Nástraha první:
Není pohyb jako pohyb
aneb Kinematika jako zahřívací předkolo
Stejně jako každý kurz klasické mechaniky začínáme i my kinematikou. Tato disciplína v sobě
skrývá řadu nejrůznějších úskalí, a to nejen pro studenty, kteří se s ní teprve seznamují, ale také
pro autory učebnic ([1.]), kteří se musejí vyrovnat s ne zcela jednoduchým úkolem: definicí základních
kinematických veličin, jimiž jsou poloha, rychlost a zrychlení. Ponechme pro tentokrát
stranou komentáře k učebnicovému zpracování (viz [18.]) i cvičné rutinní výpočty základních
charakteristik pohybu, jako je polohový vektor, rychlost, zrychlení, tečné a normálové zrychlení,
křivost a poloměr křivosti trajektorie, atd. (například [3.], [6.], [8.], [10.], částečně i [4.] a [9.]).
Věnujme se raději několika úlohám, které, ač na první pohled velmi jednoduché, bývají zdrojem
častých omylů. O tom se nakonec můžete i sami přesvědčit, předložíte-li nenápadně třeba jen
některé části zadání vašim přátelům či známým: možná budete překvapeni, jak málo lidé vědí
a přemýšlejí o pohybech, které je obklopují.
Pro povzbuzení před startem dodejme, že i když mají kinematické veličiny většinou vektorový
charakter (viz Hlavní text), zvládneme následující úlohy vyřešit, aniž bychom nad
vektory příliš učeně přemýšleli a byli při tom nuceni vyjadřovat je ve složkách. Toho si nakonec
užijeme v dalších Nástrahách víc než dost. Následující text je tedy, jak říká i podtitul názvu,
skutečně "zahřívacím předkolem". Zahájíme jej úlohou, na níž uvidíme, jak je v kinematice
nutno rozumět přívlastku "průměrný".
Úloha 1.:
Student kráčí na nádraží, které leží ve vzdálenosti l od jeho bydliště. První polovinu cesty
jde vycházkovým krokem rychlostí o velikosti v1 = 4 km  hod-1
. Pak pohlédne na hodinky
a zjistí, že má-li vlak stihnout, musí přidat. Zbytek cesty proto běží rychlostí o velikosti v2 =
= 16 km  hod-1
. Jaká byla průměrná velikost rychlosti studenta1
?
Řešení:
Průměrnou velikost rychlosti studenta určíme z definičního vztahu (viz Hlavní text)
v =
s
t
.
Dráha s, kterou student urazí, odpovídá vzdálenosti nádraží od místa bydliště, tj. s = l,
dobu pohybu studenta t musíme vypočítat. Označme t1 dobu, po niž student kráčel rychlostí
o velikosti v1, a t2 dobu, po niž student běžel rychlostí o velikosti v2. Platí
v1 =
1
2
l ,
t1
= t1 =
l
2v1
,
v2 =
1
2
l
t2
= t2 =
l
2v2
,
1
Pro ty, kteří vyžadují naprosto jednoznačné, avšak poněkud košaté formulace, přikládáme upřesnění:
