Zápočtové příklady ze fyziky pevných látek 2007/2008
1     Struktura a rentgenová difrakce
1.1     Rhombododecahedron a zóny krystalografických rovin (3b.)
(a) Určete Millerovy indexy dvanácti stěn rhombododecahedronu (viz obrázek). Souřadnicový systém je definován pomocí a\ = ü2 = (23, «i = «2 = «3 = 90°. Spočtěte úhly mezi fazetami rhombododecahedronu.
a3Í
(b) Najděte nutnou podmínku pro to, aby tři roviny s Millerovými indexy (hi, ki, h), (h2,k2,h) a (/13, ^35/3) patří stejné zóně, t.j. jsou rovnoběžné se stejným směrem.
1.2     Krystalografické grupy v rovině (3b.)
Najděte operace symetrie a elementární buňky dvojrozměrných struktur z obrázku.
1.3     Struktura kalcitu (4b.)
Načrtněte projekce struktury kalcitu ve směrech [100] a [210]. Spočtěte nejkratší C-0 a Ca-0 vzdálenosti a O-Ca-0 úhly. Kalcit krystalizuje v krystalografické grupě R3c s parametry a = 4.990 Á, c = 17.002 Á, Z=6. Atomy jsou v těchto polohách: 6 Ca atomů v poloze a, 6 C atomů v polohách b, 18 O atomů v polohách e; x = 0.257. Popis krystalografické grupy R3c lze nalézt například na http://cst-www.nrl.navy.mil/lattice/struk/caco3.html.
1.4     Reciproké mřížky a 1. Brillouinova zóna kubických mřížek (4b.)
Najděte reciproké mřížky a první Brillouinovu zónu pro kubické mřížky - prostou, prostorově centrovanou a plošně centrovanou. Porovnejte rozměry první Brillouinovy zóny prosté mřížky s mřížkovým parametrem a = 3 Á a vlnová čísla typická pro viditelné a RTG záření. Najděte souvislost objemu primitivní buňky přímé a reciproké mřížky. Pozn.: Tato souvislost je obecná a lze ji nejsnadněji získat přímo pomocí definice reciproké mřížky.
1.5     Difrakce na zadané mřížce (5b.)
Máme zadanou krystalovou mřížku s rozměry a = 5, b = 10, c = 15 Á, a = ß = 90°, 7 = 120° a záření s vlnovou délkou A = 1.5418 Á (záření CuKa):
(a)  Určete parametry reciproké mřížky a*, &*, c*, a*,/3*, 7* a objem přímé a reciproké elementární buňky.
(b)   Spočtěte mezirovinnou vzdálenost d a difrakční úhel 0 pro difrakční roviny (321).
(c)   Předpokládejme, že dopadající svazek je kolmý na osu c. Určete graficky pomocí Ewaldovy konstrukce orientaci krystalu ve které se pozoruje difrakce (320). Tato orientace může být definována úhly mezi dopadajícím svazkem So a vektory a* ab*. Spočtěte tyto úhly.
(d)  Určete maximální počet Braggových difrakcí, které mohou být pozorovány CuKa zářením.
(e)  Určete maximální hodnoty Laueho indexů pozorovatelné difrakce hmax, /cmax, ^max-
1.6     Analýza práškové difrakce (4b.)
V tabulce jsou výsledky měření práškové difrakce čtyř kubických materiálů měřených zářením CuKa s vlnovou délkou A = 1.5418 Á. Braggovy úhly jsou naměřené s přesností 0.01°; intenzity jsou normovány tak, že nejsilnější difrakce má intenzitu / = 100. Určete Laueeho difrakční indexy jednotlivých difrakční typ Bravaisovy mřížky.
NaCl                   CuZn                     W                        Si
Line No.	on	/	0[°]	/	0[°]	/	0[°]	/
1	13.68	13	15.15	6	20.15	100	14.23	100
2	15.86	100	21.75	100	29.16	15	23.67	55
3	22.74	55	26.93	1	36.63	23	28.08	30
4	26.95	2	31.53	15	43.55	8	34.60	6
5	28.26	15	35.76	2	50.38	11	38.22	11
6	33.14	6	39.85	29	57.53	4	44.06	12
7	36.57	1	47.72	5	65.69	18	47.52	6
8	37.69	11	51.65	1	76.99	2	53.42	3
9	42.03	7	55.81	8			57.11	7
10	45.25	1	60.13	1			63.86	8
1.7    Difrakce na různých fázích BaTiC>3 (2b.)
Při teplotách nad 120 °C je struktura BaTiC>3 kubická, krystalová grupa Pm3m, a ~ 4Á. Při teplotě 120 °C dochází k fázovému přechodu a krystal se stane feroelektrickým. Mezi teplotami 0°C a 120 °C má krystal tetragonální strukturu, prostorová grupa P4mm, a = 3.99, c = 4.03 A (při pokojové teplotě). Tento přechod může být pozorován práškovou difrakcí, protože určité difrakční čáry se rozštěpí při změně struktury z kubické na tetragonální. Určete které to jsou.
