Obecné rovnice pro optická vlákna
Z Maxwellových rovnic pro téměř homogenní dielektrikum bez volných nábojů
.E  0 .B = 0
 × E = -B,t  × B = E,t
vyplývá
 =
n2
c2
,tt
kde  může označovat libovolnou složku vektoru E nebo B.
Řešení hledáme ve tvaru
 = 0
(r, ) eit-z
 = i +   i,  reprezentuje útlum.
,t = i  ,z = - 
,tt = -2
 ,zz = 2

Dále označím H  (n/c)2
+ 2
= k2
0n2
+ 2
, použijeme separaci proměnných
0
= R(r) () a skutečnost, že funkce  je periodická s periodou 2.
,rr +
1
r
,r +
1
r2
, + 2
 = -2 n2
c2

r2 R,rr
R
+ r
R,r
R
+
,

+ r2
H = 0
,

= -l2
l  Z
r2
R,rr + rR,r + (r2
H2
- l2
)R = 0
(V obecném případě H závisí na indexu lomu, je tedy také funkcí r, což poslední uvedenou
rovnici komplikuje.) Důležitou skutečností je spojitost tečných složek intenzity
elektrického a magnetického pole v celém vlákně, tedy i na hranici jádra a pláště.
Označím n1 maximální index lomu ve středu jádra, n2 index lomu pláště, h2
 k2
0n2
1 +
2
 k2
0n2
1 - 2
, h2
2  k2
0n2
2 + 2
 k2
0n2
2 - 2
.
Zářivé módy: h2
2 > 0, tj. 2
< n2
2k2
0
Vedené módy: h2
2 < 0  h2
> 0, tj. n2
1k2
0 > 2
> n2
2k2
0.
1
Předpokládejme, že známe řešení Ez a Bz. Pro výpočet ostatních složek vektorů E a B
je možné použít pár Maxwellových rovnic obsahující rotace:
1
r
Ez, + E = -iBr
1
r
Bz, + B = i
n2
c2
Er
Er + Ez,r = iB Br + Bz,r = -i
n2
c2
E
E,r +
1
r
E - Er, = -iBz B,r +
1
r
B - Br, = i
n2
c2
Ez
Z těchto rovnic je mimo jiné vidět, že Ez i Bz musí mít stejný řád l. Při výpočtu Er lze
postupovat:
i
n2
c2
Er =
1
r
Bz, +

i
(Er + Ez,r)
iEr
n2
c2
+
2

=
1
r
Bz, - i


Ez,r
Er k2
0n2
+ 2
= -
i
r
Bz, - Ez,r
Er = -
i
rH2
Bz, -

H2
Ez,r
Er =
l
rH2
Bz -

H2
Ez,r
Analogicky se odvodí:
E =
i
H2
Bz,r -
il
rH2
Ez
Br = -
ln2
rH2c2
Ez -

H2
Bz,r
B = -
in2
H2c2
Ez,r -
il
rH2
Bz
2
Step-index fiber
Označení:
 = ei(t+l)-z
h2
= k2
0n2
1 + 2
 k2
0n2
1 - 2
q2
= -(k2
0n2
2 + 2
)  2
- k2
0n2
2
J
l(x) =
d Jl(x)
dx
K
l(x) =
d Kl(x)
dx
Výsledné elektrické a magnetické pole:
r  a r  a
-1
Ez = A Jl(hr) -1
Ez = C Kl(qr)
-1
Er = B
l
h2
1
r
Jl(hr) - A

h
J
l(hr) -1
Er = -D
l
q2
1
r
Kl(qr) + C

q
K
l(qr)
-1
E = -A
il
h2
1
r
Jl(hr) + B
i
h
J
l(hr) -1
E = C
il
q2
1
r
Kl(qr) - D
i
q
K
l(qr)
-1
Bz = B Jl(hr) -1
Bz = D Kl(qr)
-1
Br = -A
l
h2
n2
1
c2
1
r
Jl(hr) - B

h
J
l(hr) -1
Br = C
l
q2
n2
2
c2
1
r
Kl(qr) + D

q
K
l(qr)
-1
B = -B
il
h2
1
r
Jl(hr) - A
i
h
n2
1
c2
J
l(hr) -1
B = D
il
q2
1
r
Kl(qr) + C
i
q
n2
2
c2
K
l(qr)
Ze spojitosti Ez, E, Bz a B na rozhraní plyne
A Jl(ha) = C Kl(qa)
B Jl(ha) = D Kl(qa)
A
l
(ha)2
Jl(ha) - B

ha
J
l(ha) = -C
l
(qa)2
Kl(qa) + D

qa
K
l(qa)
A

ha
n2
1
c2
J
l(ha) + B
l
(ha)2
Jl(ha) = -C

qa
n2
2
c2
K
l(qa) - D
l
(qa)2
Kl(qa)
tj. v netriviálním případě
C
A
=
Jl(ha)
Kl(qa)
B
A
=
l

1
(ha)2
+
1
(qa)2
J
l(ha)
ha Jl(ha)
+
K
l(qa)
qa Kl(qa)
-1
D
A
=
Jl(ha)
Kl(qa)
B
A
J
l(ha)
ha Jl(ha)
+
K
l(qa)
qa Kl(qa)
n2
1 J
l(ha)
ha Jl(ha)
+
n2
2 K
l(qa)
qa Kl(qa)
= -
lc

1
(ha)2
+
1
(qa)2
2
3
Lineárně polarizované módy ve vláknu se skokovou změnou indexu lomu
Přibližné řešení vycházející z předpokladu n1 - n2  n1
Ex = 0
Ey =



A Jl(hr) ei(l+t-z)
r  a
B Kl(qr) ei(l+t-z)
r  a
Maxwellovy rovnice říkají:
iEy + Ez,y = -iBx iBy + Bz,y = 0
Ez,x = iBy Bz,x + iBx = -i
n2
c2
Ey
Ey,x = -iBz By,x - Bx,y = i
n2
c2
Ez
Protože V je malé (n1 - n2  n1), je   h, q a Ez  Ey. Členy Ez,y a Ez,x se proto dají
zanedbat, což vede k By  0.
Využije se
J
l =
1
2
(Jl-1 - Jl+1) K
l = -
1
2
(Kl-1 + Kl+1)
Řešení:
r  a r  a
Ex = 0 Ex = 0
Ey = A Jl(hr) ei(l+t-z)
Ey = B Kl(qr) ei(l+t-z)
Ez =
hA
2
Jl+1(hr) ei(l+1)
+ Ez =
qB
2
Kl+1(qr) ei(l+1)
+
Jl-1(hr) ei(l-1)
ei(t-z)
- Kl-1(qr) ei(l-1)
ei(t-z)
Bx = -
A

Jl(hr) ei(l+t-z)
Bx = -
B

Kl(qr) ei(l+t-z)
By  0 By  0
Bz = -
ihA
2
Jl+1(hr) ei(l+1)
- Bz = -
iqB
2
Kl+1(qr) ei(l+1)
+
- Jl-1(hr) ei(l-1)
ei(t-z)
+ Kl-1(qr) ei(l-1)
ei(t-z)
4