Kapitola 8 Makroskopické rovnice pro vodivou kapalinu 8.1 Makroskopické proměnné pro plazma jako vodivou kapalinu Uvažujme plazma jako celek a celkové makroskopické veličiny. Hustota hmotnosti: hustota náboje: ^oĹ^oli a a P = y^o^cn a střední rychlost kapaliny u: a Střední rychlost každého typu částic uvažovaná vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u difúzni rychlost wc a wa — ua — u — ua / J Pmaua Pm a Hustota toku hmotnosti neboli hmotnostní tok Jm = ^2 n«m«U« = P™U (8-5) a a hustota el. proudu neboli tok náboje J = ^2 naqa\Xa = pu+^2 naQa™a (8.6) a a Tenzor kinetického tlaku jednotlivých komponent plazmatu jsme definovali jako Va = Pma(VaVa), (8-7) kde Va = v — ua je náhodná rychlost. Jde vlastně o přenos hybnosti částicemi skrze povrchový element pohybující se driftovou rychlostí. Pro celé plazma definujeme alternativní náhodnou rychlost V«o pro částice a vzhledem k celkové střední rychlosti plazmatu u Va0 = v - u. (8.8) Celkový tlak je tedy definován jako rychlost přenosu hybnosti všemi částicemi plazmatu skrze element povrchu pohybující se celkovou střední rychlostí u. Tenzor celkového kineticeho tlaku V je tedy V = J2pma(Va0Va0}- (8-9) a Platí Va0 = Va + wa (8.10) a tedy V = J2 Pma{{Va + Wa)(Va + Wa)>, (8.11 a a a a Celkový skalární kinetický tlak p je i a a 3 a a Definujeme vektor celkového toku tepla q 1 2 a 2 2 a což roznásobíme jako V = J2 Pma((VaVa) + (VaWa) + {waVa) + (waWa>). (8.12 Z definice wa vidíme, že (wa) = wa, a proto 2 _ 2 _> _> 1 P=ô5ľP^=qXUľ /W^OzKoz) = ô Yl P^(Vao) (8-14 Pomocí (8.13/ P = ^Pa + Ö^PmaWl (8-15 q = ^E^^2ov«o) (8-16 a hustotu tepelné energie T = JE^^o> (8.17 Je užitečné najít vztah mezi -1 / 2 a q. Takže pomocí V^o = Va + wa dostaneme 1 2 a Ze vztahu (8.18), (8.7) & pa = pma{VQ)/3 přepíšeme předchozí vztah jako 3 1 2^wa + - Cü q = IYI PmaliV'Va) + ^(Va> + 2((wa • Va)Va) + (8.19 + iVa)Wa + ^Wa + 2((Va) • Wa)wJ, přičemž (Va) = 0, takže q = -X!Pm«[(^2Va) + 2wa • (Va)Va) + (ya2)wa + w2awa] (8.20 q = Xl(qa + Wa ' Va + 9^«W« + ^ma^a)- (8-21 Pro izotropní případ a 8.2 Rovnice kontinuity Rovnici kontinuity pro jednotlivé částice sumujeme E^ + EV-(AnaUa) = £S«> (8.23 a a a což dává ^ + V • (prou) = 0, neboť suma Sa je nula díky zachování celkové hmostnosti v systému. Rovnici můžeme také pomocí D/Dt = d/dt + u • V jako Dpm Dt 8.3 Pohybová rovnice + pmV • u = 0 Podobně postupuje i v případě rovnice z.z. hybnosti: ^2 Pma[~dj~ + (Ua ' V)Ud = S n«^E + ^2 n«^«(u« x B) + a a a +^2pmag ~ $ľv ■ ^+5ľA« ~ $ľu«5« cü cü a a Protože celk. hybnost všech částic se zachovává je srážk. člen nula. Y^ Pma[-ňr + (U« ' V)UJ = PE + J X B + pmg - V • V + ör Cü cü a Clen obsahující S^ můžeme eliminovat pomocí rovnice kontinuity. Zapíšeme rovnost a a což kombinujeme se členy na levé straně rovnice (8.27) a členem ^2a uaSa na její pravé straně. Dostáváme výraz ^^+V.(Pmauaua)], (8.29 dt a kde využijeme vztah pro celkovou střední rychlost (8.3), druhý člen expandujeme nahrazením ua — wo; + u Vidíme, že ^2 PrnaWa = ^2 P™a(Ua ~ u) = Pmu ~ PmV = 0. (8.30 a a r\, ' r \r líbu, Ut ~~U, J \ r\. a a + 5ľ V ' (pmaWaWa) = Pm^T + ^2 V ' (Pm«W«W«)' kde jsme využili rci kontinuity. Potom pohybová rovnice je Vztah (8.29) upravíme tedy jako Yfífig^ + V • (pmauQuQ)] = *%Hl + V • (Prouu) + (8.31 pm~W = PE + 3xB + PrnS - V • V. (8.32 8.4 Rovnice energie Opět sumujeme rovnici energie pro jednotlivé typy částic: d A 1 52 ^l(^Pma{v2}a) + 52 V ' tymct^v)a) ~ 52 U^F ' V)« = 0' dť2' 8.33 a a a kde srážkový člen Ma sumovaný přes všechny částice