2     Elektronová struktura
2.1     Tepelná vodivost (10b.)
Přibližným řešením Boltzmannovy kinetické rovnice pro rozdělovači funkci f(r,v) elektronu v elektronovém plynu v aproximaci relaxačního času
°Ĺ + °Ĺ.v + °Ĺ.a = -ĽJ°
dt      dr          dv                 t
spočtěte tepelnou vodivost elektronového plynu v Sommerfeldově modelu. Rovnovážná rozdělovači funkce bez přítomnosti gradientu teploty je označena /o, a značí zrychlení způsobené případnými externími silami, které ovšem v našem případě neuvažujeme. Porovnejte výsledek s tepelnou vodivostí v Drudeho modelu kovu a s tabulkovými hodnotami pro reálné kovy.
2.2     Metoda těsné vazby pro p—pásy ve čtvercové mřížce (6b.)
Uvažujme o dvourozměrné čtvercové mřížce s jednoatomovou bází. Najděte disperzní relace pásů odvozených z dvakrát degenerovaných p-orbitalů px a py. Vlnové funkce těchto orbitalů mají tvar tpPx (x, y) = x f(\/x2 + y2) a ipPy{x,y) = y f(\/x2 + y2)- Při výpočtu se omezte pouze na maticové elementy mezi nejbližšími sousedy a matici překryvových integrálů aproximujte jednotkovou maticí. Pásové schéma zobrazte podél lomené čáry M — T — X.
2.3     Metoda těsné vazby pro s—pásy v bcc mřížce (5b.)
Uvažujme o kubické prostorově centrované mřížce s jednoatomovou bází. Najděte disperzní relace pásů odvozených z s-orbitalů. Při výpočtu se omezte pouze na maticové elementy mezi nejbližšími sousedy a matici překryvových integrálů aproximujte jednotkovou maticí. Pásové schéma zobrazte podél lomené čáry L-r-X-K-r.
2.4     Metoda těsné vazby pro s—pásy v diamantové mřížce (7b.)
Uvažujme o diamantové s jednoatomovou bází. Najděte disperzní relace pásů odvozených z s-orbitalů. Při výpočtu se omezte pouze na maticové elementy mezi nejbližšími sousedy a matici překryvových integrálů aproximujte jednotkovou maticí. Pásové schéma zobrazte podél lomené čáry L — T — X — K — T.
2.5     Termodynamické vlastnosti elektronového plynu (7b.)
(a)  Ukažte, že kinetická energie trojrozměrného elektronového plynu o N elektronech při nulové teplotě je U0 = f NeF.
(b)   Odvoďte vztah spojující tlak a a objem elektronového plynu při nulové teplotě. Pomůcka: Použijte předchozí vztah a relaci mezi ep a elektronovou koncentrací. Výsledek může být zapsán ve formě
P — 3 V ■
(c)   Ukažte, že objemový modul pružnosti B = —V-^ elektronového plynu při nulové teplotě je
o _  5           IOE/q
D —  riV —    9V   ■
(d)   Odhadněte příspěvek elektronového plynu k modulu pružnosti pro draslík a sodík.
2.6     Magnetorezistence systému se dvěma typy nositelů náboje (9b.)
Sommerfeldův model elektronového plynu nevedu k magnetorezistivitě v systému s jedním typem nositelů náboje. V přítomnosti dvou typů nositelů náboje je situace jiná. Předpokládejte systém s koncentrací elektronů n, jejich efektivní hmotností me a relaxačním časem re; koncentrací děr p, jejich efektivní hmotností rrih a relaxačním časem r/j. Použijte aproximace velmi silného magnetického pole loct ^> 1.
(a) Ukažte, že v této limitě ayx = (n — p)ec/B.
(b) Ukažte, že Hallovo elektrické pole je dáno vztahem
t-,                     r                     .   I     n                 P
ET
kde Q = uúct a že vymizí pokud n = p. (c) Ukažte, že efektivní vodivost ve směru x je
ö"eff =
ec ~B
n        V   \     ,         %
21 J}_,V_ Qe        Qh
Pokud n = p, pak a ~ B 2. Pokud n ^ p, a se saturuje pro silná magnetická pole.
2.7     Téměř volný elektron v čtvercové mřížce (5b.)
Předpokládejme elektrony v dvourozměrné čtvercové mřížce s velmi slabým periodickým potenciálem s periodou a = 5Á. Pro k vektory dalekou od hranice Brillouinovy zóny je vlnová funkce dobře aproximována rovinou vlnou. Předpokládejme, že chceme znát vlnovou funkci v Blochově tvaru ipk(r) = elk'ru(r). Jaké budou čtyři nejnižší energiové stavy pro k = (0.5Á-1;0)? Jaké budou odpovídající funkce u{r)l (Pozn. fi/2m = 3.806eVÁ2).
