10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce

   

   10.1. Definice: Definice pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné
   veličiny.

   

   10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která má
   rozložení: a) Po(λ), b) Bi(n,), c) Ge().

   

   Řešení:

   ad a) ,

   ad b) ,

   ad c) ,

   .

   

   10.3. Věta: Výpočet pravděpodobnostní funkce pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce.

   

   10.4. Věta: Výpočet střední hodnoty a rozptylu  pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce.

   

   10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl
   náhodné veličiny X ~ Po(λ).

   

   Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) g[X](z) = e^λ(z-1).

   .

   .

   

   10.6. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci součtu n stochasticky nezávislých
   celočíselných nezáporných náhodných veličin.

   

   10.7. Příklad: Nechť X[1], ..., X[n] jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, X[i] ~ A(),

   i = 1, 2, .., n. Najděte pro pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné
   veličiny .

   Řešení: X[i] ~ A() , . Podle věty 10.6. platí:

   ~ Bi(n,)

   

   10.8. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných
   nezáporných náhodných veličin.

   

   10.9. Příklad: Nechť X[1], X[2] jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž

   X[i] ~ Bi(n,), i = 1, 2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny

   Y = X[1] + X[2].

   Řešení: ,

   k = 0, 1, ..., 2n. Znamená to, Y  ~ Bi(2n,).

   

   10.10. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny S, která je náhodným součtem
   náhodného počtu stochasticky nezávislých celočíselných nezáporných náhodných veličin.

   

   10.11. Definice: Definice složeného rozložení.

   

   10.12. Příklad: Nechť X[1], X[2], ... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž
   X[i] ~ A(), i = 1, 2, ... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(λ).
   Najděte rozložení náhodné veličiny S = X[1] + ... + X[N].

   Řešení:

   

   S ~ Po(λ).

   

   10.13. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S.

   

   10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní
   vytvořující funkci.

   Řešení: X[i] ~ A() ,

   N ~ Po(λ) , g[S](z) = g[N](g[X](z)) =  S ~ Po(λ).

   

   10.15. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny S .