Nástraha třetí:
Rozumíme silám tření?
aneb K čemu slouží vazební podmínky?
Se silami tření se setkáváme "na každém kroku" -- bez výjimky totiž provázejí všechny reálně
probíhající mechanické pohyby. Většinou je však vnímáme spíše v negativním kontextu: tření
vede v praxi ke ztrátám, a proto se snažíme omezit jeho vliv na minimum, v zadání úloh zase
čteme pokyn "tření zanedbejte", který má jejich řešení zjednodušit. Ne každý si pak plně uvědomuje,
že bez přítomnosti tření by většina (i životně důležitých(!)) pohybů vůbec neprobíhala.
Napomáhají tomu i středoškolské učebnice ([1.]), které význam tření pro každodenní život
patřičně nevyzdvihují a problematice věnují nanejvýš krátkou informativní kapitolku, v níž je
bez nezbytné návaznosti na Newtonovy zákony zaveden koeficient statického a dynamického
tření. O důsledcích se snadno může přesvědčit každý sám -- stačí položit několika náhodně
vybraným "obětem" pár jednoduchých otázek.
Zeptejte se ostatních:
1. Na stole leží kniha. Víme, že má hmotnost m, že koeficient statického tření mezi knihou
a stolem je f0 a že koeficient dynamického tření mezi knihou a stolem je f. Jak velká třecí
síla na knihu působí?
2. Jaká třecí síla (velikost a směr) působí na sportovce, který se rozbíhá po atletické dráze?
Měnilo by se něco, kdyby se tentýž sportovec pokoušel rozběhnout v polobotkách s hladkou
podrážkou po namrzlém chodníku?
3. Působí třecí síly vždy proti pohybu tělesa?
Najdete-li skutečně chuť a odvahu ptát se, budete možná překvapeni různorodostí odpovědí
i tím, jak si závěry vyvozené tímtéž člověkem nejednou protiřečí ([13.]). Abychom odhalili
nástrahy skryté v těchto -- na první pohled zcela bezelstných -- otázkách a současně získali
správné odpovědi, vyřešíme trojici úloh, jež postupně odkrývají specifika třecích sil, která učebnice
nechávají bez povšimnutí.
Úloha 1.:
Na vodorovné podložce leží kostka o hmotnosti m. V okamžiku t = 0 začne na kostku působit
vodorovná síla F, jejíž velikost roste podle vztahu F = kt, kde k je konstanta. Koeficient
statického tření mezi kostkou a podložkou je f0.
(a) Rozhodněte a zdůvodněte, zda se od okamžiku t = 0 bude kostka vzhledem k podložce
pohybovat.
(b) Pokud je předchozí odpověď záporná, určete velikost, směr a orientaci všech sil, které na
kostku působí v libovolném okamžiku 0  t  t0, kde t0 je okamžik, kdy se dá kostka
vzhledem k podložce do pohybu.
(c) Určete okamžik t0.
Od okamžiku t0, kdy se dá kostka vzhledem k podložce do pohybu, se již velikost síly F nemění,
tj. F = kt0. Koeficient dynamického tření mezi kostkou a podložkou je f, odpor vzduchu
zanedbáváme.
(d) Určete velikost, směr a orientaci všech sil, které na kostku působí v libovolném okamžiku
t > t0.
1
(e) V libovolném okamžiku t > t0 určete velikost zrychlení kostky vzhledem k podložce.
(f) Schematicky zakreslete graf závislosti velikosti síly F a velikosti třecí síly mezi kostkou
a podložkou na čase pro 0  t  2t0.
(Převzato z [6.] a upraveno.)
Řešení:
Úlohu budeme řešit v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí.
(a) V okamžiku t = 0 se kostka vzhledem k podložce pohybovat nezačne: s ohledem na každodenní
zkušenost můžeme zjednodušeně říci, že "kostka se vzhledem k podložce pohne až poté,
co velikost síly F překoná statickou třecí sílu, tedy až v okamžiku t0 > 0". Toto tvrzení budeme
v dalších částech úlohy ještě precizovat.
(b) V libovolném okamžiku 0  t  t0 působí na kostku tažná síla F, tíhová síla Země FG,
tlaková síla podložky N a statická (kostka je vzhledem k podložce v klidu) třecí síla Ft,s
(viz první část Obrázku 1, v němž jsme vektory působících sil zakreslili do těžiště kostky
(vysvětlete)).
y
x
O
y
0t t
FG
N
Ft,d F
FG
Ft,s
F
N
0 t t0
x
O
Obrázek 1: Silové diagramy pro kostku
Druhý Newtonův zákon pro kostku zní
ma = F + FG + N + Ft,s .
