Příklady na páté cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2007



   Příklad 1.: Řidič taxi dlouhodobým pozorováním zjistil, že když se v daném okamžiku nachází ve
   městě A, pak s pravděpodobností 0,3 poveze příštího zákazníka do města B a s pravděpodobností
   0,7 bude zákazník žádat jízdu uvnitř A. Jestliže se řidič taxi nachází ve městě B, pak se
   stejnou pravděpodobností buď poveze příštího zákazníka do A nebo bude jezdit uvnitř B.
   Průměrná tržba za jízdu (v obou směrech) mezi A a B činí 1000 Kč a uvnitř měst A a B 100 Kč.
   Vypočítejte střední hodnotu tržby za první dvě jízdy, vyjede-li řidič z města A resp. B.

   Řešení:

   Zavedeme HMŘ  s množinou stavů J = {0,1}, přičemž X[n] = 0 (resp. 1), když v okamžiku n je
   řidič ve městě A (resp. B). Matice .

   q[0] = 0,7.100 + 0,3.1000 = 370, q[1] = 0,5.1000 + 0,5.100 = 550

   q = , v(0) = .

   v(1) = q + P v(0) =

   v(2) = q + P v(1) = +  =

   Vyjede-li řidič z města A, bude mít za první dvě jízdy v průměru tržbu 794 Kč. Vyjede-li řidič
   z města B, bude mít za první dvě jízdy v průměru tržbu 1010 Kč.

   

   Návod na řešení v MATLABu:

   Zadáme matice P, R a vektor v0:

   P=[0.7 0.3;0.5 0.5]; R=[100 1000;1000 100];v0=[0 0]‘;

   Vypočteme pomocnou matici Q=P*R’;

   Diagonála matice Q je vektor q=diag(Q);

   Vypočteme vektor v1=q+P*v0

   Vypočteme vektor v2=q+P*v1

   

   Příklad 2.: Předpokládejme, že chovatel má slepici, která buď snáší vejce (stav 0) nebo sedí
   na vejcích (stav 1). Uvažujeme období o délce 1 měsíc. Matice přechodu a matice výnosů jsou:

   .

   a)      Pomocí vytvořujících funkcí najděte vektor středních hodnot celkových výnosů po n
   měsících.

   b)      Jaký je vektor středních hodnot celkových výnosů pro n = 1, 2, …, 24? Graficky
   znázorněte závislost středních hodnot celkových výnosů na n.

   

   Řešení:

   Zavedeme HMŘ  s množinou stavů J = {0,1}, přičemž X[n] = 0 (resp. 1), když v měsíci n slepice
   snáší vejce (resp. sedí na vejcích). Matice .

   q[0] = 0,6.8 + 0,4.2 = 5,6, q[1] = 0,3.3 + 0,7.(-6) = -3,3

   q = , v(0) = .

   = … =

    je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = n, n = 0, 1, 2, ...

   

    je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = , n = 0, 1, 2, ...

    je vytvořující funkce posloupnosti a[n] = , n = 0, 1, 2, ...

   Celkem:

   

   v(1) = , v(2) = , v(3) = , …, v(24) = .

   

   Návod na řešení v MATLABu:

   Zadáme vektor n: n=[0:1:24];

   Napíšeme vyjádření pro první složku vektoru v(n):

   v0n=n.*(36/70)+(10/7)*(1-0.3.^n)*(356/70)

   Napíšeme vyjádření pro druhou složku vektoru v(n):

   v1n=n.*(36/70)+(10/7)*(1-0.3.^n)*(-267/70)

   Graficky znázorníme závislost středních hodnot celkových výnosů na n:

   plot(n,v0n,’o’,n,v1n,’*’)

   

   Příklad 3.: Výrobce limonád pravidelně sleduje prodejnost nového výrobku na domácím trhu.
   Výrobek hodnotí v každém sledovaném období jako úspěšný (stav 0) nebo jako neúspěšný (stav 1),
   přičemž lze předpokládat, že úspěšnost či neúspěšnost prodeje v daném období je ovlivněna jen
   tím, jak se výrobek prodával v předchozím období. Dlouhodobým sledováním prodeje byly zjištěny
   tyto poznatky: pokud byl výrobek v jednom období úspěšný, pak v následujícím období bude
   úspěšný s pravděpodobností 0,8. Jestliže byl výrobek v jednom období neúspěšný, tak
   v následujícím období zůstane neúspěšný s pravděpodobností 0,7. Zůstává-li výrobek úspěšný, je
   výnos 10 jednotek. Změní-li se z úspěšného na neúspěšný, klesne výnos na 5 jednotek. Při změně
   z neúspěšného na úspěšný je výnos 10 jednotek a zůstává-li výrobek neúspěšný, dojde ke ztrátě
   20 jednotek.

   a) Modelujte proces pomocí homogenního markovského řetězce. Najděte matici přechodu a matici
   výnosů.

   b) Pomocí rekurentního vzorce v(n) = q + P v(n-1) vypočtěte pro oba stavy střední hodnotu
   celkového výnosu, který se získá za n období, n = 1, 2, ..., 6.

   c) Pomocí aproximačního vzorce v(n) ≈ (n-1)Aq + (I – (P – A))^-1q najděte přibližné
   vyjádření pro vektor středních hodnot celkových výnosů v(n). Pro n = 1, 2, ..., 6 porovnejte
   výsledky s přesným vyjádřením získaným v bodě (b).

   

   Řešení:

   ad a) Zavedeme HMŘ  s množinou stavů J = {0,1}, přičemž X[n] = 0 (resp. 1), když v n-tém
   období je výrobek úspěšný (resp. neúspěšný). Matice .

   

   ad b) Výpočet pomocí rekurentního vzorce:

   q[0] = 0,8.10 + 0,2.5 = 9, q[1] = 0,3.10 + 0,7.(-20) = -11

   q = , v(0) = .

   v(1) = q + P v(0) = , v(2) = q + P v(1) = , v(3) = q + P v(2) = ,

   v(4) = q + P v(3) = , v(5) = q + P v(4) = , v(6) = q + P v(5) =

   

   ad c) Výpočet pomocí aproximačního vzorce:

   Nejprve najdeme stacionární vektor a matice P (viz Příklady na druhé cvičení v počítačové
   učebně) a sestavíme limitní matici A = . Po dosazení do aproximačního vzorce získáme výsledky:

   v(1) = , v(2) = , v(3) = , v(4) = , v(5) = , v(6) =

   

   Je zřejmé, že aproximační vzorec je pro malá n nevhodný.