SIGNÁLY A SOUSTAVY V MATEMATICKÉ BIOLOGII prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz X. SIGNÁLY DALŠÍ POJMY ENERGIE þ okamžitá práce vykonaná na odporu R: A(t) = u(t).i(t) þ podle Ohmova zákona: U = R.I, a tedy můžeme po dosazení psát A(t) = R.i(t) . i(t) = R.i^2(t) = u(t). u(t)/R. Když je R = 1 Ω je A(t) = i^2(t) = u^2(t) a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je energie þ z té úvahy energie spojitého signálu s(t) þ energie diskrétního signálu výkon þ výkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj. Korelační funkce þ vzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů (funkcí) o téže periodě T je definována þ popisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí þ je periodická s periodou T Korelační funkce þ Vypočtěte vzájemnou korelační funkci signálů s[1](t)=2cos2pt a s[2](t)=sin2pt. Oba signály mají tutéž periodu T=1, takže Korelační funkce þ výpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce þ Vypočtěte autokorelační funkci signálu s(t)=C.cos(ωt+φ) Korelační funkce þ vypočtená korelační funkce je: è sudá; è periodická s periodou T; è R(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu; è "tÎR: R(0)  R(). þ tyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů. Korelační funkce náhodných procesů þ korelační funkce R(t[1],t[2]) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t[1] a hodnotami náhodného procesu v okamžiku t[2]. Může být spočítána pomocí vztahu þ kovarianční funkce (covariance function) K(t[1],t[2]) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného procesu v okamžiku t[1] od m(t[1]) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t[2] od m(t[2]). Může být spočítána pomocí vztahu Korelační funkce náhodných procesů þ tyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů ß stacionarita ergodicita Stacionarita náhodného procesu zhruba: þ stacionární náhodný proces (stationary random proces) je proces se stálým chováním Stacionarita náhodného procesu přesněji: þ stacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách časových intervalů) þ v tom případě, tj. s t = t[2] – t[1], můžeme funkce p(x[1],x[2],t[1],t[2]), R(t[1],t[2]) a K(t[1],t[2]) nahradit funkcemi p(x[1],x[2],t), R(t) a K(t) Ergodicita náhodného procesu Ergodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu z jediné libovolné realizace þ aritmetický průměr nebo Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší. Ergodicita náhodného procesu þ disperze þ autokorelační funkce þ křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) Ergodicita náhodného procesu þ křížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) þ pro diskrétní případ souhlasný filtr zopakujeme (třeba pro diskrétní signál): þ konvoluce þ výstup lineárního systému y(nT) pomocí konvoluce vstupní posloupnosti x(nT) s impulsní charakteristikou h(nT) souhlasný filtr þ korelační funkce þ kdyby se signál z(kT) = h(-kT), tj. byl roven časově inverznímu průběhu impulsní odezvy filtru, pak konvoluční výpočet odezvy filtru představuje korelaci vstupního signálu s časově inverzním průběhem impulsní odezvy souhlasný filtr þ souhlasný (přizpůsobený) filtr (matched filter) je představován vzájemnou korelací známého signálu (šablony – template) se signálem ve kterém chceme detekovat přítomnost šablony. To je ekvivalentní konvoluci neznámého signálu s časově inverzním průběhem šablony þ souhlasný filtr je optimální lineární filtr, který maximalizuje poměr signál/šum (SNR – signal to noise ratio). þ použití: è radarová technika è detekce vln např. v signálu EKG nebo EEG; è zpracování obrazů (RTG, snímky očního pozadí, …) souhlasný filtr souhlasný filtr IX. VÝKONOVÉ SPEKTRUM SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA þ opakování è periodický signál SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA þ opakování è periodický signál Fourierova řada è neperiodický signál q s konečnou energií SPOJITÝ SIGNÁL þ Fourierova transformace Parsevalova věta SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE DISKRÉTNÍ SIGNÁL DISKRÉTNÍ SIGNÁL þ Wiener-Khinchinova věta: DISKRÉTNÍ SIGNÁL þ z toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodického signálu s konečnou energií lze spočítat dvěma způsoby: è přímá metoda: S[xx](f) = |X(f)|^2 = |T.