(1) Veličinou l se nemyslí vzdušná vzdálenost nádraží od místa bydliště, ale dráha, kterou student musí
urazit.
(2) První polovinou cesty rozumíme dráhu l
2 , nikoli první "poločas" t
2 .
1
tedy
t = t1 + t2 =
l
2
1
v1
+
1
v2
=
l
2
v1 + v2
v1v2
.
Pro průměrnou velikost rychlosti studenta vychází
v =
l
l
2
v1+v2
v1v2
=
2v1v2
(v1 + v2)
= 6, 4 km  h-1
.
Poznámka:
Výsledek ukazuje, že průměrná velikost rychlosti není obecně dána aritmetickým průměrem
jednotlivých velikostí rychlostí. Tato skutečnost by neměla překvapit, vezmeme-li v úvahu
definici průměrné velikosti rychlosti: v naší úloze vyjadřuje průměrná velikost rychlosti velikost
rychlosti, kterou by se musel student rovnoměrně pohybovat, aby překonal úsek z domova
na nádraží za stejný časový interval. 
Ve následující úloze ukážeme, jak na základě znalosti zrychlení hmotného bodu určujeme
jeho rychlost a polohu.
Úloha 2.:
Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že se jeho zrychlení mění podle vztahu a(t) = t-t3
,
kde  ,  jsou konstanty s nezápornou číselnou hodnotou, tj. {} > 0 , {} > 0. V okamžiku
t = 0 je rychlost hmotného bodu v0 , přičemž platí {v0} > 0 , a poloha je x0.
(a) Určete fyzikální rozměr konstant  a .
(b) Nalezněte závislost rychlosti a polohy hmotného bodu na čase.
(c) Ve kterém okamžiku bude rychlost hmotného bodu nulová? Jakou dráhu do tohoto okamžiku
hmotný bod urazí?
Řešení:
(a) Aby měl výraz na pravé straně vztahu a(t) = t - t3
rozměr zrychlení, musí platit
[] = m  s-3
, [] = m  s-5
.
(b) Závislost rychlosti hmotného bodu na čase určíme integrací zadaného vztahu pro zrychlení
(viz Hlavní text)
v(t) = a(t) dt = t - t3
dt =
1
2
t2
-
1
4
t4
+ C ,
kde integrační konstantu C určíme ze zadané počáteční podmínky v (0) = 0. Platí
v(0) =
1
2
  0 -
1
4
  0 + C = C = v0 ,
celkem tedy
v(t) =
1
2
t2
-
1
4
t4
+ v0 .
Závislost polohy hmotného bodu na čase stanovíme integrací právě odvozeného vztahu pro
rychlost,
x(t) = v(t) dt =
1
2
t2
-
1
4
t4
+ v0 =
1
6
t3
-
1
20
t5
+ v0t + D ,
2
kde integrační konstantu D opět určíme ze zadané počáteční podmínky x (0) = x0. Platí
x(0) =
1
6
  0 -
1
20
  0 + v0  0 + D = D = x0 ,
celkem tedy
x(t) =
1
6
t3
-
1
20
t5
+ v0t + x0 .
(c) Okamžik , v němž má hmotný bod nulovou rychlost, určíme ze vztahu, který jsme odvodili
pro rychlost:
v() =
1
2
2
-
1
4
4
+ v0 = 0 .
Zavedením substituce u = 2
dostáváme po malé úpravě kvadratickou rovnici
u2
- 2u - 4v0 = 0 = u1,2 =
 

