13. Galtonův – Watsonův proces větvení

   

   13.1. Definice: Definice Galtonova – Watsonova procesu větvení.

   

   13.2. Označení: Označení pro počet potomků k-tého jedince v n-té generaci.

   

   13.3. Věta: Věta o pravděpodobnostech přechodu.

   

   13.4. Příklad: Nechť  je Galtonův – Watsonův proces větvení s množinou stavů J = {0, 1, 2,
   ...} a vektorem počátečních pravděpodobností p(0) = ( 1/4,  1/4 ,  1/2 , 0, ...). Najděte
   matici přechodu P.

   

   Řešení:

   

   13.5. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X[n].

   

   13.6. Příklad: Nechť  je Galtonův – Watsonův proces větvení, přičemž pravděpodobnostní
   vytvořující funkce náhodné veličiny X[1] má tvar , kde 0 < α, β < 1 jsou
   konstanty. Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X[n].

   Řešení:

   Obecně: pro n = 1, 2, ...

   

   13.7. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny X[n].

   

   13.8. Příklad: Pro zadání příkladu 13.4. vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu potomků
   v n-té generaci.

   Řešení:

   ,

   

   13.9. Věta: Věta o pravděpodobnost vyhynutí v n-té generaci.

   13.10. Věta: Věta o limitní hodnotě pravděpodobnosti vyhynutí v n-té generaci.

   

   13.11. Příklad: Pro Galtonův – Watsonův proces z příkladu 13.4. najděte limitní hodnotu
   pravděpodobnosti vyhynutí.

   Řešení:

   V příkladu 13.8. bylo vypočteno, že . Protože , podle tvrzení b) věty 13.10. , kde  je
   nejmenší kladný kořen rovnice z = g[X](z) =

   . Podmínku splňuje kořen  1/2, tedy limitní hodnota pravděpodobnost i vyhynutí je 0,5.

   

   13.12. Poznámka: Zobecnění  na případ, kdy nultá generace je tvořena k[0] ≥ 1 jedinci.