Nástraha pátá:
Výtahy, vlaky, kolotoče, ...
aneb Co nás čeká v neinerciálních soustavách?
Úlohy, jimiž jsme se v předchozích Nástrahách zabývali, měli jedno společné: řešili jsme je
ve vztažné soustavě spojené se Zemí a tuto (tzv. laboratorní) vztažnou soustavu jsme považovali
za soustavu inerciální. Vztažné soustavy, které nás denně obklopují -- a to nejen například
rozjíždějící se či brzdící dopravní prostředky, ale přesně vzato také samotná Země1
-- však
patří k soustavám neinerciálním. Existuje způsob, jak řešit úlohy z dynamiky hmotného bodu
i v těchto soustavách? Víme přece, že Newtonovy zákony v nich neplatí!
Věci znalý čtenář prohlásí: "Nevadí -- vezmeme v úvahu setrvačné (fiktivní) síly a budeme
s nimi počítat jako se silami ostatními." Jakkoli se tento závěr může zdát jasný a výstižný,
opět v sobě skrývá nástrahy: i s jednoduchými prostředky je totiž třeba umět dobře zacházet.
O tom, že tomu tak není vždy, nás opět přesvědčují středoškolské učebnice, z nichž vybíráme
první ukázku:
Ukázka první -- učebnicová ([1.])
V neinerciálních vztažných soustavách nezůstává izolované těleso v klidu nebo v rovnoměrném
přímočarém pohybu. Na těleso v neinerciální vztažné soustavě působí
setrvačná síla Fs = -ma, vznikající jako důsledek zrychleného pohybu soustavy.
...
Setrvačné síly existují jen v neinerciálních vztažných soustavách, v inerciálních
nikoli. Setrvačné síly jsou pro pozorovatele v neinerciální vztažné soustavě reálné
stejně jako síly vzájemného působení mezi tělesy a mohou se s těmito silami sklá-
dat.
Student si po pročtení učebnicové kapitoly korunované citovanými formulacemi snadno (a nadlouho)
zafixuje, že setrvačné síly "reálně existují", a často o nich pak nesprávně uvažuje i při
řešení úloh v inerciálních vztažných soustavách (jde především o "sílu odstředivou" při studiu
pohybu hmotného bodu po kružnici ([14.])). K závěru o "reálnosti setrvačných sil" a o jejich
"reálných účincích" pravděpodobně dospěje i čtenář, který v encyklopedii nalistuje heslo
"Coriolisova síla" (tuto sílu zná středoškolák spíše ze zeměpisu než z fyziky):
Ukázka druhá -- encyklopedická ([24.])
Coriolisova síla, zvl. odstředivá síla uplatňující se při relativním pohybu hmotného
bodu v nesetrvačné otáčející se soustavě. Složkou celk. zrychlení je zde Coriolisovo
zrychlení. C.s. vyvolává např. u pohybujících se těles (při pohledu ve směru pohybu)
odchylku doprava na sev. polokouli, doleva na již. polokouli. V přírodě C.s. ovlivňuje
např. cirkulaci atmosféry, mořské proudy, toky řek.
Protože nemá smysl pouštět se do řešení úloh a nemít při tom v otázce setrvačných sil
naprosté jasno, uvedeme nejprve věci na pravou míru.
1
Nebude-li řečeno jinak (například Úloha 2.), budeme vztažnou soustavu spojenou se Zemí i nadále považovat
za soustavu inerciální. Tento předpoklad je pro běžné děje, které sledujeme v krátkých časových intervalech,
s dobrou přesností splněn.
1
Důležité:
Při řešení úloh v inerciálních vztažných soustavách se z Newtonových zákonů nejčastěji uplatňuje
druhý,
ma = F1 + F2 + . . . + Fn-1 + Fn =
n
i=1
Fi = Fv ,
v němž a označuje zrychlení hmotného bodu (částice) vzhledem k dané vztažné soustavě a Fv
označuje výslednici sil F1 , F2 , . . . , Fn-1 , Fn , jimiž na sledovaný hmotný bod působí okolní
hmotné objekty. Pro síly Fi , 1  i  n , tzv. reálné síly, platí třetí Newtonův zákon -- stejně
velkými opačně orientovanými silami působí sledovaný hmotný bod na okolní hmotné objekty.
