i)
Některé žertovné příklady:
různé pohyby v tíhovém poli (znám
zrychlení, chci určit pohyb),
pohyb po kružnici (rovnoměrný,
rovnoměrně zrychlený,...),
tečné a normálové zrychlení u šikmého
vrhu
kmitání, ...
šroubovice, simulace
Počítání tečného zrychlení
polohový vektor
okamžitá rychlost
derivace!
derivace!
okamžité zrychlení
Umím-li derivovat, je tento směr postupu radostný!
(Neumím-li ale derivovat, je i tento směr postupu neradostný!)
okamžité zrychlení
poč. podmínky
okamžitá rychlost
Integrace!
Integrace
polohový vektor + poč. podmínky
Umím-li derivovat, měl bych umět i integrovat, a pak je i tento směr postupu radostný!
(Neumím-li ale derivovat, asi neumím ani integrovat, pak je i tento směr postupu velmi neradostný!)
Pohyb v tíhovém poli
Šikmý vrh, dolet, max. výška, atd
Křivočarý pohyb
křivost křivky a tečna
zrychlení
ce
hlavní normála
Simulace šroubovice
Pohyb po kružnici lehce a radostně:
definice velikosti úhlové rychlosti (rychlost změny úhlu)
souvislost velikosti úhlové rychlosti s velikostí rychlosti
souvislost velikosti úhlové rychlosti s velikostí rychlosti
rychlost je vektor, polohový vektor je vektor:
úhlové veličiny jsou také veličiny vektorové?
konečná rotace o úhel kolem některé osy
není vektor!
nekonečná malá rotace o úhel kolem některé osy
je vektor!
Několik konečných rotací (např. o úhel 90 stupňu) kolem dvou různých os
obrázky
Výsledek: záleží na pořadí, v jakém provedeme jednotlivá otočení, tj. operace sčítání konečných rotací není komutativní, nejedná se tedy o vektory
Několik rotací o nekonečně malý úhel kolem dvou různých os:
Výsledek: nezáleží na pořadí, v jakém provedeme jednotlivá otočení, jedná se tedy o vektory
Pohyb po kružnici lehce a radostně:
úhlová poloha, změna úhlové polohy, průměrná úhlová rychlost, okamžitá úhlová rychlost, průměrné úhlové zrychlení, okamžité úhlové zrychlení.
vztah mezi rychlostí, úhlovou rychlostí a polohovým vektorem
zrychlení při pohybu po kružnici, tečné a dostředivé
Simulace pohybu po kružnici
Křivost trajektorie (na příkladu šikmého vrhu)
Křivost trajektorie (na příkladu šikmého vrhu)
Malé těleso (hmotný bod) má v bodě Pq na povrchu Země rychlost vq o velikosti ^o = 30 m/s, která svírá s vodorovnou rovinou úhel a = 60°. Odpor vzduchu je zanedbatelný
Určete:
1,   Zrychlení hmotného bodu v bodě Pq:
2,   Zakreslete tečné a normálové zrychlení v bodě Pq;
3,   Zakreslete poloměr křivosti Rq trajektorie (paraboly) v bodě Pq;
4,   Zakreslete poloměr křivosti Ri trajektorie v jejím nejvyšším bodě.
Křivost trajektorie (na příkladu šikmého vrhu)
1. a =?, a = g, g = 10 m/s ,
2, at =? směr viz obr, 214; velikost at = g sin a = velikost an = g cos a = ... = 5 m/s ;
2
. = 8,67 m/s ; an =? směr viz obr.
■■■.-
■■-,-
3,  fío =7 an = -g- -» iž0 = ^ = ... = ISOm;
an
4,  Ri =1 an = -^S kde an = 5, Během pohybu je vodorovná složka zrychlení a = g rovna
nule, platí tedy    ^ - = 0. Je tedy   ^ - = konst., tj, vodorovná složka rychlosti je stálá. Tedy v\ = uqcosq = ... = 15 m/s. Odtud R\ = v\jg... = 22,5 m.
Pohyb po šroubovici, DÚ
Popis pohybu v různých vztažných soustavách
soustava pohybující se (vůči fixní), označme ji jako (rot)
soustava pohybující se (vůči fixní), označme ji jako (rot)
S'(O', x',y1, z')
S(0,x,y,z)
je změna polohy bodu v soustavě fixní (fix)
rovna
změně polohy v soustavě pohybující se (tj. v rot)?
Bod P se vůči pohybující se soustavě (rot) nepohybuje
Najděme (df') v soustavě (fix), tj. (df )nx
malá jednoduchá otázka: Čemu se rovná (dr'Jroť—
správná odpověd zní: nule
Odvození vztahu (následuje)
d f dí /fix
co' x r
Otočí-li se soustava (rot) vůči soustavě (fix) kolem okamžité osy otáčení
(např. kolem osy k r) o úhel d<^\ tj. dip k , změní se poloha bodu P ve fixní soustavě o (dF')gx = dip x rř
Sf(0\x!,yf,z!)
S{0,x,y,z)
dip .J      dip
r y dip
pro nekonečne malou časovou změnu pak platí
(df/)fix = d^x f
drf
/drf
\ dt J fix
4? ) x r' = Q x r! dt
Bod P se vůči pohybující se soustavě (rot) nepohybuje
Bod P se vůči pohybující se soustavě (rot) pohybuje
Odvození přímou derivací:
Pro libovolný vektor musí platit
dcčh ďľJfix
~ďt)iot
üü X UJ
d
ÜJ
dt / rot
+ 0 = 0; = s
Tedy úhlové zrychlení je popsáno stejným vektorem jak v soustavě (fix), tak v soustavě (rot).
r
R
r
dr ďŕ/fix
áR\ "ďf/fix
dř
ti
át /rot
u x r
^fix Je rychlost bodu P vzhledem k fixní soustavě
V je rychlost počátku rotující soustavy Of vzhledem k fixní soustavě
vTOl je rychlost bodu P vzhledem k rotujícím osám
(jj je úhlová rychlost rotující soustavy (vzhledem k fixní soustavě)
Q x f/ je rychlost způsobená rotací pohybující se soustavy
Jaké bude zrychlení v pohybující se soustavě?
	■ *-\S       f       J-J"^			
				
+ + %x-	V dŕ / fix			
	( dí7rot \ V   dŕ   /fix	—	(dí7ot)       +^xz7rot V   dŕ   /rot              T0Jl	
				
UJ X
dř" "ďr/fix
= Lú X
dŕ /rot
+ u? x r
d%x\      = (& dŕ   /fix
7
t /fix
+
áv
rot
dŕ   /fix
)
+ u; x r   + üj x
(
dŕ' "ďT/fix
R
dl
-t
fb
ľrot
d£>
x      IdŕJfix II   dŕ   J fix
rot
dŕ
+ üj x vľot
oj x r
UJX
dí /rot
+ü}xlüjxrf) = üJXvľ0^+üJxlüJxr,
■u                 'til
"fix = %x + "rot + 2Ü; x t?rot +üjxr  + Q x [Ú x r
a
= dc„ - ÍL„ - j x f - £ x (u) x r ^ - 2w x Č
rot - "fix - ňfix
fo x f')
'rot