Σx(nT).exp(-2πjfnT)|^2 è nepřímá metoda: 1) R[xx](mT) = T. Σx(nT). x(nT+mT); 2) S[xx](f) = ΣR[xx](mT).exp(-2πjfmT) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ (je to vůbec možné ?!?!?) SPOJITÝ SIGNÁL: není konečná energie Þ není definována F.T.  není F. spektrum NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ VÝKONOVÝ EXKURZ: střední výkon periodického signálu: neperiodický signál je takový periodický signál, jehož perioda T[0] ®  střední výkon neperiodického signálu je-li E< ¥, pak P  0 (nezajímavé); E> ¥, pak P=lim /  = K0, )  =   NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ þ spektrální hustota výkonu: þ Wiener-Khinchinovy vztahy: kde AKF náhodných stacionárních ergodických procesů NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ þ odhad pouze z konečného intervalu þ odhad spektrální hustoty výkonu ze signálu v konečném intervalu NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ þ DISKRÉTNÍ SIGNÁL è vzorkováním signálu x[a](t) vzorkovací frekvencí F > 2f[max]; è výsledná posloupnost x[nT] má N hodnot (0 £ n  N-1) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ è odhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda) è odhady AK posloupnosti: NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ þ periodogram (Schuster 1898) (přímá metoda) NEPARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA þ nekladou žádné požadavky na znalosti vlastností signálu; þ všechny uvedené metody vycházejí z konečné posloupnosti vzorků signálu Þ frekvenční rozlišovací schopnost je při nejlepším určena spektrální šířkou obdélníkového okna (všechny metody však snižují frekvenční rozlišení díky snaze o snížení rozptylu spektrálního odhadu) BARTLETOVA METODA þ rozdělení posloupnosti N vzorků na K nepřekrývajících se segmentů, každý o délce M x[i](nT) = x(nT+iMT), i=0, 1, …, K-1; n=0,1,…,M-1 þ pro každý segment se spočítá periodogram þ zprůměrněním periodogramů ze všech K segmentů dostaneme odhad výkonového spektra WELCHOVA METODA dvě modifikace Bartletovy metody þ překrývání segmentů x[i](nT) = x(nT+iDT), i=0, 1, …, K-1 (počet vzorků v segmentu); n=0,1,…,M-1(počet segmentů) pro D=M se segmenty nepřekrývají (dělení odpovídá B.m.) WELCHOVA METODA þ váhování vzorků v každém segmentu oknem před výpočtem periodogramů þ kde U je výkonový normalizační faktor okna daný vztahem U = Σw^2(nT)/M þ Welchův odhad výkonového spektra BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU nepřímá metoda – přes výpočet odhadu autokorelační funkce þ výpočet odhadu autokorelační funkce þ váhování odhadu autokorelační funkce oknem w(mT)¹0 pro –M+1mM-1; w(mT)=0 pro |m|³M váhování autokorelační funkce oknem  vyhlazení periodogramu; sníží se rozptyl, omezí se frekvenční rozlišovací schopnost þ výpočet Fourierovy transformace váhovaného odhadu autokorelační funkce – váhování snižuje vliv odhadu autokorelační funkce počítaného pro malé hodnot posunu (N-m)T BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU Blackmanův-Tukeyův odhad ve frekvenční oblasti BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU požadavky na okna: è sudá funkce (symetrická kolem m=0) … odhad výkonového spektra bude reálná funkce è W(f) ³ 0 pro |f|  F/2  odhad výkonové spektrální funkce bude nezáporný pro |f|  F/2 NEPARAMETRICKÉ METODY þ výhody: è relativně jednoduché, srozumitelné, pomocí DFT (FFT) snadno spočitatelné þ nevýhody: è potřeba dlouhého záznamu pro dostatečou frekvenční rozlišovací schopnost; è prosakování spekter díky použitým oknům (maskování slabých signálů); è omezení vyplývající z předpokladu, že r[xx](mT)=0 pro |m|³N è vnucená periodicita signálu definicí periodogramu PARAMETRICKÉ METODY þ extrapolují hodnoty autokorelační funkce pro m³N (k tomu je potřeba apriorní informace o analyzovaném signálu) ß parametrický model vzniku signálu a z toho už cokoliv tedy: netrápí nás okna, ani prosakování spekter Þ lepší rozlišovací schopnost i při krátkých záznamech Þ analýza časově proměnných a přechodných dějů MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þ je-li posloupnost x(nT), resp. y(nT) realizací stacionárního náhodného procesu, platí pro jejich spektrální výkonové hustoty Γ[xx](f), resp. Γ[yy](f), Γ[yy](f) = |H(f)|^2. Γ[xx](f), kde |H(f)| je modul frekvenční charakteristiky použité lineární soustavy. Algoritmy parametrického odhadu výkonového spektra posloupnosti y(nT), nÎá0, N-1 obsahují: • odhad parametrů modelu přenosové soustavy; • výpočet spektrální hustoty výkonu Γ[yy](f) z odhadnutých parametrů MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þ podle charakteru modelu přenosové soustavy dělíme algoritmy na: è ARMA(p,q) – autoregresive-moving average řádu (p,q); è AR(p), q=0, b[0]=1, H(z)=1/X(z) … … autoregresivní è MA(q), X(z) = 1 Þ H(z) = Y(z) … moving average MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þ nejčastěji používaný AR model – proč? è vhodný pro vyjádření spektra s úzkými vrcholy (rezonance) è výpočet parametrů vede na jednoduchou soustavu lineárních rovnic MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU þ dekompoziční teorém (Wold 1938) è jakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR modelem max.  řádu; è jakýkoliv ARMA nebo AR proces lze reprezentovat MA modelem max.  řádu;