je nula. Nahradíme v = V^o + u a expandujeme každý člen rovnice. Pro první člen máme d_ di y^^Pmajv • V/q d_ di a 1 2' d_ di 52 2pma^V^ ) + di ( 52 2pmaVj2 ) kde jsme použili vztah (8.17) a fakt, že ^2a pmawa = 0 Před úpravou druhého členu si uvědomíme, že 52 ^PmMVao) +U2 + 2wa-U d íl d (3p\ v , ± 2 v v a V^ + uA + 2Vao-u)(Vao + u = {VaoVao} + u2wa + 2(Va0 ® Va0) • u + (V^u + u2u + 2(wa • u)u, protože Va0 = Va + waa (Va) = 0. Proto .2, V- C^-Pma^-W/a a 1 8.34 8.35 8.36 V ' (52 9^«(y«0V«0)) + V • (%2 Pma(VaO 0 Va0) • u) + a a 1 1 + V-(2]-pmQu) + V-(^ r.Pma'U U Když použijeme definici celkového toku tepla q a tenzoru celkového kinetického tlaku V) můžeme toto dále upravit jako V • (J2 ~Pma{v2v)a) = V • q + V • (V • u) + (8.37 a +V.( —U) + V.(-pmaU2U Pro třetí člen máme ^na(F- v)a = ^2na[qa(E-v)a + qa((v x B) • v>a+ ma(g • v>J, (8.38 a a kde jsme uvažovali elmag sílu a sílu gravitační. Protože {v)a = ua a pro lib. vektor v platí v x B) • v = 0, máme J]na(F-v)a = J-E + Jm-g, (8.39 a kde E a g jsou vystředovaná makroskopická pole. Kombinováním předchozích výsledků dostaneme d ,3p^ _ ^ ,3p x _ d (\ 2\ V7 A 2 m v 2 , + V • (yu) + ^PmUz) + V • (-pmuzu) + (8.40 V • q + V • (V • u) - J • E - Jm • g = 0. Třetí a čtvrtý člen zkombinujeme jako CJ , i. o* _ , i. 9 \ 9 r r Til _ / \i / ^'^ \ í ~Qt^PmU ) + V ' \2PmU U^ = 2U \-~df + ' ^mU^ + U ' ^Pm~Ďv' ^ což dále upravíme za použití rce kontinuity a pohybové rovnice: pu • E + u • (J x B) + Jm • g - u • (V • V). (8.42 Tento výsledek použijeme opět v rci energie a dostaneme tvar [—) + —V -u + V-q+(P-V)-u = J-E- u.(J x B) - pu • E. (8.43 Ľť 2' 2 • 1. člen - časová změna celk. hustoty tepelné energie vzhledem k referenčnímu systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u • 2. člen - přispívá ke změně celk. hustoty tepelné energie díky přenosu tepelné energie v objem, elementu v důsledku pohybu částic • 3. člen - tok tepla • 4. člen - práce vykonaná na objem, elementu tlakovými silami (normálovými i tečnými) • členy na pravé straně - práce vykonaná na objem, elementu el. silami existujícími v referenčním systému pohybujícím se celkovou střední rychlostí u. Tyto členy mohou být dále zkombinovány Viz níže) Před další úpravou si uvědomme, že hustota el. proudu se skládá ze dvou částí j = ^2 n«^«u«= 5ľ n«^«w«+5ľ n«^«u =j/+pui (8-44 a a a kde pu je hustota el. proudu konvekčm, tj. tok prostorového náboje s rychlostí u a ľ je hustota el. proudu vodivostní, tj. hustota el. proudu v systému pohybujícím se rychlostí u. Na druhé straně můžeme psát u-ÍJxB) = -J-íuxB) = -J/-íux B). Í8.45 Dosazením obou horních výrazů do rce energie dostaneme D ,3p, + 3pv.u + v.q+(?.V)iU = j/iE/) (8_46 Dť2' 2 kde E' = E + u x B je el. pole existující v souř. systému pohybujícím se rychlostí u. Clen J' • E' představuje tedy rychlost změny hustoty energie díky Joulovskému ohřevu. 8.5 Elektrodynamické rovnice pro vodivou kapalinu Makroskopické transportní rovnice pro vodivou kapalinu netvoří uzavřený systém (podobně jako u transportních rovnic pro jednotlivé typy částic). Navíc obsahují elektrodynamické veličiny E, B, J a p => kromě hydrodynamických transportních rovnic potřebujeme elektrodynamické rovnice. 