2 + 4v0

=
= 1,2,3,4 = 

u1,2 = 
 

2 + 4v0

.
Protože v zadání předpokládáme {} > 0 , {} > 0 a {v0} > 0 , platí {} < {}2
+ 4 {}{v0} .
Aby byl výraz pod vnější odmocninou nezáporný, vyloučíme v něm matematicky přípustnou
možnost záporného znaménka. Z fyzikálních důvodů vyloučíme také záporný číselný výsledek,
tedy záporné znaménko před vnější odmocninou, proto
 =
 +

2 + 4v0

.
Snadno se ověří, že pro 0  t <  platí {v(t)} > 0 , a proto je v tomto intervalu {x(t)} rostoucí
funkcí času. (Rozmyslete si, jak je tomu pro t  .) Dráha, kterou do okamžiku  hmotný bod
urazil, je tedy dána vztahem (vysvětlete)
x = x() - x0 =
1
6
3
-
1
20
5
+ v0 =
=
1
6

 +

2 + 4v0

3
2
-
1
20

 +

2 + 4v0

5
2
+ v0
 +

2 + 4v0

1
2
.
Poznámka:
Zdůrazněme, že vztahy mezi kinematickými veličinami
v(t) = v0  at ,
s(t) = s0 + v0t 
1
2
at2
známé ze střední školy platí pouze za předpokladu, že (tečné) zrychlení hmotného bodu je konstantní.
Není-li tomu tak, tj. pokud je (tečné) zrychlení hmotného bodu obecně funkcí času,
nezbude nám než časovou závislost velikosti rychlosti a dráhy hmotného bodu určit integrací
s využitím počátečních podmínek. Je zřejmé, že co jiné počáteční podmínky, to při tomtéž zrychlení
jiný pohyb. Tato skutečnost je dobře známá i z každodenního života -- víme například,
že typ pohybu míče je určen tím, jakou rychlost mu v té které poloze udělíme. 
3
Řekli jsme, že pro daného pozorovatele určují typ pohybu počáteční podmínky. V následující
úloze naopak ukážeme, jak tentýž pohyb vyhodnotí různí pozorovatelé.
Úloha 3.:
Horkovzdušný balón se pohybuje svisle vzhůru konstantní rychlostí o velikosti v0. V okamžiku,
kdy je balón ve výšce h0 nad Zemí, vyhodí neposedný pasažér jablko vodorovnou rychlostí
o velikosti vrel vzhledem k balónu. Popište trajektorii jablka
(a) vzhledem k pozorovateli v balónu,
(b) vzhledem k pozorovateli stojícímu na Zemi přímo pod balónem.
Odpor vzduchu pro jednoduchost zanedbejte.
Řešení:
Jablko se vzhledem k oběma pozorovatelům pohybuje s tímtéž zrychlením a = g (vysvětlete).
Každý z pozorovatelů však připíše jablku jiné počáteční podmínky, a proto také jinak popíše
jeho pohyb.
(a) Pro pozorovatele v balónu má počáteční rychlost jablka vodorovný směr a velikost vrel.
Zavedeme-li soustavu souřadnic Ob
; xb
, yb
tak, že její počátek Ob
je ztotožněn s balónem,
osa xb
je vodorovná a má stejnou orientaci jako rychlost vrel a osa yb
směřuje svisle dolů, platí
xp
(t) = vrel t ,
yp
(t) =
1
2
gt2
.
(b) Pro pozorovatele na Zemi má jablko rovněž nenulovou počáteční rychlost: její průmět do
vodorovné roviny je vrel , průmět do svislé roviny odpovídá rychlosti balónu v0. (Rozmyslete
si, jak by tomu bylo, kdyby rychlost balónu v0 neměla svislý směr.) Zavedeme-li soustavu
souřadnic OZ
; xZ
, yZ
tak, že její počátek OZ
je ztotožněn s pozemským pozorovatelem, osa xZ
je vodorovná a má stejnou orientaci jako rychlost vrel a osa yZ
směřuje svisle vzhůru, platí
xZ
(t) = vrel t ,
yZ
(t) = h0 + v0t -
1
2
gt2
. 
Na relativnost pohybu zařadíme ještě jednu, závěrečnou úlohu, jejíž výsledky jistě nebudou
neznámé třeba sportovcům.
Úloha 4.:
Dva plavci startují z téhož bodu na břehu řeky o šířce s. První plave po proudu do vzdálenosti s
a potom se vrací zpět. Druhý přeplouvá řeku v kolmém směru na protější břeh a zpět. První
plavec je v klidné vodě schopen vyvinout rychlost o velikosti v1, druhý plavec rychlost o velikosti
v2. Velikost rychlosti toku řeky vzhledem ke břehu je u. Vypočtěte dobu pohybu každého
z plavců. (Převzato z [11.].)
Řešení:
Pro plavce, který plave podél břehu, máme výsledek hned: při pohybu po proudu řeky je velikost
jeho rychlosti vzhledem ke břehu v1 + u , při pohybu proti proudu pak v1 - u. Celková doba
pohybu je dána součtem doby plavby po proudu a proti proudu, tj.
t1 =
s
v1 + u
+
s
v1 - u
=
2sv1
(v1 + u) (v1 - u)
=
2sv1
v2
1 - u2
.
4
2
u
v
Obrázek 1: K určení rychlosti
druhého plavce