V neinerciálních vztažných soustavách, jak známo, druhý Newtonův zákon neplatí. Protože
jde ale o poměrně silný nástroj s celou řadou aplikací, vzdávali bychom se jej jen neradi: naší
snahou tedy bude vhodně jej modifikovat a "rozšířit" tak jeho platnost i na neinerciální vztažné
soustavy. Ukazuje se (viz Hlavní text), že tato modifikace spočívá v zahrnutí setrvačné (nebo
také fiktivní) síly F
. Platí
ma = F1 + F2 + . . . + Fn-1 + Fn + F
=
n
i=1
Fi + F
,
kde a označuje zrychlení hmotného bodu vzhledem k neinerciální vztažné soustavě. Je nezbytné
zdůraznit, že setrvačná síla nemá původ ve vzájemné interakci sledovaného hmotného bodu
s okolními hmotnými objekty, a proto na ni ve smyslu třetího Newtonova zákona neexistuje
reakce. Není tedy ničím jiným než pouze opravným členem s fyzikálním rozměrem síly,
který umožňuje formálně rozšířit platnost druhého Newtonova zákona i na neinerciální vztažné
soustavy a který s ostatními, reálnými, silami formálně sčítáme podle obvyklých pravidel pro
počítání s vektory.
Na střední škole se zpravidla vystačí s nejjednodušší situací, kdy se neinerciální vztažná
soustava vzhledem k inerciální pohybuje translačně (tj. její osy se neotáčejí) se zrychlením at.
Potom
F
= -mat .
Protože se čtenář může setkat i s jinými typy setrvačných sil, například s často zmiňovanou
silou Coriolisovou, uvedeme zde pro informaci zcela obecný zápis setrvačné síly (viz např. [3.],
[8.], částečně i [10.]), jehož pochopení vyžaduje jistou matematickou pokročilost -- znalost
vektorového součinu:
F
= -mat - m [ × ( × r )] - 2m ( × v ) - m ( × r ) ,
kde r je polohový vektor hmotného bodu v neinerciální vztažné soustavě, v je jeho rychlost,
 je úhlová rychlost neinerciální vztažné soustavy vzhledem k soustavě inerciální a  je odpovídající
úhlové zrychlení. Vidíme, že setrvačnou sílu tvoří součet čtyř členů: translační setrvačné
síly
F
t = -mat ,
odstředivé setrvačné síly (přívlastek "odstředivá" vyjadřuje směr a orientaci této síly)
F
o = -m [ × ( × r )] ,
Coriolisovy setrvačné síly
F
C = -2m ( × v )
a Eulerovy setrvačné síly
F
E = -m ( × r ) .
2
Po rekapitulaci rozdílu mezi formulací druhého Newtonova zákona v inerciální a v neinerciální
vztažné soustavě již můžeme přistoupit k řešení úloh. Uvidíme, že někdy je náročnost
řešení z hlediska inerciální i z hlediska neinerciální vztažné soustavy srovnatelná (Úloha 1.),
jindy je přirozenější řešit úlohu v neinerciální vztažné soustavě (Úloha 2.) a konečně existují
situace, v nichž je snazší řešit úlohu v inerciální vztažné soustavě a výsledek pak transformovat
do dané soustavy neinerciální (Úloha 3.)2
.
Úloha 1.:
Na podlaze výtahu leží pružinové váhy cejchované v kilogramech. Jaký údaj ukazují, stoupne-li
si na ně pasažér o hmotnosti m a výtah se pohybuje s konstantním zrychlením A? Úlohu řešte
z hlediska pozorovatele stojícího na schodišti (inerciální vztažná soustava) i z hlediska pasažéra
jedoucího ve výtahu (neinerciální vztažná soustava). Proveďte diskuzi výsledku v závislosti na
orientaci vektoru A.