V soustavě souřadnic Oxy s osou x souhlasně
rovnoběžnou s F a osou y orientovanou
vzhůru mají vektory působících
sil složky
F = (F, 0) , FG = (0, -FG) ,
N = (0, N) , Ft,s = (-Ft,s, 0) ,
vektor zrychlení má s uvážením vazební
podmínky (kostka je vzhledem k podložce
v klidu) složky
a = 0 = (0, 0) .
Druhý Newtonův zákon pro kostku zapsaný
ve složkách
x : 0 = F - Ft,s ,
y : 0 = N - FG
doplníme silovým zákonem pro velikost
tíhové síly FG = mg a předepsaným
vztahem pro velikost tažné síly F = kt.
(Jaký je fyzikální rozměr konstanty k?).
Získáme tak soustavu dvou rovnic
x : 0 = kt - Ft,s ,
y : 0 = N - mg
2
pro dvě neznámé: okamžitou velikost statické třecí síly Ft,s a velikost tlakové síly podložky N.
Její řešení je
Ft,s = kt , N = mg .
(c) Okamžik t0, v němž se dá kostka vzhledem k podložce do pohybu, již určíme snadno. Platí,
že velikost statické třecí síly v něm nabývá své maximální přípustné hodnoty
Fmax
t,s = f0N ,
s uvážením právě získaných výsledků tedy
Fmax
t,s = f0N = mgf0 = kt0 = t0 =
mgf0
k
.
(d), (e) V libovolném okamžiku t > t0 působí na kostku opět tažná síla F, tíhová síla Země FG,
tlaková síla podložky N a -- protože se kostka vzhledem k podložce již pohybuje -- dynamická
třecí síla (viz druhá část Obrázku 1). Druhý Newtonův zákon pro kostku je tedy nyní
ma = F + FG + N + Ft,d .
V již zavedené soustavě souřadnic Oxy mají vektory jednotlivých sil složky
F = (F, 0) , FG = (0, -FG) , N = (0, N) , Ft,d = (-Ft,d, 0) ,
vektor zrychlení má s uvážením vazební podmínky (kostka se pohybuje pouze ve vodorovném
směru) složky
a = (a, 0) .
Druhý Newtonův zákon pro kostku zapsaný ve složkách
x : ma = F - Ft,d ,
y : 0 = N - FG
doplníme silovým zákonem pro velikost tíhové síly FG = mg, silovým zákonem pro velikost
dynamické třecí síly Ft,d = fN a předepsaným vztahem pro velikost tažné síly F = kt0 = mgf0.
Získáváme opět soustavu dvou rovnic
x : ma = mgf0 - fN ,
y : 0 = N - mg
pro dvě neznámé: velikost tlakové síly podložky N a velikost zrychlení kostky a. Z druhé rovnice
vychází
N = mg ,
po dosazení do první rovnice pak
a = g (f0 - f) .
Diskuze výsledku:
Protože mezi koeficienty statického a dynamického tření platí vztah f0 > f, vychází ve shodě
s očekáváním a > 0.
(f) S grafem závislosti velikosti tažné síly F a velikosti třecí síly1
Ft, . mezi kostkou a podložkou
na čase pro 0  t  2t0 si již poradíme lehce (viz Obrázek 2)2
.
1
Na místo tečky je třeba dosadit příslušný index s, resp. d.
2
Oba grafy jsou zakresleny pro náš modelový případ -- v reálných situacích neobsahují body nespojitosti
ani zlomy.
3
2
mgf
t
0
0t 0 t2
Ft, .
mgf
mgf
F
t
0
0t 0 t
Obrázek 2: Graf závislosti velikosti síly F a velikosti třecí síly Ft, . na čase
Jistě jste zaznamenali,
že v průběhu
řešení této úlohy jsme
na několika místech
použili vazebních podmínek
a že rozdíl mezi
vztahy f0N a fN,
které zde vystupovaly,
spočívá nejen ve volbě
odpovídajícího koeficientu
f0, resp. f. 
Aby nezůstaly nejdůležitější závěry, k nimž jsme právě dospěli, skryty mezi řádky, zformulujeme
je explicitně.
Důležité:
Zatímco vztah Ft,d = fN představuje silový zákon pro velikost dynamické třecí síly, analogický
zápis Fmax
t,s = f0N silovým zákonem pro velikost statické třecí síly není: určuje pouze její
maximální přípustnou hodnotou, tj. platí
0  Ft,s  Fmax
t,s = f0N ,
a definuje tak koeficient statického tření f0. Okamžitou velikost statické třecí síly Ft,s pak (stejně
jako například velikost tlakové síly podložky) určujeme z druhého Newtonova zákona doplněného
o vazební podmínky (v našem případě vyplývá vazební podmínka a = 0 ze skutečnosti,
že kostka je vzhledem k podložce v klidu).
