Příklady na první cvičení v počítačové učebně, SMI, PS 2007

   

   Příklad 1.: Je dán homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0,1,2}, vektorem
   počátečních pravděpodobností p(0) = (⅓, ⅓, ⅓) a maticí přechodu . Určete
   vektor absolutních pravděpodobností po jednom až  po čtyřech krocích.

   Řešení:

   

   Návod na řešení v MATLABu:

   P=[0.5 0.5 0;0 0 1;0.5 0.5 0];

   p0=[1/3 1/3 1/3];

   p1=p0*P

   p2= p0*P^2

   p3= p0*P^3

   p4= p0*P^4

   

   Nebo:

   p2=p1*P

   p3=p2*P

   p4=p3*P

   

   Příklad 2.: (Model mužských zaměstnání) Předpokládáme rozdělení mužských zaměstnání do tří
   tříd: vědečtí pracovníci, kvalifikovaní pracovníci, nekvalifikovaní pracovníci. Je známo, že
   80% synů vědeckých pracovníků se stane vědeckými pracovníky, 10% kvalifikovanými a 10%
   nekvalifikovanými pracovníky. Ze synů kvalifikovaných pracovníků 60% bude kvalifikovanými
   pracovníky, 20% vědeckými a 20% nekvalifikovanými pracovníky. Konečně v případě
   nekvalifikovaných pracovníků 50% synů bude nekvalifikovanými pracovníky, 25% kvalifikovanými a
   25% vědeckými pracovníky. Předpokládejme, že každý muž má syna. Jaká je pravděpodobnost, že
   vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?

   

   Řešení: Zavedeme homogenní markovský řetězec  s množinou stavů J = {0,1,2}, kde stav 0 znamená
   „vědecký pracovník“, stav 1 – „kvalifikovaný pracovník“, stav 2 – „nekvalifikovaný pracovník“.
   Náhodná veličina X[n] nabývá hodnoty j, když muž v n-té generaci má zaměstnání typu j. Nejprve
   sestavíme matici přechodu:

   . Zajímá nás pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým
   pracovníkem. Hledáme tedy prvek p[20](2) matice P^2.

   p[20](2) = p[20]p[00] + p[21]p[10] + p[22]p[020] = 0,25.0,8 + 0,25.0,2 + 0,5.0,25 = 0,375.

   

   Návod na řešení v MATLABu:

   P=[0.8 0.1 0.1;0.2 0.6 0.2; 0.25 0.25 0.5];

   P^2

   Dostaneme

   

   0.6850    0.1650    0.1500

   0.3300    0.4300    0.2400

   0.3750    0.3000    0.3250

   

   Hledaná pravděpodobnost je tedy 0,375.

   

   Příklad 3.: V příkladu 2 nyní předpokládejme, že muž má syna jen s pravděpodobností 0,8.
   Zaveďte nyní homogenní markovský řetězec se čtyřmi stavy – první tři jsou stejné jako
   v předešlé úloze a čtvrtý odpovídá případu, kdy muž nemá syna a proces končí. Jaká je
   pravděpodobnost, že vnuk nekvalifikovaného pracovníka se stane vědeckým pracovníkem?

   

   Řešení: Matice přechodu bude nyní řádu 4.

   .

   Opět nás zajímá prvek p[20](2) = 0,2.0,64 + 0,2.0,16 + 0,4.0,2 + 0,2.0 = 0,24

   

   Příklad 4.: (Klasifikace roků podle úrody jablek) V severní Nové Anglii můžeme klasifikovat
   roky podle úrody jablek jako úrodné, průměrné a neúrodné. Pravděpodobnost, že po úrodném roce
   bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,4; 0,4; 0,2. Pravděpodobnost, že
   po průměrném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je postupně 0,2; 0,6; 0,2.
   Pravděpodobnost, že po neúrodném roce bude následovat rok úrodný, průměrný, neúrodný, je
   postupně 0,2; 0,4; 0,4. Rok 1965 byl úrodný. Vypočtěte vektor absolutních pravděpodobností pro
   rok 1967.

   

   Řešení: Sestavíme matici přechodu

   . Vektor počátečních pravděpodobností je p(0) = (1, 0, 0). Hledáme vektor p(2) = p(0)P^2 =
   (0,28,  0,48,  0,24).

   

   Příklad 5.: V příkladu 4 předpokládejme, že pravděpodobnost, že rok bude úrodný, je  1/4,
   průměrný  1/2 a neúrodný  1/4. Jaký je vektor absolutních pravděpodobností pro příští rok?

   

   Řešení: Vektor počátečních pravděpodobností nyní bude p(0) = ( 1/4,  1/2,  1/4). Vypočteme
   vektor absolutních pravděpodobností p(1) = p(0)P = ( 1/4,  1/2,  1/4).

   

   Příklad 6.: Homogenní markovský řetězec  má množinu stavů  a matici přechodu .

   Je-li vektor počátečních pravděpodobností p(0) = (0,0,0,1), najděte vektor absolutních
   pravděpodobností po třech krocích.

   

   Řešení:

   Vektor absolutních pravděpodobností po třech krocích:

   p(3) = p(0)P^3 = (0,1162 0,3658 0,3838 0,1342)