly siločáry mg pole zakřivené, nebyl by náš zvolený souřadný systém inerciální, museli bychom uvažovat inerciální síly a v důsledku toho by se projevil další drift. Prozatím budeme předpokládat, že siločáry zakřiveny nejsou a tomuto problému se budeme věnovat v jedné z dalších kapitol. Vzhledek k výše uvedeným předpokladům se vektory nulového řádu, „(0) a r(0) nachází v rovině x,y). Silový člen qv® x r(°> • (VB 2.70 můžeme rozdělit na komponentu Fj| podél Bq (osy z) a komponentu F± kolmou k Bq. Použijeme-li lokální válcové souřadnice (r, 0,z), jejichž osa z míří ve směru Bq, máme f(»).(Vß) = r(»)^. (2.71 or Protože ^-složka mg pole je rovnoběžná s v^\ nepřispívá k F, zatímco BTř přispívá k F\\ a Bzž k F±. Proto F, = q (>> x f) r<°>^ = \q\v(%V>)dBr£ (2 72 "V J or or Fl = q (>> x ž) r<°>^ = -\q\v Použijeme-li vztah pro velikost magnetického momentu (2.20), můžeme vztahy přepsat Fi = 2\m\—Lž 2.75 r)fí Fl = -2|/n|—-^ŕ (2.76 ar Střední hodnoty F|| a F_l přes jednu gyrační periodu jsou W=2|B,|f|iř/f^)=2Wf<(^l> (2.77 Fi) = -2 m — <* —-rd0 = -2 #n ( r-^ >. 2.78 Vlivem střední síly (Fj|) dané vztahem (2.78) dochází ke zrychlení gyračního středu ve směru paralelním k Bo. Jde o efekt divergentních členů ß. Střední síla (Fj_) je odpovědná za dn/t gyračního středu ve směru kolmém. Jde o vliv gradientních členů ß. 2.6.1 Paralelní síla Maxwellova rovnice V • B = 0 ve válcových souřadnicích zní r dr r d9 d z První člen můžeme rozepsat 1 d , _ , dBr B 1 d 'rBr) + ~(Bb) + |-(BZ) = 0 . (2.79 r drx ' dr r Protože pro r = 0 máme Bľ = 0 a protože blízko počátku se Bľ mění jen málo, můžeme psát Br uBr r dr a využitím předchozích dvou rovnic máme z V • B = 0 dBr i /laß« • poloměr zakřivení dráhy se zmenšuje v místech se silnějším B. Kladné ionty rotují po směru hodinových ručiček pro B směřující k pozorovateli, záporné náboje opačně (viz obr. ??) —► kladné ionty driftují vlevo, elektrony vpravo. V případě bezsražkoveho plazmatu je hustota magnetizačmho proudu Jq způsobená gradientním driftem dána vztahem kde sumace běží přes všechny nabité částice ve vhodně zvoleném objemovém elementu 5V. Z předchozích dvou vztahů máme 'G VB) x B 2.100 # 2.8 Paralelní zrychlení gyračního středu V případě existence divergentních členů nehomogenity magnetického pole, tj. jeho podélné podélné změny (divergence nebo konvergence siločar ve směru osy z) urychluje síla (Fj|) částice ve směru klesajícího pole nezávisle na znaménku náboje (viz obr. ??). V následující části budeme diskutovat některé důsledky tohoto odpuzování gyračního středu od oblastí konvergujících magnetických siločar. 2.8.1 Invariantnost magnetického orbitálního momentu a magnetického toku Vyjdeme ze vztahu (2.87) pro (F||) (ton , x , tdB m—^ž = (Fi = -m—i • (2.101 át x y ' ] dz v Jestliže vynásobíme obě strany rovnice v\\ = áz/át a nahradíme \m\ = W±/B dostaneme dv\\ d (\ 2\ W±dBáz mvu—1 = — -mvl =---------—- . (2.102 11 át át \2 7 B dz át v Protože v magnetostatickém poli platí V^ii+V^± = konst. (2.103 neboli T-(Wi) = —rWi) = —r í-^íi ) , t2-104 dr ; dr l|; dŕ\2 " ' ' v dostaneme za pomoci (2.102 V±) = ^^ = ^, (2.105 dr J B dz át B át ' v kde dB/dt představuje změnu 5, jak ji vidí pohybující se částice. Srovnáme-li tento výsledek s následující identitou d/TI, x d fW±B\ W±áB d fW± , dr ; dí V B J B át át\ B dojdeme k závěru, že neboli d fw± át U w± 0 (2.107 \m\ = —=■ = konst.. (2.108 B Jestliže se tedy částice pohybuje do oblasti konvergujícího nebo divergujícího 5, mění se její gyracní poloměr, ale magnetický