Nyní se bez obav můžeme pustit i do řešení obtížnější úlohy, jejíž zadání (různé varianty se
objevují např. v [4.]) nám jistě nebude vzdálené.
Úloha 2.:
Dítě táhne po vodorovné podložce saně o hmotnosti m stálou silou F, která svírá s rovinou podložky
úhel . Na saních se veze pes o hmotnosti M. Koeficient dynamického tření mezi saněmi
a podložkou je f, maximální velikost statické třecí síly mezi saněmi a psem je charakterizovaná
koeficientem f0. Odpor vzduchu zanedbáváme. Určete velikost, směr a orientaci
(a) všech sil, které působí na psa,
(b) všech sil, které působí na sáňky
za předpokladu, že pes je vzhledem k saním v klidu. S jakým zrychlením se pes spolu se saněmi
pohybuje?
Řešení:
Úlohu budeme řešit v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí.
(a) Na psa působí tíhová síla Země Fp
G, tlaková síla saní Np
a statická třecí síla Fp
t,s (pes je
vzhledem k saním v klidu). Pes se vzhledem k Zemi pohybuje se stejným zrychlením jako saně
(vazební podmínka), druhý Newtonův zákon pro psa má tedy tvar
Ma = Fp
G + Np
+ Fp
t,s .
Protože jsou první dvě síly svislé, je statická třecí síla Fp
t,s souhlasně rovnoběžná s vektorem
zrychlení a psa (viz první část Obrázku 3). V soustavě souřadnic Oxy s osou x vodorovnou
4
a orientovanou souhlasně se společným zrychlením saní a psa a osou y orientovanou svisle
vzhůru jsou složky jednotlivých vektorů vystupujících v druhém Newtonově zákoně
Fp
G = (0, -Fp
G) , Np
= (0, Np
) , Fp
t,s = Fp
t,s, 0 , a = (a, 0) ,
p
F
x
y
O
N s
-F Ft,d
s
Fs
G
t,s
-N
p
p
x
y
O
N p
Fp
t,s
FG
Obrázek 3: Silové diagramy pro psa a pro saně
tj.
x : Ma = Fp
t,s ,
y : 0 = Np
- Fp
G .
Po dosazení silového zákona Fp
G = Mg
dostáváme výsledky
Fp
t,s = Ma , Np
= Mg .
(b) Na saně působí dítě silou F,
Země tíhovou silou Fs
G, podložka
pak tlakovou silou Ns
a dynamickou
třecí silou Fs
t,d. Nesmíme ale zapomenout
na to, že když saně působí na
psa (část (a)), působí podle třetího
Newtonova zákona i pes na saně, a to
tlakovou silou -Np
a statickou třecí
silou -Fp
t,s (viz druhá část Obrázku 3).
Druhý Newtonův zákon pro saně je
tedy
ma = F + Fs
G + Ns
+ Fs
t,d - Np
- Fp
t,s .
Jednotlivé vektory mají v již zavedené
soustavě souřadnic složky
F = (F cos , F sin ) , Fs
G = (0, -Fs
G) , Ns
= (0, Ns
) , Fs
t,d = -Fs
t,d, 0 ,
-Np
= (0, -Np
) , -Fp
t,s = -Fp
t,s, 0 , a = (a, 0) ,
tj.
x : ma = F cos  - Fs
t,d - Fp
t,s ,
y : 0 = F sin  - Fs
G + Ns
- Np
.
Přihlédnutím k silovým zákonům Fs
G = mg a Fs
t,d = fNs
a k výsledkům z části (a) Fp
t,s = Ma,
Np
= Mg, získáváme soustavu dvou rovnic pro dvě neznáme Ns
a a
x : ma = F cos  - fNs
- Ma ,
y : 0 = F sin  - mg + Ns
- Mg .
Z druhé rovnice vychází
Ns
= (m + M) g - F sin  ,
po dosazení do první pak
a =
F cos  - f [(m + M) g - F sin ]
m + M
.
5
Diskuze výsledků:
Ze vztahu pro velikost tlakové síly podložky Ns
je zřejmé, že zadání úlohy dává smysl pouze
pro hodnoty veličin m , M , F a  splňující podmínku
Ns
= (m + M) g - F sin   0 .
Ze vztahu pro velikost zrychlení pak plyne další podmínka kladená na tyto veličiny
a =
F cos  - f [(m + M) g - F sin ]
m + M
 0  F cos -f [(m + M) g - F sin ]  0 .
Poznámka 1:
Pokud by bylo úkolem určit pouze společné zrychlení saní a psa, stačilo by ztotožnit dvojici
"sáně+pes" s jediným hmotným bodem o hmotnosti (m + M) a postupovat stejně jako
v Úloze 2. Nástrahy druhé.