Řešení v inerciální vztažné soustavě spojené se Zemí:
N
A
FG
N
A
FG
Obrázek 1: Silový diagram pro pasažéra -- inerciální vztažná sou-
stava
Na pasažéra působí dvě reálné
síly: tíhová síla Země FG
a tlaková síla podložky (vah) N
(viz Obrázek 1). Protože se
pasažér vzhledem k Zemi pohybuje
se stejným zrychlením
jako výtah (vazební podmínka
a = A), má druhý Newtonův
zákon tvar
mA = FG + N .
Uvážením směru jednotlivých
vektorů a silového zákona pro
velikost tíhové síly FG = mg
dostáváme
mA = mg - N = N = m (g A) ,
přičemž horní z dvojice znamének u velikosti zrychlení odpovídá situaci znázorněné v první
části Obrázku 1 (výtah se rozjíždí dolů, nebo brzdí při pohybu vzhůru). Jak již jsme uvedli,
tlaková síla podložky (vah) N je silou reálnou. Podle třetího Newtonova zákona tedy působí
pasažér na váhy silou stejně velkou, ale opačně orientovanou. Váhy pak ukazují údaj m, pro
nějž platí
N = mg = m =
N
g
= m 1
A
g
.
Diskuze výsledku:
Výsledek je ve shodě se zkušenostmi z výtahu: pokud se výtah rozjíždí dolů, nebo brzdí při
pohybu vzhůru (viz první část Obrázku 1), je tlaková síla podložky menší než v případě, že se
výtah pohybuje rovnoměrně, a váhy tak povzbudivě ukazují menší údaj ( m < m). Pokud se
výtah rozjíždí vzhůru, nebo brzdí při pohybu dolů (viz druhá část Obrázku 1), je tlaková síla
podložky naopak větší a větší údaj ukazují také váhy ( m > m).
2
Dodejme, že někteří autoři (např. [4.]) setrvačné síly vůbec nezavádějí a úlohy řeší výhradně v inerciálních
vztažných soustavách.
3
Řešení v neinerciální vztažné soustavě spojené s výtahem:
*
A
FG
F*
N
A
FG
F
N
Obrázek 2: Silový diagram pro pasažéra -- neinerciální vztažná
soustava (setrvačná síla je nyní zvýrazněna černě)
Na pasažéra opět působí dvě
reálné síly: tíhová síla Země FG
a tlaková síla podložky (vah) N.
Chceme-li pro něj i nyní zapsat
druhý Newtonův zákon,
musíme vzít v úvahu opravný
člen -- setrvačnou sílu F
(viz
Obrázek 2). Protože se pasažér
vzhledem k výtahu nepohybuje
(vazební podmínka a = 0), má
druhý Newtonův zákon tvar
0 = FG + N + F
.
Uvážením vztahu F
= -mA,
orientace jednotlivých vektorů
a silového zákona pro velikost tíhové síly FG = mg dostáváme
0 = mg - N mA = N = m (g A) ,
přičemž horní z dvojice znamének opět odpovídá situaci znázorněné v první části Obrázku 2.
Další postup je již stejný jako při řešení úlohy z hlediska inerciální vztažné soustavy spojené se
Zemí. 
V souvislosti s předchozí úlohou se přímo nabízí (opět) zdůraznit jednu důležitou skutečnost.
Důležité:
Přemýšleli jste někdy, proč některým lidem bývá špatně v dopravních prostředcích nebo na kolotočích?
Odhlédneme-li od rychle se střídajících zrakových vjemů, zbývá jediná příčina: změny
tlakových sil Ni, které působí na jednotlivé orgány. V žádném případě tedy nejde o "projevy
setrvačných sil", jak si lidé často myslí: setrvačné síly totiž nejsou reálnými silami, ale pouze
opravnými členy umožňujícími formálně rozšířit platnost druhého Newtonova zákona i na neinerciální
vztažné soustavy.
Vraťme se nyní k dynamice křivočarého pohybu -- konkrétně k Úloze 1. a k Úloze 2.