2.8     Efektivní hmotnost v prosté kubické mřížce (8b.)
Spočtěte tenzor efektivní hmotnosti (My) pro elektrony v prosté kubické mřížce v jednoduchém tésnovazebním pásu ve středu Brillouinovy zóny V (k = (0,0,0)), ve středu stěny X (k = (1,0,0)), ve středu hrany M (fc = (1,1,0)) a ve vrcholu Brillouinovy zóny L (fc = (1,1,1)). Diskutujte užitečnost aproximace efektivní hmotnosti v bodě M. (Pozn. Jednoduchý těsnovazební pás vznikne z s-orbitalů).
2.9     Dvojrozměrný elektronový plyn (7b.)
Volný pohyb elektronů může být omezen v určitém směru vhodným potenciálem. Předpokládejme elektronový plyn ve vnějším potenciálu: V = 0 pro \z\ < d/2 a V = Vq pro \z\ > d/2. Jaká je hustota stavů jako funkce energi pro Vq —>■ oo? (Diskutujte, jak bude vypadat pro velké a malé energie.) Předpokládejme d = 100 Á. Do jaké teploty se elektrony budou chovat jako dvojrozměrné? Pokud bude potenciál Vq = 100 me V a teplota 20 mK, jaká tloušťka d je dosažitelná pro studium dvojrozměrného elektronového plynu? (Pozn. Dvojrozměrný elektronový plyn je možné vytvořit v polovodičových součástkách a je používán pro studium kvantového Hallova jevu a jiných jevů.)
3    Fonony
3.1     Hustota stavů akustické fononové větve (7b.)
Nechť je disperzní relace některé akustické fononové větve dána vztahem
w(<?) = Wo,,
D
J>2f.
Numerickým výpočtem zjistěte hustotu stavů od této akustické větve pro dimenzi mřížky D = 1,2,3. Tuto hustotu stavů srovnejte s Debyeovým modelem.
3.2    Atomové vibrace v kovech (8b.)
Předpokládejme bodové ionty o hmotnosti M a náboji e v homogenním moři vodivostních elektronů. Ionty jsou ve stabilní rovnováze pokud se nacházejí v mřížových polohách. Pokud je jeden iont vychýlen ze své rovnovážné polohy o malou vzdálenost r, síla vracející jej do rovnovážné polohy je převážně dána elektrickým nábojem uvnitř koule o poloměru r se středem v mřížové poloze. Předpokládejte koncentraci iontů (a tedy i vodivostních elektronů) ve tvaru 4^3-, čímž je definována veličina R.
(a)  Ukažte, že frekvence kmitů jednoho iontu je u = y jj^-
(b)   Odhadněte tuto frekvenci pro sodík.
(c)   S použitím těchto výsledků řádově odhadněte rychlost zvuku v kovu.
3.3     Kmity mřížky při nulové teplotě (8b.)
(a)  Ukažte, že střední kvadratická výchylka atomů v Debyeově aproximaci je při nulové teplotě rovna (R2) = stt'^v^ > ^de v Je rycnl°st zvuku.
(b)  Ukažte, že (R2) diverguje v jednodimensionální mřížce, ale střední hodnota kvadrátu elastické deformace je konečná.
Návod k postupuje možné nalézt v příkladu 3 k páté kapitole v Kittelově učebnici (strana 128 v osmém anglickém vydání).
3.4     Tepelná kapacita vrstevnaté mříže (9b.)
(a)  Předpokládejte dielektrický krystal tvořený vrstvami atomů s pevným spojením mezi vrstvami. Pohyb atomů je omezen pouze ve rovině vrstvy. Ukažte, že tepelná kapacita kmitů mříže je v Debyeově aproximaci a limitě nízkých teplot úměrná T2.
(b)  Předpokládejte, že vrstvy jsou vázány slabě, jak je tomu v mnoha případech. Jaké chování tepelné kapacity budete očekávat při nízkých teplotách?
3.5     Trojosý neutronový spektrometr (3b.)
Trojosý neutronový spektrometr umožňuje detekci neelastickeho rozptylu neutronů a používá se například k měření fononových disperzních relací. Trojosý spektrometr se skládá ze tří nezávislých os rotace vzorkem monochromátizačním a analyzačním krystalem.
Monochromator                        Anaiyzer
Neelastický rozptyl neutronů je měřen s dopadajícím svazkem neutronů o vlnové délce A = 2.502 ± 0.002 Á. Analyzační krystal umožňuje rozlišení s přesností 6X/X = 10~3. Jaké je energiové rozlišení spektrometru v této konfiguraci?