SIGNÁLY A SOUSTAVY V MATEMATICKÉ BIOLOGII prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz IX. STABILITA KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ þ Stabilita - vlastnost systému, kterou můžeme charakterizovat jeho schopností udržet své chování či rysy (parametry) v předepsaných mezích i za případného vnějšího rušivého působení. þ Rovnováha - relativně stálý stav systému, vzniklý vyrovnáním vlivů na systém působících. KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ Stabilita þ Ljapunovská stabilita: Rovnovážný stav x[e] je ljapunovsky stabilní právě tehdy, když ke každému e > 0 existuje δ > 0 takové, že pro libovolný počáteční stav x[0], který leží v okolí δ rovnovážného stavu, tj. Stabilita þ Ljapunovská stabilita Stabilita þ Ljapunovská stabilita è Nevyžadujeme, aby blízké řešení konvergovalo do rovnovážného stavu, ale pouze vyžadujeme, aby se mu příliš nevzdalovalo. þ Kvaziasymptotická stabilita: þ Rovnovážný stav x[e] je kvaziasymptoticky stabilní právě tehdy, když existuje takové číslo δ > 0, že každý stav x(t) systému, který leží v δ okolí rovnovážného stavu, konverguje pro t → ∞ k tomuto rovnovážnému stavu, neboli . Stabilita þ Asymptotická stabilita: Rovnovážný stav je asymptoticky stabilní právě tehdy, když je ljapunovsky stabilní i kvaziasymptoticky stabilní. Stabilita þ Stabilitu můžeme definovat i z „vnějšího pohledu“ a to tak, že na každý omezený vstup (co do hodnot) bude systém reagovat omezeným výstupem (co do hodnot) (BIBO - Bounded Input – Bounded Output, ohraničený vstup – ohraničený výstup) . þ Podle této definice lze ověřit pouze nestabilitu. þ Nutnou a postačující podmínkou pro BIBO stabilitu je absolutní integrovatelnost jeho impulsní charakteristiky, tj. musí platit KDY JE A KDY NENÍ SYSTÉM STABILNÍ dva základní přístupy k určení stability: þ stabilita vůči počátečnímu stavu (daná konvergencí přirozené odezvy); þ stabilita vynuceného pohybu; STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þ tendence systému reagovat přiměřeně na podnět konečné délky a po jeho zániku se vrátit do výchozího stavu (není nezbytnou podmínkou DEFINICE: Systém je stabilní, pokud na každý ohraničený vstup x(t) [x(nT)] (co do hodnot) reaguje rovněž ohraničeným výstupem y(t) [y(nT)] (dle této definice lze ověřit pouze nestabilitu) STABILITA VYNUCENÉHO POHYBU þ asymptoticky stabilní systém je systém, jehož přirozená odezva časem zaniká mějme systém pracující ve spojitém čase 2. řádu definovaný přenosovou funkcí nutné a postačující podmínky þ Oblast, ve které leží stabilní póly systému, je v komplexní rovině levá polorovina bez imaginární osy. þ Jsou-li póly systému na imaginární ose, říkáme, že je systém na mezi stability. nutné a postačující podmínky þ Příklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí nutné a postačující podmínky þ Příklad: Mějme minimální realizaci systému s přenosovou funkcí STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU STABILITA VŮČI POČÁTEČNÍMU STAVU Stabilita diskrétních systémů þ Stabilitu diskrétních systémů vyšetřujeme pomocí pólů systému respektive vlastních čísel matice systému. þ Lineární stacionární systém je asymptoticky stabilní právě tehdy, jsou-li póly systému v absolutní hodnotě menší než 1,resp. vlastní čísla matice systému M. Stabilita diskrétních systémů X. SPOJOVÁNÍ SYSTÉMŮ ZPĚTNÁ VAZBA SÉRIOVÉ (KASKÁDNÍ) ZAPOJENÍ PARALELNÍ ZAPOJENÍ ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ ZPĚTNOVAZEBNÍ ZAPOJENÍ ZPĚTNÁ VAZBA PRINCIP REGULACE ZPĚTNÁ VAZBA VLASTNOSTI þ zvýšená přesnost – např. schopnost věrně reprodukovat vstup; þ snížená citlivost poměru výstup/vstup na změny parametrů systému; þ snížený vliv nelinearit; þ snížený vliv vnějších poruch a šumu; þ širší rozsah frekvenčního pásma; þ tendence k oscilacím a nestabilitě; PŘÍKLAD ROZŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMA SYSTÉM SE SETRVAČNOSTÍ 1.ŘÁDU þ modulová logaritmická frekvenční charakteristika [ ] è pro ω « 1/T je (Tω)^2 «1 a tedy è pro ω » 1/T je (Tω)^2 »1 a tedy PŘÍKLAD ROZŠÍŘENÍ FREKVENČNÍHO PÁSMA BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA Biologická zpětná vazba je mechanismus, který prostřednictvím měření a smyslově vnímatelného znázornění stavu určitého subsystému lidského organismu umožňuje tento stav změnit volní činnosti vyšetřované osoby. Může-li si člověk prostřednictvím určitého přístroje uvědomit stav či změnu stavu svého organismu (které by si normálně nevšimnul), např. generování EEG signálu s převažujícím výskytem složek o frekvencích z intervalu 8 – 12 Hz – rytmus alfa, pak se může naučit tento stav do určité míry ovlivňovat. BIOLOGICKÁ ZPĚTNÁ VAZBA Veličiny, které mohou být biologickou zpětnou vazbou vědomě modifikovány, jsou např. klidové svalové napětí, srdeční rytmus, tlak krve, periferní tok krve (vasokonstrikce, resp. vasodilatace), kožní odpor či EEG signál. Znázornění hodnoty sledované veličiny je především vizuální (poloha ukazatele, umístění bodu na ploše obrazovky) nebo akustické (výška či hlasitost tónu). V poslední době se prosazuje forma jednoduchých počítačových her. Možnost (schopnost) ovlivňovat stav vlastního organismu umožňuje využít tohoto principu v terapii psychických poruch různého typu.