Nástrahy čtvrté. Zatímco k řešení Úlohy 1. z hlediska neinerciální vztažné soustavy spojené
s kuličkou by asi přistoupil málokdo (i když, možné to samozřejmě je, jen je nutné uvědomit
si, že setrvačná síla má obecně nenulovou jak tečnou, tak normálovou složku), řešení Úlohy 2.
v neinerciální vztažné soustavě lze vídat poměrně často (vyzkoušejte). Zde, s ohledem na důležitost
navazující diskuze, zařazujeme poněkud jinou úlohu na pohyb hmotného bodu po kružnici.
Úloha 2.:
Vysvětlete rozdíl mezi gravitační a tíhovou silou. Zemi považujte za homogenní kouli o hmotnosti
MZ a o poloměru RZ.
4
g

F
FG

ZR
*
F
Obrázek 3: K definici tíhové síly
Řešení:
Víme již, že vztažná soustava spojená se Zemí je soustavou
neinerciální -- především proto, že Země se
otáčí kolem své osy úhlovou rychlostí, jejíž velikost 
budeme pro jednoduchost považovat za konstantní3
.
Všimněme si částice o hmotnosti m umístěné na
zemském povrchu v místě o zeměpisné šířce . Tato
částice se vzhledem k inerciální vztažné soustavě, která
se spolu se Zemí pohybuje kolem Slunce, ale neotáčí se,
pohybuje rovnoměrně po kružnici o poloměru RZ cos 
(viz Obrázek 3). Počátek neinerciální vztažné soustavy
ztotožněný s naší částicí se tedy vzhledem k uvažované
inerciální vztažné soustavě pohybuje s dostředivým
zrychlením. Při formulaci druhého Newtonova zákona
pro částici je proto nutné kromě gravitační síly o velikosti
Fg = -mMZ
R2
Z
směřující do středu Země a eventuálně
jiných reálných sil uvážit již známý opravný
člen -- sílu setrvačnou (odstředivou) F
o velikosti
F
= m2
RZ cos . Výslednici gravitační síly a síly
setrvačné (odstředivé) nazýváme tíhovou silou (na Obrázku 3 je vyznačena červeně), tj.
FG = Fg + F
.
Zrychlení g = FG
m
, které tato síla udílí částici o hmotnosti m, nazýváme tíhovým zrychlením.
Diskuze výsledku:
Ze vztahů, které jsme uvedli v průběhu řešení, je zřejmé, že pozemský pozorovatel není schopen
experimentálně rozlišit gravitační působení od "působení" setrvačné (odstředívé) síly: zaznamenává
a měří pouze jejich výslednici -- sílu tíhovou. Tato síla se mění se zeměpisnou šířkou,
nejmenší je na rovníku a největší je na pólech. Vidíme tedy, že formulace "na těleso působí
Země tíhovou silou" je do jisté míry vnitřně rozporuplná. Orientovaný čtenář však nyní jistě
ví, jak jí rozumět.
y'
x'
y'
O'
O'
y'
x'
x'
y'
O'
O' x'
Obrázek 4: Zavedení vztažné soustavy spojené částicí (pohled proti
směru zemské osy)
Poznámka:
Pozorný čtenář jistě postřehl
nedůslednost, s níž jsme
zavedli vztažnou soustavu
spojenou s částicí: určili
jsme její počátek O , ale
nic jsme neřekli o směru
jejích os x , y a z . Jistě
si lze představit přinejmenším
dvě různé situace
(viz Obrázek 4: v jeho
první části se "čárkované"
osy vzhledem k výše zavedené
inerciální soustavě neotáčejí, ve druhé části je "čárkovaná" soustava souřadnic pevně spo-
3
Skutečnost, že střed Země se pohybuje kolem Slunce po zakřivené trajektorii, v prvním přiblížení neuvažu-
jeme.