8.5.1 Maxwellovské rovnice rotace V x E = —— (8.47 dt r) E V x B = /i0(J + co—) (8.48 8.5.2 Zákon zachování el. náboje získáme z rovnice kontinuity pro jednotlivé typy částic vynásobení rovnice výrazem qal™a a sumací přes všechny částice: -^(Y) naQa) + V • (V] naqaua) = YV—)5a, (8.49 ot *-^ *-^ *-^ ma a a a z čehož 9 + V • J = 0 (8.50 dt Musíme si uvědomit, že tato rovnice se dá odvodit i z Maxwell, rce (8.47) a z Maxwell, rovnice pro divergenci E V-E = —. (8.51 co Vezmeme divergenci (8.48 V-J + e0|r(V-E) = 0, (8.52 Ol zkombinujeme s (8.51) a dostáváme (8.50). =>• rovnice (8.51) tedy není nezávislá na rovnici (8.50). Dále si uvědomíme, že uděláme-li divergenci vztahu (8.47), dostaneme ^(V • B) = 0 (8.53 neboli V • B = konst. (8.54 Takže Maxwellova rovnice V • B = 0 (8.55 je vlastně počáteční podmínkou rovnice (8.47). 8.5.3 Zobecněný Ohmův zákon Postupujeme stejně jako u zákona zach. el. náboje - vezmeme pohybovou rovnici (zákon zach. hybnosti pro jednotlivé typy částic, vynásobíme qal™a a sumujeme přes všechny částice: ^2naqa(—^) + ^2naqa(ua - V)ua = J^na(—)(F)a- (8.56 ot ^-^ ^-^ ma a a a "V • [V(^)PJ + V(^)AQ - V(^KSQ (8.57 a a a Úprava druhého členu na pravé stranč rovnice (8.56): Definujeme tenzor elektrokinetického tlaku V^ pro částice a Va=(—)Va = naqa(VaVa a pro plazma jako vodivou kapalinu máme analogicky a-a a Tedy -v-E(—)^a] = -v-^+v-(x; a a na Úprava čtvrtého členu na pravé straně rovnice (8.56): Použijeme rovnici kontinuity aua = wQ + u - ^2(—)uaSa = - ^2 w^Ánaqa) - ^2 W«[V • (naqawa)} - ma ^-^ at a a a ^2 W«[V • k?aU)] - U— - U(V • J a Podobně první a druhý členu na levé straně rovnice (8.56) upravíme jako: ^2 naQa—^ + ^2(naqawa • V)wa + ^2(naqau • V) • wa + p—- + (J.V)u a a a Zjednodušení celé rovnice (8.56): Použijeme následující vztah pro dva vektory: V • (ab) = b(V • a) + (a • V)b, využijeme vyjádření hustoty el. proudu (8.44) a předchozí zjednodušené výrazy: J + V-(uJ' + Ju) + V-P£ = Vna(^) Vna(^{F)a = Vna(^)[qa(E + uax B)] f <* nm f * nm ma — ™>a a a = e2(^ + ^L)E + e'i—Ui + ^ue) x B. rrii me ttíí me V něm nahradíme ue a u^ ze vztahů (8.70) a (8.69) a zjednodušíme Tento vztah dále zjednodušíme za použití následujících aproximací (rrii ^> me, ne 1 1 1 — — r^j m?; me 77 n, ne + — r^j n m?; vrie vrie n% ne + — r^j n takže máme VE = — (e/mP)Ve a z (8.73 me rrii me ,2 Vn«(—) me. Nyní můžeme použít výsledky z (8.71), (8.77) a (8.80) a dosadit je do (8.65 81 e + V • íuJ' + JU) - ^V • V = dt me ne2 ,„ „, e E + uxB-------J x B - veiJ. er me rne Protože jsme předpokládali ne = rti, musí p = 0 a J = J'. V určitých situacích se dá předpokládat že J a u jsou malé perturbace, a proto je jejich součin zanedbatelný. Dále zavedeme označení 9 ne o-o =--------, 8.82 meve% což představuje "podélnou el. vodivost Pak dostáváme z (8.81) 777/ u J 1 11 V-Pp = E + uxB-------JxB------J. (8.83 ve ne2 dt ne ne cfq Tato rovnice se nazývá zobecněný Ohmův zákon. V magnetohydrodynamice se obvykle členy na levé straně zanedbávají, což ovšem není vždy dost dobře zdůvodnitelné. Pokud se J nemění v čase, tj. za ustálených podmínek, máme dJ/dt = 0. Pokud dále předpokládáme, že jsou zanedbatelné prostorové změny tlaku, tj. V • Ve = 0, pak dostáváme zjednodušení J = a0(E + u x B) - — J x B. (8.84 ne Poslední člen v této rovnici vyjadřuje Hallův jev. Tento člen je malý pokud cto|B| ^ ne. Pak J = a0(E + uxB) (8.85 a bez přítomnosti mg. pole J = a0E, (8.86 což je obecně známý Ohmův zákon. 8.6 Zjednodušené magnetohydrodynamické rovnice Rovnice kontinuity, zjednodušená pohybová rovnice, adiabatická rovnice energie, Maxwellovy rovnice pro el. intenzitu a mg. indukci (zde zenadbáváme čas. změnu el. intenzity) a zjednodušený Ohmův zákon: ^ + V • (pmu) = 0 (8.87 Pm-^ = J x B - Vp (8.88 dp = V^dpm (8.89 ^ ^ dB V x E = —— 8.90 dt v V x B = ^0J (8.91 J = a0(E + u x B) - —J x B (8.92 ne