Plavec, který má plavat kolmo ke břehům, bude muset
chvilku přemýšlet. Svoje síly totiž musí nasměrovat tak, aby
vektor jeho rychlosti v2 složený s vektorem rychlosti proudu
u byl kolmý na břeh (viz Obrázek 1). Jeho rychlost vzhledem
ke břehu má pak velikost v2
2 - u2, pro dobu pohybu
tohoto plavce tedy platí
t2 =
s
v2
2 - u2
+
s
v2
2 - u2
=
2s
v2
2 - u2
.
Diskuze výsledků:
Má-li mít zadání úlohy smysl, musí pro velikost rychlosti, kterou je schopen vyvinout první
plavec, platit
v1 > u .
Jakou podmínku musí splňovat velikost rychlosti, kterou je schopen vyvinout druhý plavec? 
Otázky, cvičení a náměty k přemýšlení:
1. Je možné z údajů zadaných v Úloze 1. určit velikost průměrné rychlosti (viz Hlavní
text) studenta? Pokud ano, určete ji, pokud ne, uveďte veličiny, které by k tomu bylo
nutné ještě zadat.
2. Automobil se dvacet minut proplétá složitým brněnským provozem tak, že při vjezdu
na dálnici Brno­Praha ukazuje rychloměr průměrnou velikost rychlosti v1 = 30 km 
hod-1
. Jaká musí být průměrná velikost rychlosti automobilu po dálnici, aby při vjezdu
do hlavního města ukazoval rychloměr údaj v2 = 100 km  hod-1
? Případné chybějící
údaje sami vyhledejte. Předpokládejte, že rychloměr automobilu je před odjezdem do
Prahy vynulován (vysvětlete, proč tento předpoklad přijímáme).
3. Cyklista projíždí obtížným lesním terénem tak, že pětikilometrový úsek mu zabere čtyřicet
minut. Pak najede na dobře udržovanou cyklotrasu, po níž patnáct minut sprintuje
rychlostí o velikosti 30 km  h-1
. Určete
(a) průměrnou velikost rychlosti cyklisty,
(b) celkovou vzdálenost, kterou urazil.
4. Hmotný bod se pohybuje po přímce tak, že jeho zrychlení se mění podle vztahu a(t) =
=  + t2
. V okamžiku t = 0 je rychlost hmotného bodu v0 a poloha x0.
(a) Určete fyzikální rozměr konstant  a .
(b) Nalezněte závislost rychlosti a polohy hmotného bodu na čase.
(c) Určete průměrnou rychlost a průměrné zrychlení hmotného bodu v intervalu [t1, t2].
5. Dítě si během jízdy v autě hraje s míčkem. Najednou jej vyhodí svisle vzhůru. V následujících
případech rozhodněte, zda míček spadne před dítě, za ně, nebo se mu vrátí do
rukou (odpovědi zdůvodněte):
(a) auto jede konstantní rychlostí,
(b) auto zrychluje,
5
(c) auto brzdí.
(Převzato z [11.].)
6. Vlak jede po přímé vodorovné trati rychlostí o velikosti 130 km  hod-1
. K železničnímu
přejezdu se po silnici kolmé k trati blíží auto rychlostí o velikosti 60 km  hod-1
. Popište
pohyb
(a) auta vzhledem k vlaku,
(b) dítěte, které se prochází po chodbě vagónu rychlostí o velikosti 4 kmhod-1
, vzhledem
k okolní krajině i vzhledem k autu (uvažte obě možné situace).
7. Vrtulník letí ve výšce 9,5 m nad plochým terénem stálou rychlostí o velikosti 6,2 m  s-1
.
Pilot vyhodí balík ve vodorovném směru proti směru letu. Rychlost balíku vzhledem
k vrtulníku má velikost 12 m  s-1
.
(a) Jaká je počáteční rychlost balíku vzhledem k Zemi?
(b) Určete vodorovnou vzdálenost balíku a vrtulníku v okamžiku, kdy balík dopadne na
Zemi.
(c) Pod jakým úhlem dopadne balík na povrch Země vzhledem k pozorovateli na Zemi
a vzhledem k pozorovateli ve vrtulníku?
Odpor vzduchu zanedbejte. (Převzato z [4.].)
********************
Příbuzné texty:
Hlavní text
Nástraha druhá:
Vektory, průměty, složky, velikosti, ...aneb Jak se vypořádat s řešením úloh?
Nástraha třetí:
Rozumíme silám tření? aneb K čemu slouží vazební podmínky?
Nástraha čtvrtá:
Dynamika křivočarého pohybu aneb Jak se vyhnout tradičním omylům?
Nástraha pátá:
Výtahy, vlaky, kolotoče, ... aneb Co náš čeká v neinerciálních soustavách?
Nástraha šestá:
Když se sejde více částic aneb Mechanika tuhého tělesa
Nástraha sedmá:
Zákony zachování aneb "Není nutné vědět o všem..."
Nástraha osmá:
Vody stojaté i tekoucí aneb Mechanika kapalin
Nástraha devátá:
Když Newtonovy zákony nestačí aneb Termodynamika a statistická fyzika
v kostce
Nástraha desátá -- bonusová:
Příliš těžké ??? aneb Několik úloh "s hvězdičkou"
6