SIGNÁLY A SOUSTAVY V MATEMATICKÉ BIOLOGII prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz VII. SYSTÉMY FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮ VNĚJŠÍ (VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ) POPIS FORMÁLNÍ (MATEMATICKÝ) POPIS SYSTÉMU Matematické prostředky se různí podle: þ typu časové základny (spojité, diskrétní, nezávislé na časovém měřítku); þ charakteru proměnných (spojité, diskrétní, logické); þ determinovanosti proměnných a parametrů (deterministické, nedeterministické - pravděpodobnostní, fuzzy,…); þ vztahu k okolí (autonomní, neautonomní); þ proměnnosti parametrů (lineární, nelineární, časově proměnné); þ vztahu k minulosti (bez paměti, s pamětí); TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ SYSTÉM základními vlastnostmi biologických systémů jsou: þ přirozenost (zpravidla nejsou vytvořeny člověkem); þ veliký rozměr (velký počet stavových proměnných a ne vždy je přesně znám); þ složitá hierarchická struktura; þ významná interakce na všech úrovních jejich struktury (často časově proměnná); þ velké rozdíly mezi jednotlivými realizacemi (jedinci) – rozptyl uvnitř populace – interindividuální variabilita; þ velké rozdíly v chování jednotlivých realizací (jedinců) v čase – intraindividuální variabilita; TECHNICKÝ & BIOLOGICKÝ SYSTÉM základními vlastnostmi biologických systémů jsou i: þ nestacionarita a neergodicita nedeterministického chování; þ předpoklady o linearitě představují velice hrubou a omezenou aproximaci; þ významné omezení počtu experimentů opakovatelných za dostatečně srovnatelných podmínek; þ významné omezení experimentů z hlediska prevence škod; þ experimenty na jedincích různého typu (člověk x zvířata) mohou přinášet různé výsledky jak z hlediska kvality, tak kvantity VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS VNĚJŠÍ VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS obecně, spojitý systém n-tého řádu popisuje diferenciální rovnice n-tého řádu b[n]y^(n) + b[n-1]y^(n-1) + … + b[0]y = a[m]x^(m) + a[m-1]x^(m-1) + … + a[0]x , která je, za předpokladu že parametry a[n], a[n-1], …, a[0], b[m], b[m-1], …, b[0] jsou konstantní, lineární; prakticky nelze realizovat takové systémy, jejichž výstupní signál by byl přesně úměrný derivacím vstupního signálu, proto musí platit m ≤ n; LINEARITA Systém je lineární, platí-li pro něj princip superpozice Je-li y=f(x) převodní funkce systému, pak pro lineární systém musí platit 1) f(x[1]) + f(x[2]) = f(x[1 ]+ x[2]); 2) c.f(x) = f(c.x), c = konst. LINEARITA A to je jen tehdy, je-li y=k.x, kde k = konst. 1) k.x[1] + k.x[2] = k.(x[1] + x[2]) 2) c.k.x = k.c.x LINEARITA A neplatí to ani, když y=k.x-q, kde k,q = konst., protože 1) (k.x[1]-q)+ (k.x[2]-q) ≠ k.(x[1]+x[2])-q 2) c.(k.x-q) ≠ (k.c.x-q) Laplaceova transformace definiční vztah kde p = σ+jω. Laplaceova transformace definiční vztah kde p = σ+jω. Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace? Laplaceova transformace definiční vztah kde p = σ+jω. Pamatujeme si ještě definiční vztah Fourierovy transformace? Laplaceova transformace Vlastnosti þ spousta úžasných vlastností ekvivalentních vlastnostem Fourierovy transformace, navíc i něco co se neuvěřitelně hodí pro řešení diferenciálních rovnic (převádí diferenciální rovnice na mocninné algebraické) þ Laplacův obraz derivace: f’(t) ~ p.F(p) - f(0) f^(n)(t) ~ p^n.F(p) - p^n-1f(0) – p^n-2f’(0) - … - f^(n-1)(0) PŘENOSOVÁ FUNKCE PŘENOSOVÁ FUNKCE PŘENOSOVÁ FUNKCE pro obecnou diferenciální rovnici n-tého řádu b[n]y^(n) + b[n-1]y^(n-1) + … + b[0]y = = a[m]x^(m) + a[m-1]x^(m-1) + … + a[0]x , má přenosová funkce lineárního systému za předpokladu nulových počátečních podmínek tvar PŘENOSOVÁ FUNKCE polynom ve jmenovateli přenosové funkce nazýváme charakteristickým polynomem systému a rovnici charakteristickou rovnicí systému PŘENOSOVÁ FUNKCE řešením charakteristické rovnice resp. dostaneme n jejích kořenů p[i], i=1,…,n. PŘENOSOVÁ FUNKCE Podobně můžeme určit i kořeny z[j], j=1,…,m rovnice, která vznikne položením polynomu v čitateli přenosové funkce rovno nule, tj. Kořeny p[i] i z[j] mohou být obecně reálné i komplexní; za předpokladu, že koeficienty b[i], resp. a[j] jsou reálné, pak kořeny p[i] i z[j], jsou-li komplexní, jsou komplexně sdružené. PŘENOSOVÁ FUNKCE FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA þ proměnná p má obecně komplexní charakter a tedy nabývá tvaru p = s + jw , kde s je koeficient tlumení a w = 2pf je kruhová frekvence þ předpokládejme, že koeficient tlumení s = 0, pak po dosazení za p v operátorové přenosové funkci dostáváme což nazýváme frekvenční přenosovou funkcí systému FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA þ frekvenční charakteristika je grafické vyjádření frekvenční přenosové funkce systému (geometrické místo koncových bodů vektoru přenosu pro frekvence, prakticky pouze v intervalu 0 ≤ w < ) FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA þ frekvenční charakteristiky vyjadřujeme zpravidla dvěma způsoby: è frekvenční charakteristika v komplexní rovině F(j) = Re [F(j)] + j.Im [F(j)] è modulová (amplitudová) a fázová frekvenční charakteristika F(j) = |F(j)|.e^j() FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA V KOMPLEXNÍ ROVINĚ MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA þ vlastnosti systému určují dvě funkce – závislost modulu přenosu na frekvenci a závislost fáze na frekvenci; MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA þ v některých případech se využívá pro znázornění těchto charakteristik logaritmické měřítko – amplitudu pak vyjadřujeme v decibelech |F(j)|[dB] = 20.log |F(j)| Tento způsob popisu je výhodný v případech, kdy je přenosová funkce systému určena součinem dílčích přenosových funkcí F(j) = F[1](j). F[2](j). … . F[k](j); pak platí |F(j)|.e^j() = |F[1](j)|. |F[2](j)|… |F[k](j)|.e^j([1]^+ [2]^+…+ [k]^) MODULOVÁ A FÁZOVÁ FREKVENČNÍ CHARAKTERISTIKA VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU VSTUPNÍ/VÝSTUPNÍ POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU