2. Funkcionální charakteristiky stochastických procesů

   

   

   2.1. Definice: Definice střední hodnoty a rozptylu SP, definice centrovaného a
   standardizovaného SP

   

   2.2. Příklad: Nechť náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) = 2 a rozptyl D(X) = 9.
   Zavedeme SP , kde X[t] = X.cos ωt, ω > 0 je konstanta. Najděte střední hodnotu a
   rozptyl tohoto SP.

   Řešení:

   

   2.3. Poznámka: Další funkcionální charakteristiky stochastického procesu

   

   2.4. Definice: Definice autokovarianční a autokorelační funkce SP

   

   2.5. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce SP

   

   2.6. Příklad: Najděte autokovarianční a autokorelační funkci SP z příkladu 2.2.

   Řešení:

   

   2.7. Věta: Věta o střední hodnotě a autokovarianční funkci transformovaného SP

   

   2.8. Definice: Definice slabě stacionárního SP

   

   2.9. Poznámka: Vztah mezi striktní a slabou stacionaritou SP, zavedení autokovarianční funkce
   slabě stacionárního SP

   

   2.10. Věta: Věta o vlastnostech autokovarianční funkce slabě stacionárního SP

   

   2.11. Příklad: Nechť Y, Z jsou standardizované náhodné veličiny (tj. E(Y) = 0, E(Z) = 0, D(Y)
   = 1, D(Z) = 1), které jsou stochasticky nezávislé.

   Zavedeme SP , kde X[t] = Y.cos ωt + Z.sin ωt, ω > 0  je konstanta. Najděte
   střední hodnotu a rozptyl tohoto SP a ukažte, že je slabě stacionární.

   Řešení:

   Aby byl SP slabě stacionární, musí mít konstatntní střední hodnotu, konečný rozptyl a pro jeho
   autokovarianční funkci musí platit γ(h) = γ(t, t+h). První dvě podmínky jsou
   splněny, ověříme třetí:

   

   2.12. Věta: Věta o vlastnostech autokorelační funkce slabě stacionárního SP

   

   2.13. Příklad: Nechť je dán SP , kde náhodné veličiny  jsou stochasticky nezávislé a mají
   všechny stejnou distribuční funkci Φ(x). Určete střední hodnotu, rozptyl a autokorelační
   funkci tohoto SP.

   Řešení: Protože náhodné veličiny X[t], tT mají všechny stejnou distribuční funkci Φ(x),
   mají i stejnou střední hodnotu  a stejný rozptyl . Dále opočítáme autokovarianční funkci .
   Jedná se tedy o slabě stacionární SP. Nyní spočteme autokorelační funkci . Znamená to, že
   neexistuje žádná závislost mezi realizacemi SP ve dvou různých okamžicích.