Nástraha čtvrtá:
Dynamika křivočarého pohybu
aneb Jak se vyhnout tradičním omylům?
Pokud jsme se úspěšně vypořádali s první trojicí Nástrah, může se zdát, že nás již nic
nemůže zaskočit. K oblíbené a účinné kontrole, zda tomu tak skutečně je, slouží úlohy z dynamiky
křivočarého pohybu. Co v sobě mají v porovnání s jiným typem úloh tak zvláštního?
G 

F
T
Podívejme se na červeně zarámovaný obrázek,
jehož různé varianty se již tradičně objevují na
stránkách středoškolských učebnic ([1.]). Znázorňuje
síly působící na kuličku zavěšenou na napnutém vlákně
při pohybu ve svislé rovině. Kulička se -- soudě podle
zakreslené části trajektorie -- nachází v obecné
(nikoli tedy v krajní nebo v rovnovážné) poloze.
Ponechme stranou skutečnost, že výslednice tíhové
síly a tahové síly vlákna je zde nevhodně vyznačena
stejným grafickým stylem jako jednotlivé síly1
. Podstatnější
je, že tato výslednice má na obrázku směr
tečny(!) k trajektorii ([18.]). Potom by ovšem měla
tahová síla vlákna v poloze popsané úhlem  velikost
T = mg cos , při průchodu rovnovážnou polohou
( = 0) pak T = mg, tedy stejnou, jako kdyby v ní
kyvadlo v klidu viselo! To je ale v rozporu se zkušenostmi
každého, kdo se někdy houpal na houpačce...!!!
Tento typický a ne zcela ojedinělý omyl je jedním
z mnoha vnějších projevů nástrahy, která se v dynamice
křivočarého pohybu skrývá ([14.]). K jejímu odhalení nám opět pomohou řešené úlohy.
Úloha 1.:
Na nepružném vlákně délky l a zanedbatelné hmotnosti je zavěšena malá kulička o hmotnosti m.
Napnuté vlákno vychýlíme o úhel 0  90o
a uvolníme. Odpor vzduchu i tření v bodě závěsu
zanedbáváme.
(a) Kvalitativně popište pohyb kuličky.
(b) V obecné poloze kyvadla popsané úhlem  určete velikost tahové síly vlákna.
(c) V aproximaci malých kmitů (tj. sin   , dosazováno v radiánech) určete periodu ky-
vadla.
(d) Schematicky zakreslete směr výslednice sil působících na kuličku při průchodu krajní,
obecnou a rovnovážnou polohou.
Řešení:
Úlohu budeme řešit v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí.
(a) Napnuté vlákno s kuličkou koná kmitavý pohyb ve svislé rovině s maximální úhlovou
výchylkou 0 (tzv. rovinné nebo také matematické kyvadlo).
1
Nebezpečí, k nimž tento "zvyk" může vést, jsou popsána v Nástraze druhé.
1
(b), (c) Na kuličku působí dva objekty: Země tíhovou silou FG a vlákno tahovou silou T.
Druhý Newtonův zákon pro kuličku má tedy tvar2
ma = FG + T .
hO
x
y
T
FG