5
jená se Zemí). Projeví se tato nejednoznačnost při řešení úlohy? Určitě ne -- stačí si připomenout
obecný vztah pro setrvačnou sílu uvedený na str. 2: Počátek jakékoli vztažné soustavy
spojené s částicí umístěnou na zemském povrchu se pohybuje s translačním zrychlením, které je
zrychlením dostředivým, tj. at = ad. Odpovídající setrvačná (translační) síla F
= F
t = -mad
se zde vzhledem ke své orientaci doplňuje přívlastkem "odstředívá", jde však o jinou sílu než
F
o = -m [ × ( × r )] , která je nulová, neboť částice je v počátku soustavy souřadnic v klidu
(r = 0). Ze stejného důvodu je nulová i setrvačná síla Coriolisova a setrvačná síla Eulerova.
Jinak tomu bude v případě, že se částice vzhledem k neinerciální vztažné soustavě pohybuje
(čtenář jistě slyšel o tzv. Foucaultově kyvadle, jehož rovina kmitů se díky rotaci Země stáčí).
Nalezení trajektorie částice v rotující vztažné soustavě je však v plné obecnosti poměrně komplikovanou
záležitostí, která přesahuje rámec tohoto textu. V následující Úloze 3. popíšeme
alespoň jednu z nejjednodušších situací ([15.]). 
Úloha 3.:
Na vodorovné točně, která se otáčí konstantní úhlovou rychlostí o velikosti , se pohybuje
částice o hmotnosti m. Předpokládejme, že v okamžiku t = 0 se částice nachází ve středu
točny a její rychlost je v0. Ve vhodně zvolené soustavě souřadnic nalezněte závislost polohového
vektoru částice jak vzhledem k Zemi, tak vzhledem k točně. Tření i odpor vzduchu zanedbejte.
0
O=O'
t
x'
y'
z=z'
y
x
tv
Obrázek 5: Pohyb částice na točně
Řešení v inerciální vztažné soustavě spojené
se Zemí:
Na částici působí dvě reálné síly: tíhová síla Země FG
a tlaková síla podložky N. Druhý Newtonův zákon má
tedy tvar
ma = FG + N .
Zvolme soustavu souřadnic Oxyz spojenou se Zemí
tak, že její počátek je ztotožněn se středem točny,
osa y má stejnou orientaci jako vektor rychlosti částice
v0 v okamžiku t = 0 a osa z směřuje vzhůru
(viz Obrázek 5). Složky jednotlivých vektorů jsou,
s uvážením vazební podmínky, že částice se pohybuje
pouze ve vodorovné rovině,
FG = (0, 0, -FG) , N = (0, 0, N) , a = (ax, ay, 0) .
Z druhého Newtonova zákona zapsaného ve složkách
x : max = 0 ,
y : may = 0 ,
z : 0 = FG - N
vychází a = (0, 0, 0) = 0, což znamená, že částice se vzhledem k Zemi pohybuje rovnoměrně
přímočaře. Její trajektorií je ve zvolené soustavě souřadnic kladná poloosa y (viz Obrázek 6),
tj.
r (t) = (0, v0t, 0) .
6
O' x'
y'
O x
y
Obrázek 6: Trajektorie částice vzhledem k Zemi a vzhledem k točně
Řešení v neinerciální
vztažné soustavě spojené
s točnou:
Nalezení trajektorie částice
vzhledem k točně
užitím druhého Newtonova
zákona formulovaného v neinerciální
vztažné soustavě
(str. 2) je nyní komplikované
už tím, že vyžaduje
dovednost řešit diferenciální
rovnice druhého řádu.
Toto úskalí lze snadno
obejít: zvolíme-li soustavu souřadnic O x y z spojenou s točnou tak, že v okamžiku t = 0 splývá
se soustavou Oxyz, platí pro polohový vektor částice (viz Obrázek 5, Obrázek 6)
r (t) = (v0t sin t, v0t cos t, 0) . 
Otázky, cvičení a náměty k přemýšlení:
1. Vraťte se k Ukázkám na str. 1 a přeformulujte je tak, aby jasně a stručně vystihovaly
podstatu setrvačných sil.
2. S jakým zrychlením se pohybuje výtah, jehož pasažér je ve stavu beztíže? Jaký údaj
v tomto případě ukazují pružinové váhy, na nichž pasažér stojí?
