SIGNÁLY A SOUSTAVY V MATEMATICKÉ BIOLOGII prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz VIII. SPOJITÉ SYSTÉMY FORMY ABSTRAKTNÍHO POPISU SPOJITÝCH SYSTÉMŮ VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS A - matice vnitřních vazeb systému (též systémová matice nebo matice zpětných vazeb); rozměr: n x n B - matice vazeb systému na vstup (též vstupní matice); rozměr: m x n C - matice vazeb výstupu na stav (výstupní matice); rozměr: n x r (r je počet výstupů) D - matice přímých vazeb výstupů na vstupy; rozměr: m x n (z hlediska zkoumání vlastností lineárních dynamických systémů nejsou tyto vazby podstatné a často je tato matice nulová) VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU VNITŘNÍ (STAVOVÝ) POPIS NELINEÁRNÍHO SYSTÉMU IX. Z TRANSFORMACE SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM Z TRANSFORMACE definice DTFT - opakování Z TRANSFORMACE Z TRANSFORMACE VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE VLASTNOSTI Z TRANSFORMACE SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM PŘENOSOVÁ FUNKCE y(nT) = h(nT)*x(nT) Y(z) = H(z).X(z) H(z) = Y(z)/X(z), kde H(z) je racionální lomená funkce proměnné z^-1 (obrazová přenosová funkce) SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM nulové body a póly SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM diferenční rovnice SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM frekvenční přenosová funkce SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM frekvenční charakteristiky SYSTÉMY S DISKRÉTNÍM ČASEM frekvenční charakteristiky X. VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ (DOKONČENÍ) VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ þ diferenciální (diferenční) rovnice; þ operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace, z transformace); þ rozložení nul a pólů; þ frekvenční přenosová funkce; þ frekvenční charakteristiky – amplitudová, fázová; VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ þ diferenciální (diferenční) rovnice; þ operátorová přenosová funkce (Laplacova transformace, z transformace); þ rozložení nul a pólů; þ frekvenční přenosová funkce; þ frekvenční charakteristiky – amplitudová, fázová; þ impulsní charakteristika; þ přechodová charakteristika; VNĚJŠÍ POPIS LINEÁRNÍCH SYSTÉMŮ impulsní charakteristika konvoluce VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ impulsní charakteristika VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ impulsní charakteristika Y(z) = H(z).X(z) za předpokladu, že X(z) = 1 máme Y(z) = H(z).1 y(kT) = h(kT) = Z^-1(H(z)) X(z) = 1 Þ x(kT) = Z^-1(1) ^ Z-transformace jednotkového impulsu Z(Δ(kT))=1 VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ impulsní charakteristika y(kT) = h(kT) = Z^-1(H(z).Z(Δ(kT))) odezva na jednotkový impuls - - impulsová charakteristika y(t) = h(t) = L^-1(H(p).L (d(t))) Y(p) = H(p) = L^ (h(t)*L^-1(1)) þ impulsní charakteristika a přenosová funkce tvoří transformační pár Laplacovy (Z) transformace. þ impulsní charakteristika a frekvenční přenos tvoří transformační pár Fourierovy (DFT) transformace. VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ impulsní charakteristika þ je-li přiveden na vstup signálu přiveden Diracův impulz, má systém reagovat na dvě nekonečně velké změny úrovně signálu v nekonečně krátkém intervalu. þ čím užší signál, tím širší spektrum – jednotkový impulz má nekonečně široké konstantní spektrum, takže přivedeme-li na vstup systému Diracův impulz, je situace ekvivalentní současnému přivedení úplné směsi harmonických signálů o frekvencích od 0 do  Hz. þ takový signál není reálný systém schopen přenést bez deformace. þ impulsové charakteristice lze tedy rozumět jako systémem zdeformovaný Diracův impulz. Podle vlastností deformovaného výstupního signálu můžeme usuzovat na vlastnosti systému. VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ impulsní charakteristika þ je-li h(t) = 0 pro t > t[0] (h(kT) = 0 pro k >k[0]) hovoříme o systému s konečnou impulsní charakteristikou (KIO – FIR); þ není-li h(t) = 0 pro t > t[0] (h(kT) = 0 pro k >k[0]) hovoříme o systému s nekonečnou impulsní charakteristikou (NIO – IIR); VNĚJŠÍ POPIS LINeárních SYSTÉMŮ přechodová charakteristika přechodová charakteristika = = odezva systému na jednotkový skok L(δ(t)) = 1/p Y(p) = G(p) = H(p).L(δ(t)) = H(p).1/p Z(u(kT)) = 1/1-z^-1 = z/(z-1) Y(z) = G(z) = H(z).z/(z-1) ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH þ vstup – primární příčinou dynamiky systému; þ paměť – sekundární příčina dynamiky systému; ß dva základní typy experimentování se systémy þ zkoumání vlivu počátečního stavu; þ zkoumání vlivu vstupního signálu ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu počátečního stavu þ v čase t[0 ]se systém nachází vlivem své předcházející činnosti ve stavu x(t[0]) – fyzikální (chemické, biologické,…) počáteční podmínky; þ bez přivedeného vstupu analyzujeme chování systému – přirozená odezva systému (odezva na počáteční stav) ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu počátečního stavu ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu počátečního stavu Přirozená odezva – þ časem zaniká – asymptoticky stabilní systém vzhledem k počátečním podmínkám; þ ustálí se v konečných mezích (periodicky osciluje nebo je konstantní) – stabilní systém nebo systém na mezi stability vzhledem k počátečním podmínkám; þ neohraničeně roste – nestabilní systém vzhledem k počátečním podmínkám ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu počátečního stavu lze zjišťovat: þ dynamické vlastnosti (tvar přechodu do nového stavu - rychlost přechodu, monotónnost či kmitání, frekvence kmitání, apod.); þ linearitu (sledováním podobnosti odezev při různých počátečních stavech); þ stabilitu (sledováním konvergence); ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu vstupního signálu þ systém se musí nacházet v nulovém počátečním stavu; þ odpověď systému při nulovém počátečním stavu – vnucená (vynucená) odezva; þ můžeme sledovat chování systému buzeného signály očekávaného průběhu – impulsová odezva, přechodová odezva, frekvenční charakteristika ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH zkoumání vlivu VSTUPního signálu ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH þ přechodný děj - popis chování systému z počátečního do koncového stavu þ ustálený stav - stav kdy zaniká pohyb systému (stejnosměrný ustálený stav) – není to v jediném okamžiku, ale v časovém intervalu þ rovnovážný stav - stabilní, nestabilní celková odezva = přirozená odezva + vnucená odezva ZÁKLADNÍ JEVY V SYSTÉMECH