l

l
Obrázek 1: Matematické kyvadlo
Soustavu souřadnic
Oxy zvolme s ohledem
na další postup
tak, že její počátek O
je ztotožněn se středem
kuličky, osa x
má směr tečny k trajektorii
a je orientovaná
stejně jako
okamžitá rychlost kuličky,
osa y má směr
normály k trajektorii
a je orientovaná
do bodu závěsu
(viz první část Obrázku
1, v němž orientace osy x odpovídá situaci, kdy úhel  roste). Jednotlivé vektory v ní mají
složky
FG = (-FG sin , -FG cos ) , T = (0, T) , a = (a , an) ,
kde a označuje tečnou a an normálovou složku (okamžitého) zrychlení kuličky.
Poznámka:
I když se soustava souřadnic Oxy pohybuje spolu s kuličkou, popisujeme pohyb kuličky stále
z hlediska inerciální vztažné soustavy spojené se Zemí. V pohyblivé soustavě souřadnic určujeme
v každém okamžiku pouze průměty jednotlivých vektorů do dvou význačných navzájem kolmých
směrů: do směru tečny a do směru normály k trajektorii kuličky.
Druhý Newtonův zákon pro kuličku zapsaný ve složkách
x : ma = -FG sin  ,
y : man = T - FG cos 
doplníme silovým zákonem pro velikost tíhové síly FG = mg a známými vztahy a = dv
dt
,
an = v2
l
, v nichž v je velikost (okamžité) rychlosti kuličky:
x : m
dv
dt
= -mg sin  ,
y : m
v2
l
= T - mg cos  .
Abychom mohli z druhé rovnice určit velikost tahové síly vlákna, potřebujeme odvodit vztah pro
velikost rychlosti kuličky v dané úhlové poloze. K tomu poslouží zákon zachování mechanické
2
Protože se lze často setkat s tendencí zařazovat do druhého Newtonova zákona pro kuličku i setrvačnou/odstředivou
sílu ([14.]), připomínáme, že úlohu řešíme v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí, v níž
setrvačné síly nemají místo (srv. též s Nástrahou pátou).
2
energie3
: zvolíme-li hladinou nulové potenciální energie tíhové vodorovnou rovinu procházející
rovnovážnou polohou a označíme-li h vzdálenost kuličky od této roviny v poloze určené úhlem ,
dostáváme porovnáním celkové mechanické energie kuličky v obecné poloze (, h, v) a v krajní
poloze ( = 0, h = h0, v = v0 = 0)
mgh +
1
2
mv2
= mgh0 + 0 .
Pro pravoúhlý trojúhelník vyznačený ve druhé části Obrázku 1 modře platí
cos  =
l - h
l
= h = l (1 - cos ) ,
podobně h0 = l (1 - cos 0), tedy
v = 2gl (cos  - cos 0) ,
po dosazení a úpravě potom
T = mg (3 cos  - 2 cos 0) .
Diskuze výsledku:
V krajní poloze ( = 0) platí T = mg cos 0, při průchodu rovnovážnou polohou ( = 0) pak
T = mg (3 - 2 cos 0) > mg. V souladu se zkušenostmi z houpaček je tedy tahová síla vlákna
(resp. tlaková síla sedačky) při průchodu rovnovážnou polohou větší než tíhová síla. Vždy je
proto nutné důsledně rozlišovat mezi situací, kdy kyvadlo v rovnovážné poloze v klidu visí
(T = mg) a situací, kdy jí prochází (T > mg).
Vraťme se nyní k první rovnici složkového zápisu druhého Newtonova zákona a dosaďme
do ní vztah dv
dt
= ld
dt
= ld2
dt2 vyjadřující souvislost mezi obvodovými a úhlovými veličinami. Po
úpravě dostaneme diferenciální rovnici pro závislost úhlové výchylky (t) kyvadla na čase4
d2

dt2
+
g
l
sin  = 0 .
Tuto rovnici lze explicitně vyřešit (tj. zapsat řešení formou konečného součtu elementárních
funkcí) pouze pro malé úhlové výchylky, takové, že v rámci požadované přesnosti platí sin   
(v obecném případě je nutno přistoupit k řešení numerickému). Potom
d2