moment zůstává konstantní. Magnetický moment se ovšem zachovává pouze v použité aproximaci, tj. pokud jsou prostorové změny B uvnitř uzavřené části trajektorie malé ve srovnání s velikostí B. Proto se říká, že v tomto případě je orbitální magnetický moment adiabatickým invariantem, obvykle se mluví o prvním adiabatickém invariantu. Magnetický tok • Pro dostatečně silné mg pole se může částice zastavit a pohybovat zpět. =>• odraz částice Pokud máme dvě mg zrcadla, částice je uvězněna mezi nimi => magnetická nádoba. Toto zachycení ale není úplně perfektní. Jeho účinnost se udává jako "poměr zrcadla" Bm/Bo, kde Bm je intenzita mg pole v bodě reflexe (zde je úhel sklonu šroubovice tt/2) a Bq je mg pole ve středu mg nádoby. Uvažujme nabitou částici, která má ve středu nádoby úhel sklonu ao. Nechť v je rychlost částice, která v magnetostatickém poli zůstává konstantní. Protože se ani magnetický moment \m\ = W±/B nemění, platí 1 1 -mv2(sm2 a)/B = -mv2(sm2 olq)/'Bq , (2.111 kde a je úhel sklonu částice v místě s mg indukcí B. Proto pro tuto částici v libovolném bodě mg nádoby platí sin2 a(z) sin2ao ( B (z) B0 Předpokládejme nyní, že částice se odráží u ústi zrcadla, tj. a = tt/2 pro B (z) = Bm a proto (sin2a0)AB0 = lABm. (2.113 To znamená, že částice mající úhel sklonu ao ve středu nádoby rovný a0 = sm-^iBo/Bm)V2] = sin-\vJv)Q (2.114 je odražena v bodě, kde je mg indukce Bm. V mg nádobě s poměrem Bm/Bo se částice mající úhel sklonu ve středu nádoby větši než ao odrazí před koncem mg nádoby. Na druhou stranu, jestliže má částice úhel sklonu ve středu nádoby menši než ao, nedosáhne tento úhel nikdy hodnoty tt/2 =^ částice unikne =>• existuje tedy ztrátový kužel se středem ve středu nádoby a s vrcholovým úhlem 2ao daným podle vztahu (2.114) poměrem Bm/Bq. Kvůli výše uvedeným závěrům mají zařízení bez otevřených konců, tj. s mg siločárami uzavřenými do sebe, podstatnou výhodu při udržení plazmatu. Jednou z možností je torodiální geometrie. Zde ovšem činí problémy v udržení radiální nehomogenita pole. Proto je superponováno poloidální magnetické pole, což dává spirálové siločáry jako v tokamaku. Bohužel nestability a malé fluktuace opět ztěžují udržení horkého plazmatu. Dobrým příkladem mg nádoby je magnetické pole Země, které zachycuje nabité částice z vesmíru nebo vzniklé ionizací atmosféry. Tyto částice tvoří Van Allenovi radiační pásy (viz obr. ??). 2.9 Drift zakřivení Až doposud nebyly diskutovány jevy způsobené zakřivením mg siločar. Zde budeme studovat pouze drift způsobený zakřivením siločar (členy dBx/dz a dBy/dz), ale je dobré si uvědomit, že v tomto případě pole nesplňuje podmínku V x B = 0, takže drifty způsobené zakřivením a gradientem pole se vyskytují pohromadě. Budeme předpokládat, že členy dBx/dz a dBy/dz jsou tak malé, že zakřivení siločar je velmi velké ve srovnání s gyračním poloměrem. Zavedeme lokální systém souřadnic pohybující se podél siločar rychlostí V\\. Jednotkové vektory systému budou B ve směru siločáry, h\ ve směru hlavní normály k siločáře a í?2 ve směru kolmém na siločáru. Protože nejde o inerciální systém, objeví se odstředivá síla. C R kde R označuje lokální poloměr zakřivení mg siločar a v\\ .2 í?i , (2.115 Fcx B rnv ^^^-^xB). (2.116 Chceme vyjádřit jednotkový vektor h\ pomocí vektoru B (podél siločar). Uvažujme element úseku siločáry ds svírající úhel dphi s B: ds = Rd(/). (2.117 Jestliže dB označí změnu B díky posunu o ds, pak dB míří ve směru h\ a jeho velikost je |dß| = \B\d(t> = dej). (2.118 