Poznámka 2:
Jistě jste si všimli, že sílu, jíž působí podložka na těleso, důsledně nazýváme tlakovou silou
podložky a ne reakcí podložky, jak někdy vídáme v učebnicích ([1.]). Pojem reakce podložky totiž
může podporovat nesprávný (a ne zcela ojedinělý) dojem, že tíhová síla a tlaková síla podložky
jsou silami akce a reakce. (Proč tomu tak není?) 
Do třetice si všimněme pohybu, jehož realizaci si lze bez přítomnosti tření jen stěží před-
stavit.
Úloha 3.:
Jistě si vzpomenete, na jakém kole jezdí Večerníček. Určete směr a orientaci třecí síly, jíž na
toto kolo působí vodorovná podložka. Jaký směr má třecí síla?
Řešení:
Označme a zrychlení soustavy "kolo+Večerníček" vzhledem k Zemi. Zanedbáme-li odpor vzduchu,
působí na ni tíhová síla, tlaková síla podložky a statická třecí síla (přirozeně totiž předpokládáme,
že kolo nepodkluzuje). První dvě jmenované síly jsou svislé, proto musí mít třecí síla
směr zrychlení soustavy. To ale znamená, že pokud se například kolo rozjíždí po přímé trati
(tj. nezatáčí), moment třecí síly otáčivý pohyb kola brzdí! Nenechte se však zmást a přemýšlejte:
Co musí dělat Večerníček pro to, aby se skutečně rozjel? 
Závěrečná poznámka:
Silový zákon pro velikost dynamické třecí síly i vztah pro maximální přípustnou hodnotu statické
třecí síly má makroskopický charakter a lze jej získat zobecněním výsledků řady experimentů.
Mikroskopická interpretace obou vztahů je stručně popsána např. v [4.]
Otázky, cvičení a náměty k přemýšlení:
1. Jakou podmínku musí splňovat velikost síly F, aby se pes z Úlohy 2. vzhledem k saním
skutečně nepohyboval? Jakým směrem se dá pes vzhledem k saním do pohybu, nebude-li
odvozená podmínka splněna? (Kriticky posuďte, do jaké míry je tato modelová situace
reálná.) S jakým zrychlením se pak vzhledem k Zemi pohybuje pes a s jakým saně?
6
2. Znovu vyřešte Úlohu 3. a Úlohu 4. ze str. 5. Nástrahy druhé.
3. Jaký je směr a orientace třecí síly, jíž působí podložka na kolo, rozjíždí-li se Večerníček
pro zakřivené trajektorii? (Srv. též s Nástrahou čtvrtou).
4. Vyjmenujte a zakreslete všechny síly (včetně působišť), které působí na klasické jízdní
kolo rozjíždějící se/brzdící na přímé vodorovné trajektorii (k této úloze se ještě vrátíme
v Nástraze desáté). Jaká je výslednice těchto sil?
5. Ke svislé stěně přiložíme hranol o hmotnosti m a působíme na něj vodorovnou silou F.
Co lze říci o koeficientu statického tření mezi styčnými plochami, je-li hranol vzhledem
ke stěně v klidu?
6. Vysvětlete, proč se člověk v pletených rukavicích musí v tramvaji držet pevněji než člověk
bez rukavic.
7. Uveďte a podrobně prodiskutujte příklady z běžného života, v nichž hrají třecí síly
klíčovou roli.
8. Lze souhlasit s tím, že "třecí síly působí vždy proti pohybu tělesa"? Podrobně vysvětlete.
********************
Příbuzné texty:
Hlavní text
Nástraha první:
Není pohyb jako pohyb aneb Kinematika jako zahřívací předkolo
Nástraha druhá:
Vektory, průměty, složky, velikosti, ... aneb Jak se vypořádat s řešením
úloh?
Nástraha čtvrtá:
Dynamika křivočarého pohybu aneb Jak se vyhnout tradičním omylům?
Nástraha pátá:
Výtahy, vlaky, kolotoče, ... aneb Co náš čeká v neinerciálních soustavách?
Nástraha šestá:
Když se sejde více částic aneb Mechanika tuhého tělesa
Nástraha sedmá:
Zákony zachování aneb "Není nutné vědět o všem..."
Nástraha osmá:
Vody stojaté i tekoucí aneb Mechanika kapalin
Nástraha devátá:
Když Newtonovy zákony nestačí aneb Termodynamika a statistická fyzika
v kostce
Nástraha desátá -- bonusová:
Příliš těžké ??? aneb Několik úloh "s hvězdičkou"
7