dt2
+
g
l
 = 0 .
Řešení získané diferenciální rovnice lze zapsat například ve tvaru (viz [20.], [21.] a [22.])
(t) = A sin (t) + B cos (t) , kde  =
g
l
,
konstanty A a B určíme z počátečních podmínek (proveďte, vyjde A = 0, B = 0). Z něj
získáváme vztah pro periodu malých kmitů kyvadla
2
T
=
g
l
= T = 2
l
g
.
3
Dodejme, že zákon zachování mechanické energie zde platí proto, že jednak zanedbáváme ztráty (odpor
vzduchu a tření v bodě závěsu), jednak je tahová síla vlákna v každém okamžiku kolmá k trajektorii kuličky,
a proto nekoná práci.
4
Jako užitečné cvičení můžete tuto diferenciální rovnici odvodit i pro zbývající případy, tj.   0 a kyvadlo
klesá,   0 a kyvadlo stoupá, nebo   0 a kyvadlo klesá.
3
(C)
(A)
(B) (D)
(E)
Obrázek 2: Schematické znázornění výslednice sil působících
na kuličku
(d) Pro výslednici sil působících na
kuličku platí
Fv = FG + T = ma .
S ohledem na dříve uvedený složkový
zápis pravé části tohoto vztahu (str. 2)
již snadno schematicky zakreslíme směr
výslednice (viz Obrázek 2):
* v krajní poloze (A, E) je okamžitá
rychlost kuličky nulová, normálové
zrychlení kuličky je proto
nulové, zatímco tečné zrychlení je
nenulové, výsledná síla má tedy směr tečny k trajektorii ;
* při průchodu rovnovážnou polohou (C) je tečné zrychlení nulové, ale kulička má nenulovou
rychlost, proto je její normálové zrychlení nenulové a směřuje vzhůru, výsledná síla tedy
směřuje také vzhůru;
* v obecné poloze (B, D) má zrychlení kuličky nenulovou jak tečnou, tak normálovou složku,
nenulovou tečnou i normálovou složku má proto také výsledná síla. 
Situaci na houpačce máme zvládnutou, přejděme tedy k jinému speciálnímu typu pohybu
tělíska zavěšeného na vlákně -- k modelu řetízkového kolotoče.
Úloha 2.:
Na nepružném vlákně délky l a zanedbatelné hmotnosti je zavěšena malá kulička o hmotnosti m.
Napnuté vlákno vychýlíme o úhel 0 a uvedeme do pohybu tak, že kulička se pohybuje stále
v téže vodorovné rovině. Odpor vzduchu i tření v bodě závěsu zanedbáváme.
(a) Kvalitativně popište pohyb kuličky.
(b) Určete rychlost kuličky a periodu jejího pohybu.
(c) Určete zrychlení kuličky.
(d) Určete velikost všech sil, které na kuličku působí.
Řešení:
Úlohu budeme opět řešit v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí.
(a) Vlákno se pohybuje po povrchu rotačního kužele, v každém okamžiku leží v některé jeho
povrchové přímce (tzv. kónické kyvadlo). Trajektorií kuličky je kružnice ve vodorovné rovině.
Vzhledem k tomu, že se potenciální energie tíhová kuličky během pohybu nemění, nemění se
podle zákona zachování mechanické energie ani velikost její rychlosti. Kulička se tedy po kružnici
pohybuje rovnoměrně.
(b) Na kuličku působí dva objekty: Země tíhovou silou FG a vlákno tahovou silou T, druhý
Newtonův zákon má tedy tvar
ma = FG + T .
Protože se kulička pohybuje rovnoměrně po kružnici, tj. její tečné zrychlení je nulové, je výslednice
tíhové síly a tahové síly silou dostředivou (viz Obrázek 3, v němž je tato výslednice vyznačena
červeně). Hledanou velikost rychlosti kuličky můžeme určit, aniž bychom museli volit
soustavu souřadnic a zapisovat jednotlivé vektory ve složkách. Stačí si všimnout pravoúhlého
4
trojúhelníka, jehož odvěsny mají délky odpovídající velikosti výsledné (dostředivé) síly a tíhové
síly a přepona má délku odpovídající velikosti tahové síly (viz Obrázek 3). Platí:
tan 0 =
Fd
FG
=
mv2
R
mg
=
v2
lg sin 0
= v = lg sin 0 tan 0 .
Velikost rychlosti kuličky je určena právě odvozeným vztahem, její vektor je v každém okamžiku
tečný ke kružnicové trajektorii o poloměru R = l sin 0. (Rychlost kuličky tedy není konstantní,
neboť její vektor se neustále mění.) Periodu pohybu vypočteme ze vztahu známého z kinematiky
T =
2R
v
=
2l sin 0