Následně áB = hiá(j). (2.119 Když podělíme tuto rovnici rovnicí (2.117) dostáváme dB ňi ds R Derivaci d/ds podél B můžeme zapsat jako (B • V), takže tuto rovnici můžeme dále upravit 2.120 ^ = (ß-V)ß. (2.121 R Poslední rovnici můžeme dosadit do rovnice (2.115 F= -mvl(B-V)B. (2.122 Protože síla Fc je kolmá ke směru mg indukce B (její směr je dán vektorem —ni), způsobí drift s rychlostí mvl vc = —^[(B.V)B]xB (2.123 Protože B = BB) můžeme předchozí dvě rovnice zapsat také jako 2Ww "c B2 2Ww ~qB ■[(ß-V)ß]±, (2.124 vc = --^[(B-V)B]xB. (2.125 Protože pro náboje opačného znaménka je drift zakřivení opačného směru, objeví se elektrický proud SV^y™ ' W^ l|íy Bl 2.10 Kombinovaný drift gradient-zakřivení Drift zakřivení a gradientní drift se vždy objevují společně a oba míří stejným směrem, protože VB míří opačným směrem než Fc. Proto mohou být tyto dva drifty jednoduše sečteny: \mv2\ mv\\2 vGc = vG + vc = -jL^r(V£) xB- ~^[{B • V)ß] x B . (2.127) Jestliže neexistují objemové proudy (např. ve vakuu), takže Vxß = 0, umožňuje vektorová identita 2.95) zápis v kompaktnější podobě m 1 1 "GC = ~W{V'1 + 2^)(V2ß2) X B ■ (2'128 V zemské magnetosféře blízko rovníku gradientní drift (B klesá s výškou) a drift zakřivení způsobují pomalý drift kladně nabitých částic západním směrem a záporně nabitých částic východním směrem, tzv. prstencový proud. 2.11 Pohyb nabitých částic v pomalém časově proměnném el. poli V následujících kapitolách budeme analyzovat pohyb nabitých částic v přítomnosti časově proměnných polí. V prvních dvou případech budeme uvažovat kombinaci homogenního časově proměnného el. pole a homogenního magnetostatického pole B. Tento předpoklad je splněn pokud je toto magnetostatické pole mnohem větší než magnetické pole indukované časovou změnou E. El. pole můžeme považovat za homogenní, pokud jsou jeho prostorové změny zanedbatelné vzhledem ke gyračnímu poloměru. 2.11.1 Pohybová rovnice a polarizační drift Na okamžik budeme předpokládat, že charakteristický čas změny el. pole je mnohem větší než gyrační perioda. Složka rychlosti částice model mg siločar je dána vztahem máv\\/át = qE\\, takže můžeme obecně psát vn (t) - vn (0) = ±- í EM)dť, (2.129) m Jo což nám zatím nepřináší žádnou novou zajímavou informaci. Protože pole E je pomalu se měnící, nečekáme, že složka rychlosti kolmá na mg siločáry se bude příliš lišit od stacionárního případu. Proto je rozumné hledat analogické řešení k řešení ve tvaru v± = v'± + vE, tj. v± = v'± + vE + vp , (2.130 kde ve = E x B j B2 je elektromagnetická driftová rychlost, která se s časem pomalu mění. Dosazení tohoto vztahu do kolmé složky pohybové rovnice dává d m—(vf± +vE + Vp) = q[Ej_ + (vf± + vE + vp) x B]. (2.131 VÁL Protože také ve = E± x B/B2, můžeme vztah přepsat jako dv\ d ,E\X B. dvv / « « mlt + mIt{^^] ^i^^xß^xß- (2-132 Jestliže položíme m ,dE± v* = W^h (2'133 můžeme rovnici (2.132) přepsat jako dv\ dvv , ^ m—± + m—2- = qv\ x B . (2.134 dt dt ^ ± v Pokud by se druhý člen na levé straně dal položit roven nule, jde o rovnici, která popisuje kruhový pohyb kolem mg siločar. Porovnáme-li relativní velikosti druhého členu nalevo s pravou stranou rovnice, dostaneme \mdvp/dt\ \(m2/qB2)(ff2EJdH2)\ ._ /DW , ., , 2w,,d2, , ,.,,,.,„,2 EJB)/v'±\(ujžmž)/(qžBž) = \vE/v'±\(u/Uc \qv'± x B\ \<}v±B\ '2.135 kde jsme předpokládali, že E± je harmonicky časově proměnná veličina s kruhovou frekvencí uj. Bude-li tato frekvence mnohem menší než cyklotronová frekvence Í2C, tj. uj < nc (2.136 a pokud je člen I^e/^jJ rovněž