3. Vraťte se k Úlohám 1., 3., 4. a 5. z Nástrahy čtvrté (str. 5. a 6.) a vyřešte je jak
z hlediska inerciální vztažné soustavy spojené se Zemí, tak z hlediska neinerciální vztažné
soustavy spojené s kuličkou.
4. Vlak se rozjíždí po přímé vodorovné trati s konstantním zrychlením A. Na podlaze jednoho
z vagónů leží bedna o hmotnosti m. Jakou podmínku musí splňovat velikost zrychlení
vlaku, aby bedna zůstala vzhledem k vagónu v klidu, je-li koeficient statického tření mezi
bednou a podlahou f0? Úlohu řešte z hlediska pozorovatele stojícího na nástupišti (inerciální
vztažná soustava) i z hlediska cestujícího ve vlaku (neinerciální vztažná soustava).
5. S jakým zrychlením se pohybuje bedna vzhledem k vagónu a vzhledem k nástupišti,
nesplňuje-li velikost zrychlení vlaku podmínku odvozenou v předchozí úloze? Koeficient
dynamického tření mezi bednou a podložkou je f, odpor vzduchu zanedbejte.
6. Popište rovnovážnou polohu kuličky zavěšené na niti délky l na stropě vagónu, který
projíždí rychlostí o konstantní velikosti v0 zatáčkou o poloměru R. Úlohu řešte z hlediska
pozorovatele stojícího na nástupišti (inerciální vztažná soustava) i z hlediska cestujícího
ve vlaku (neinerciální vztažná soustava).
7. Po nakloněné rovině s úhlem sklonu  umístěné ve výtahu, který jede s konstantním
zrychlením A, se pohybuje kostka o hmotnosti m. Určete její zrychlení vzhledem k výtahu.
Koeficient dynamického tření mezi kostkou a nakloněnou rovinou je f, odpor vzduchu
zanedbejte.
7
8. Porovnejte subjektivní pocity pasažéra
(a) při rychlém a při pomalém průjezdu vozíčku horské dráhy ostrou zatáčkou ležící ve
vodorovné rovině,
(b) při rychlém a při pomalém průjezdu vozíčku nejvyšším bodem "spirály smrti" (smyčky
tvaru kružnice ležící ve svislé rovině).
Které síly tvoří v jednotlivých případech sílu dostředivou? Kdy je nutné pasažéra pevně
připoutat k sedadlu? Proč?
9. Kolotoč "Lochnesku" tvoří kruhový disk o poloměru R, v jehož středu je umístěn basketbalový
koš a na obvodu jsou rozmístěny sedačky pro hráče. Hráč dokáže hodit míč
rychlostí o velikosti v0.
(a) Jak musí hráč mířit, aby zasáhl koš, je-li kolotoč v klidu?
(b) Jak musí hráč mířit, aby zasáhl koš, otáčí-li se kolotoč konstantní úhlovou rychlostí
o velikosti ? Jakou podmínku musí splňovat zadané veličiny, aby hráč skutečně
mohl koš zasáhnout?
Předpokládejte, že rovina kolotoče je vodorovná a odpor vzduchu je zanedbatelný.
********************
Příbuzné texty:
Hlavní text
Nástraha první:
Není pohyb jako pohyb aneb Kinematika jako zahřívací předkolo
Nástraha druhá:
Vektory, průměty, složky, velikosti, ... aneb Jak se vypořádat s řešením
úloh?
Nástraha třetí:
Rozumíme silám tření? aneb K čemu slouží vazební podmínky?
Nástraha čtvrtá:
Dynamika křivočarého pohybu aneb Jak se vyhnout tradičním omylům?
Nástraha šestá:
Když se sejde více částic aneb Mechanika tuhého tělesa
Nástraha sedmá:
Zákony zachování aneb "Není nutné vědět o všem..."
Nástraha osmá:
Vody stojaté i tekoucí aneb Mechanika kapalin
Nástraha devátá:
Když Newtonovy zákony nestačí aneb Termodynamika a statistická fyzika
v kostce
Nástraha desátá -- bonusová:
Příliš těžké ??? aneb Několik úloh "s hvězdičkou"
8