lg sin 0 tan 0
= 2
l
g cos 0
.
l

R
F
F
T
d
G
0
Obrázek 3: Kónické kyvadlo (rovina,
v níž se kulička pohybuje, je kolmá
k nákresně)
(c) Přestože se kulička pohybuje rovnoměrně (velikost
rychlosti se nemění), má v důsledku zakřivení trajektorie
nenulové zrychlení směřující do středu kružnicové trajektorie
-- zrychlení kuličky je zrychlením dostředivým.
Ke zjištění jeho velikosti poslouží již zmíněný pravoúhlý
trojúhelník:
tan 0 =
Fd
FG
=
mad
mg
= a = ad = g tan 0 .
(d) Jak již je uvedeno v části (b), na kuličku působí
pouze dvě síly: svislá tíhová síla Země FG, jejíž velikost
je dána silovým zákonem FG = mg, a tahová síla T, která
má v každém okamžiku směr napnutého vlákna (tato síla
tedy není konstantní). Její velikost stanovíme opět ze
známého pravoúhlého trojúhelníka:
cos 0 =
FG
T
= T =
FG
cos 0
=
mg
cos 0
.
Zdůrazněme, že dostředivá síla zde není jednou z působících
sil -- je výslednicí tíhové síly Země a tahové síly vlákna. 
Podstatu nástrahy, kterou jsme objevili při řešení předchozích dvou úloh, zbývá již jen jasně
pojmenovat.
Důležité:
Výslednice sil Fv = ma působících na hmotný bod, který se pohybuje po zakřivené trajektorii,
má v každém okamžiku obecně nenulový průmět jak do směru tečny, tak do směru normály
k trajektorii, ve složkovém zápisu tedy
Fv, = ma = m
dv
dt
 0 ,
Fv,n = man = m
v2
R
 0 ,
kde R je poloměr oskulační kružnice, jíž nahrazujeme trajektorii v okolí dané polohy hmotného
bodu. Tečná složka přitom zodpovídá za změnu velikosti rychlosti hmotného bodu, normálová
složka souvisí se změnou směru vektoru jeho rychlosti, tj. se zakřivením trajektorie. Klasifikaci
jednotlivých typů pohybu shrnuje následující tabulka.
5
typ pohybu rovnoměrný nerovnoměrný
přímočarý a (t)  0 a (t)  0
an(t)  0 an(t)  0
křivočarý a (t)  0 a (t)  0
an(t)  0 an(t)  0
Na úplný závěr neuškodí ještě jedna úloha na zcela obecný, tj. nerovnoměrný křivočarý,
pohyb.
Úloha 3.:
V zatáčce o poloměru R ležící ve vodorovné rovině se rovnoměrně zrychleně rozjíždí automobil
o hmotnosti m tak, že za dobu t dosáhne rychlosti o velikosti v. Jakou velikost má v tomto
okamžiku výslednice sil, které na něj působí?
Řešení:
Pro výslednici sil, které působí na automobil, platí
Fv = ma ,
její velikost je Fv = ma. Zbývá určit velikost zrychlení automobilu v čase t: toto zrychlení má
nenulovou tečnou i normálovou složku, tj.
a = a2
 + a2
n =
v
t
2
+
v2
R
2
= Fv = ma = m a2
 + a2
n = m
v
t
2
+
v2
R
2
.
Dodejme, že tlakové síly podložky a tíhová síla se kompenzují (proč?), výslednice sil je tedy
určena vektorovým součtem statických třecích sil mezi pneumatikami kol a vozovkou (srv.
s Úlohou 3. Nástrahy třetí). 
Otázky, cvičení a náměty k přemýšlení:
1. Na nepružném vlákně délky l a zanedbatelné hmotnosti je zavěšena malá kulička o hmotnosti
m. Víme, že k přetržení vlákna je zapotřebí síly o velikosti F. Napnuté vlákno
vychýlíme o úhel 0  90o
a uvolníme. Odpor vzduchu i tření v bodě závěsu zanedbáváme.
Jakou podmínku musí splňovat veličiny l , m , 0 a F, aby se vlákno v průběhu
pohybu nepřetrhlo?
2. Zjistěte, jaké chyby se dopustíme, provedeme-li pro  = 3o
,  = 5o
a  = 10o
náhradu
sin  = . Pozor -- nutno dosazovat v radiánech! (Srv. s [21.].)
3. Jakou minimální rychlost musíme udělit kuličce
6
(a) zavěšené na niti délky l a zanedbatelné hmotnosti,
(b) upevněné na tyči délky l a zanedbatelné hmotnosti
v rovnovážné poloze, aby vystoupila do nejvyššího bodu kružnicové trajektorie ležící ve
svislé rovině? Vysvětlete případnou rozdílnost výsledků (uvědomte si, že vlákno musí být
stále napnuté -- nesmí se "pokrčit"). Odpor vzduchu a tření v bodě závěsu zanedbejte.
4. Kyvadlo je tvořeno malou kuličkou zavěšenou na niti délky l = 1, 0 m a zanedbatelné
hmotnosti. Kuličce udělíme v rovnovážné poloze rychlost o velikosti v0 = 5, 5 m  s-1
kolmou k napnuté niti. Určete místo, v němž se kulička oddělí od kružnicové trajektorie.
Do jaké výšky nad vodorovnou rovinou procházející rovnovážnou polohou kulička
vystoupí? Odpor vzduchu a tření v bodě závěsu zanedbejte.
5. Hmotný bod se nachází v nejvyšším bodě nehybné kulové plochy o poloměru R a po
nepatrném impulzu se dá do pohybu. Určete místo, v němž se hmotný bod od kulové
plochy oddělí. Tření i odpor vzduchu zanedbejte.
6. Jakých hodnot může pro kónické kyvadlo (viz Úloha 2.) nabývat úhel 0? Zdůvodněte.
7. Jaké síly působí na cestujícího o hmotnosti m pohodlně usazeného v tramvaji, která
projíždí rychlostí o velikosti v zatáčkou o poloměru R ležící ve vodorovné rovině? Jaká je
výslednice těchto sil?
8. Vysvětlete, proč je například za deště nebezpečné přidávat při průjezdu zatáčkou plyn/brzdit.
********************
Příbuzné texty:
Hlavní text
Nástraha první:
Není pohyb jako pohyb aneb Kinematika jako zahřívací předkolo
Nástraha druhá:
Vektory, průměty, složky, velikosti, ... aneb Jak se vypořádat s řešením
úloh?
Nástraha třetí:
Rozumíme silám tření? aneb K čemu slouží vazební podmínky?
Nástraha pátá:
Výtahy, vlaky, kolotoče, ... aneb Co náš čeká v neinerciálních soustavách?
Nástraha šestá:
Když se sejde více částic aneb Mechanika tuhého tělesa
Nástraha sedmá:
Zákony zachování aneb "Není nutné vědět o všem..."
Nástraha osmá:
Vody stojaté i tekoucí aneb Mechanika kapalin
Nástraha devátá:
Když Newtonovy zákony nestačí aneb Termodynamika a statistická fyzika
v kostce
Nástraha desátá -- bonusová:
Příliš těžké ??? aneb Několik úloh "s hvězdičkou"
7