malý, můžeme člen m(ávp/át) ve srovnání s jinými členy rovnice (2.134) zanedbat a získáme rovnici d v' m—± = qv'±xB, (2.137) která je identická případu statických polí. Z toho důvodu odpovídá v'± obvyklému kruhovému pohybu kolem mg siločar a nezávisí na změnách el. pole. Následující dva typy rychlostí tento kruhový pohyb doplňují: E±x B ve = ß2 (2.138 " - W^' Pomalé změny el. pole tedy způsobí drift s rychlostí vp nazývaný polarizační driflová rychlost. Protože vp má opačný směr pro částice opačného znaménka, časově závislé el. pole produkuje čistý polarizační proud v neutrálním plazmatu a plazma se tedy chová jako dielektrikum. Hustota polarizačního proudu Jp je rychlost toku kladných a záporných nábojů skrz jednotkovou plochu a je dána vztahem kde sčítáme přes všechny kladné a záporné náboje nacházející se v malém objemovém elementu 8V a pm je hustota hmotnosti plazmatu. 2.11.2 Dielektrická konstanta plazmatu Polarizační vlastnosti plazmatu souvisí s časovou změnou el. pole, protože elektrony a ionty se mohou v konstantním poli nerušene pohybovat a tedy zachovávat kvazineutralitu. Protože se plazma chová jako dielektrikum, takže můžeme přes hustotu polarizačního proudu Jp zavést dielektrickou konstantu plazmatu. Za tím účelem můžeme rozdělit celkovou hustotu proudu J na hustotu polarizačního proudu Jp a hustotu proudu způsobenou jinými zdroji Jo J = JP + J0. (2.141 Kombinací Jp se cleném e^dE/dt, který se objevuje na pravé straně Maxwellovy rovnice V x B dostaneme dE\ PmdE\ , om ,dE\ dE± erw+ww = ^1+-^)-w = e^ (2-142 kde e = e0er = e0(l + ^) (2.143 je efektivní elektrická permitivita ve směru kolmém na mg pole. V některých případech můžeme být relativní permitivita er velmi vysoká. Výsledná hustota náboje pp, která se akumuluje jako důsledek polarizačního proudu Jp, musí splňovat rovnici kontinuity + V-J„ = 0. 2.144 dt 'p Z (2.144) a Í2.140) máme pp=-^V-E±. (2.145 Celková hustota náboje může být rozdělena na P = Po + Pp, (2.146 kde po odpovídá Jo- Za předpokladu, že paralelní složka el. pole zmizí vidíme, že V-E = -(po + PP) = --^V-E. (2.147 e0 e0 e0£> V-E = —. (2.148 Odtud s pomocí (2.143) máme V-E = - e Výslednou hustota náboje pp můžeme tedy vzít korektně do úvahy zavedením efektivní elektrické permitivity e. Správnost zavedení efektivní elektrické permitivity plazmatu můžeme dále ověřit výpočtem celkové hustoty energie odpovídající poli E, která je pro dielektrické médium o efektivní permitivitě e dána eE2/2. Hustota energie el. pole je dána jako WE = -e0E2 (2.149 2 Abychom vyjádřili dodatečnou driftovou kinetickou energii získanou částicí v důsledku polarizačního driftu, uvědomíme si, že vychýlení gyračního středu Ar pro změnu AE± za čas At je m dE± m Ar = vpAt = —(—±)At = -^9AE± . (2.150 Příslušná práce vykonaná el. polem je pak m _ , . _ , . \ AW = qE± • (Ar) = ^E± ■ (AE±) = AC-mÉ{/B2). (2.151 Kinetickou energii částice odpovídající polarizačnímu driftu pak vyjádříme s využitím (2.139) jako l AW = A(-mv2E). (2.152 Sečteme-li přes všechny částice v jednotkovém objemu příspěvky, dostaneme celkovou změnu energie systému AWV = A^pmv2E) = A^pmE{/B2). (2.153) Hustota kinetické energie odpovídající kruhovému pohybu částice není ovlivněna změnami el. pole. Celková hustota energie Wt = We + Wv odpovídající el. poli je 2 ¥ E 2 v eo-B2 2 WT = -e0E2 + -pmv2E = -e0E2(l + -^-) = -eE2 (2.154 za předpokladu, že neexistuje paralelní složka el. pole. Tento výsledek tento dokončuje ověření správnosti zavedení efektivní el. permitivity plazmatu.