SIGNÁLY A SOUSTAVY V MATEMATICKÉ BIOLOGII prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz III. SPOJITÉ SIGNÁLY POPIS V ČASOVÉ A FREKVENČNÍ DOMÉNĚ SIGNÁLY matematické modely - příklady þ jednorázový deterministický signál SIGNÁLY matematické modely - příklady þ periodický deterministický signál ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY þ změna časového měřítka s(t) ~ s(kt), kde k je kladné reálné číslo k > 1 – časová komprese; k < 1 – časová expanze k = 1 – nic se neděje ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY þ posunutí v čase s(t) ~ s(t+t), t je reálné, od nuly různé číslo; t > 0 – zpoždění ZÁKLADNÍ OPERACE SE SIGNÁLY þ obrácení (inverze) časové osy s(t) ~ s(-t) , PERIODICKÉ SIGNÁLY þ pro průběh periodického signálu platí vztah s(t+nT) = s(t), pro t Îá0, T) kde n je celé číslo a T nazýváme periodou (T je nejmenší kladné číslo, pro které výše uvedený vztah platí) HARMONICKÝ SIGNÁL þ harmonický signál je definován funkcí s(t) = C[1].cos(ω[1]t + φ[1]), kde C[1]>0 je amplituda harmonického signálu ω[1 ]>0[ ]je úhlový kmitočet h.s. φ[1 ]je počáteční fáze, tj. fáze v čase t=0 ω[1]t + φ[1 ]je fáze harmonického signálu Perioda harmonického signálu je dána vztahem T[1] = 2p/ω[1 ] HARMONICKÝ SIGNÁL þ další definice s(t) = Re{Ŝ(t)} = Re{C[1].exp[j(ω[1]t + φ[1])]} (vyplývá z Eulerových vztahů) HARMONICKÝ SIGNÁL kupodivu lze použít i vztah s(t) = Re{C[1].exp[j(-ω[1]t - φ[1])]} = Re{Ŝ*(t)} pozor !!! pozor - záporný kmitočet - ale funguje to HARMONICKÝ SIGNÁL Protože platí s(t) = Re{Ŝ(t)} = Re{Ŝ*(t)} a Im{Ŝ(t)} = -Im{Ŝ*(t)} je i s(t) = ½.{Ŝ(t) + Ŝ*(t)} s(t) = ½.{C[1]exp(jφ[1]).exp(jω[1]t)} + + ½.{C[1]exp(-jφ[1]).exp(-jω[1]t)} Označíme-li c[1] = ½.C[1]exp(jφ[1]) a c[-1] = ½.C[1]exp(-jφ[1]) je s(t) = c[1].exp(jω[1]t) + c[-1].exp[j(-ω[1])t] HARMONICKÝ SIGNÁL HARMONICKÝ SIGNÁL þ tříparametrický harmonický signál lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v rovinách amplituda x úhlový kmitočet a počáteční fáze x úhlový kmitočet: C[1] = C[1](ω) a φ[1] = φ[1](ω); spektrum amplitud spektrum počátečních fází Frekvenční spektrum Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. Zvolna do Fourierovy analýzy þ Fourierova analýza – snaha vyjádřit (rozložit, rozvinout) signál jako součet jednoduchých funkcí (harmonických signálů, složek). þ počty těchto harmonických složek, jejich amplitudy, frekvence a fázové posuny charakterizují analyzovaný signál. þ Fourierova řada þ Fourierův integrál, Fourierova transformace þ Fourierovy řady mohou být vyjádřeny buď v trigonometrickém nebo komplexním tvaru. þ zpracovávat můžeme spojité nebo diskrétní signály. Taylorův rozvoj TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y = sin(x) PRO x = 0 Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady þ poznali jsme, že funkci je možné vyjádřit jako mocninou řadu n jinou možností je vyjádřit funkci jako trigonometrickou řadu (tj. jako součet harmonických signálů (funkcí)). n pomocí trigonometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu funkcí než mocninnými řadami. Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Trigonometrická řada Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady þ každou periodickou funkci f(x) = f(x+kX), která splňuje tzv. Dirichletovy podmínky lze vyjádřit uvedenou trigonometrickou řadou, kde se koeficienty (amplitudy) a[n], b[n] vypočítají ze vztahů Zvolna do Fourierovy analýzy Fourierovy řady Dirichletovy podmínky * Funkce musí být absolutně integrovatelná přes jednu periodu tj. ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY þ uvedená trigonometrická řada s koeficienty určenými z výše uvedených vztahů se nazývá (trigonometrická) Fourierova řada (příslušná k funkci f). þ Fourierova řada se zjednoduší, je-li funkce f lichá nebo sudá. þ Pro lichou funkci platí ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 1: Rozviňme funkci f(x) = x ve Fourierovu řadu. Funkce f(x) je lichá, a proto a[n ]= 0. Koeficienty b[n] spočítáme ze vztahu ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Koeficient b[n] je tedy ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady Příklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu funkci ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierovy řady þ Zevšeobecnění pro funkce s periodou T. Fourierova řada (příslušná k funkci f) má tvar FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU þ každou periodickou funkci f(t+kT)=f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU HARMONICKÁ FOURIEROVA ŘADA PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu Pomocný výpočet: PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového pulsu JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY þ jednotkový skok (Heavisidova funkce) JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY þ jednotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) splňuje vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE þ zavádí spektrální popis jednorázových (aperiodických) signálů – můžeme jej získat z Fourierovy řady limitním prodloužením periody signálu T→¥ FOURIEROVA TRANSFORMACE þ kmitočet základní harmonické složky Ω = 2p/T když T→¥, pak Ω→dω→0 Graficky to představuje zhušťování spektrálních čar s prodlužující se periodou až v limitním případě je vzdálenost mezi spektrálními čarami nulová. Pro aperiodický signál budou spektrální čáry na sebe navazovat - nΩ→ω FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA TRANSFORMACE Pro časovou funkci můžeme psát vztah FOURIEROVA TRANSFORMACE vlastnosti FOURIEROVA TRANSFORMACE vlastnosti PŘÍKLADY spektrum obdélníkového impulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového impulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového impulsu PŘÍKLADY spektrum obdélníkového impulsu ! Shrnutí ! ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT ! þ spojitý periodický signál má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu; þ spojitý jednorázový signál má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci. ! A VĚDĚT PROČ !