5. Stacionární a limitní rozložení homogenních markovských řetězců

   

   5.1. Definice: Definice stacionárního vektoru

   

   5.2. Příklad: Najděte stacionární vektor stochastické matice

   Řešení: a = aP, a[1] + a[2] + a[3] = 1

   (a[1], a[2], a[3]) = (a[1], a[2], a[3])

   +--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |a[1] + a[2] + a[3] = 1                        |a[1] + a[2] + a[3] = 1                       |
   |                                              |                                             |
   |                                              |                                             |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   a = (0,211; 0,316; 0,474)

   

   5.3. Definice: Definice stacionárního rozložení homogenního markovského řetězce

   

   5.4. Věta: Věta o existenci limity vektoru absolutních pravděpodobností

   

   5.5. Příklad: Máme černou a bílou urnu a pět koulí. Na počátku pokusu jsou všechny koule
   v černé urně. V každém kroku pokusu náhodně vybereme jednu kouli, přičemž výběr každé koule je
   stejně pravděpodobný a přemístíme ji do druhé urny. Zavedeme homogenní markovský řetězec
    s množinou stavů J = {0,1, ..., 5}, kde X[n] = j, když po n-tém kroku bude v černé urně právě
   j koulí.

   a) Najděte matici přechodu a nakreslete přechodový diagram.

   b) Najděte stacionární rozložení tohoto řetězce.

   c) Vypočtěte střední hodnotu počtu koulí v černé urně po stabilizaci pokusu.

   

   Řešení:

   ad a) 

   

   ad b) (a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5]) = (a[0], a[1], a[2], a[3], a[4], a[5])

   

   a[1] = 5a[0], a[2] = 10a[0], a[3] = 10a[0], a[4] = 5a[0], a[5] = a[0

   ]Protože a[0] + a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] = 1, dostáváme a[0] + 5a[0] + 10a[0] + 10a[0]
   + 5a[0] + a[0] = 1 

   Stacionární rozložení: a =

   ad c)

   Výsledek je ve shodě s očekáváním, že po dostatečně velkém počtu pokusů bude v obou urnách
   v průměru stejný počet koulí.

   

   5.6. Poznámka: Pro daný homogenní markovský řetězec příslušné stacionární rozložení nemusí
   existovat.

   

   5.7. Definice: Definice limitního rozložení a ergodického řetězce

   

   5.8. Poznámka: Interpretace ergodického řetězce

   

   5.9. Věta: Věta o vztahu mezi limitním a stacionárním rozložením u ergodického řetězce

   

   5.10. Věta: Markovova věta

   

   5.11. Příklad: Uvažme provoz výrobní linky, která se může nacházet ve dvou stavech: v provozu
   (stav 1) nebo v opravě (stav 2). Dlouhodobým sledováním provozu výrobní linky se dospělo
   k následujícím závěrům: pokud se výrobní linka v jednom období nacházela v provozu, tak
   v následujícím období v 50% případů zůstala v provozu a v 50% případů se nacházela v opravě.
   Pokud se výrobní linka nacházela v jednom období v opravě, pak v dalším období zůstala v 75%
   případů v opravě a v 25% případů se vrátila do provozu.

   a) Modelujte tuto situaci pomocí homogenního markovského řetězce.

   b) Najděte matici přechodu P a nakreslete přechodový diagram.

   c) Najděte limitní rozložení daného homogenního řetězce a interpretujte ho.

   Řešení:

   ad a) , X[n] = j, když v n-tém období je linka ve stavu j, j = 1, 2.

   ad b)

   ad c) (a[1], a[2]) = (a[1], a[2]) , a[1] + a[2] = 1

   (1 – a[2], a[2]) = (1 – a[2], a[2]) 

   Znamená to, že po dostatečně dlouhé době bude linka v provozu s pravděpodobností 1/3 a
   v opravě s pravděpodobností 2/3.