Poznámky k Elektrodynamice kontinua PřF MU v Brně, listopad 2008 Michal Lene 1 Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí.....................................................................................2 1.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice.............................................................................................2 1.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice............................................................................................3 1.3 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy........................................3 1.4 Energie a hybnost elektromagnetického pole................................................................................4 1.5 Prostředí s dispersí.........................................................................................................................5 2 Index lomu.............................................................................................................................................7 3 Elektromagnetické pole v dispersním prostředí....................................................................................8 3.1 Maxwellovy rovnice......................................................................................................................8 3.2 Kramersovy - Kronigovy relace..................................................................................................10 4 Chovaní vlny na rovinném rozhraní....................................................................................................11 4.1 Fázová a grupová rychlost...........................................................................................................11 4.2 Sommerfeldovo -Brilluinovo řešení...........................................................................................12 5 Matematické základy...........................................................................................................................14 5.1 Analytické funkce........................................................................................................................14 5.2 Hlavní hodnota integrálu.............................................................................................................16 1 1 Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí 1.1 Mikroskopické Maxwellovy rovnice Náboje a proudy rozdělíme na vázané na prostředí a vnější, mikroskopické Maxwellovy rovnice v materiálovém prostředí tedy budou ^7 ^ P + Pext V7 - dh £0 d t —Vxh=£0^- + pv + jext , V-ä=0 jU0 dt Středováním dostaneme £0 d t ±VxB = £0^ + (pv) + jext , V-5 = 0 (1.1) (1.2) kde j sme označili (e) = Ě , ih)=B . (1.3) Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V je roven nule \(p)dV = 0 => (p) = -f-P , (1.4) v přičemž P=0 vně materiálu. Potom j e totiž j(p)dV = -jW-PdV = jP-ňdS = 0 . (1.5) v v s Uvažujme dipólový moment \ř(p)dV = -jř(V-P)dV = -jř(ň-P)dS + \(P-f)řdV = \PdV . (1.6) v v s v v Proveďme nyní řez materiálem plně uvnitř nějaké plochy S. Celkový proud touto plochou vázaný na prostředí je dán celkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizace Upv)-ňd S oP - ,„ / ^ a ^ oP ^ -ňdS =í> lpv) = VxM + — , (1.7) at at přičemž M=0 vně materiálu. Potom je totiž 1 T r lim rf dP}^,„,. r^ ,-; .. fP(T)-P(0) VxM + V 90 ňdSdt- [M-d£+ lim r ■ňdS = 0 . (1.8) Uvažujme magnetický moment -jřx(pv)dV=-jřx(VxM)dV=-jřx(ňxM)dS--j(Mx'V)xřdV = JMdV . (1.9) v v s v v Definice vektoru polarizace P a magnetizace M pomoci momentu je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P+Vxf aM + Vf. Povšimněme si, že spojení rovnic (1.4) a (1.7) dává M + V-(/>v) = 0 . (1.10) dt 1.2 Makroskopické Maxwellovy rovnice Zavedeme vektory indukce elektrického pole a intenzity magnetického pole jako Ď=e0Ě + P , H= — (B-M) (1.11) /V ; a dostáváme ze (1.2), (1.4) a (1.7) makroskopické Maxwellovy rovnice ve tvaru dB V-D = p , VxE = — VxH = ^- + j , V-B = 0 at (1.12) Rovnice (1.12) jsou konsistentní s rovnicí kontinuity dp + V-7=0 . (1.13) at 1.3 Maxwellovy rovnice pro prostředí s triviálními materiálovými vztahy V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse máme j ednoduché materiálové vztahy Ď=ere0Ě , H=—^—B . (1.14) Zavedeme-li pro popis elektromagnetického pole vektorový a skalární potenciál B = VxA , Ě = -V(/)-— , (1.15) dt máme po dosazení do Maxwellových rovnic 3 A0 + — V-A = — P 31 £,, £n d2A d ŕ S využitím kalibrační transformace kA-£rßr£0ßoW^-V V-A + £rJur£oJu at d(/) r'-O (1.16) -ßrßoJ dt můžeme mít Ä^Ä + Vy/ , 0^0-^- (1.17) dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní vlnovou rovnici n2 d2

—— = j-Ě . (1.21) p AV At S využitím vztahu Ě\VxH)-H-[VxĚ) = V-[HxĚ) (1.22) odvodíme z Maxwellových rovnic výraz H- — + Ě-— = -j-Ě-V-(ĚxĚ) . (1.23) dt dt { > Na pravé straně vystupuje vykonaná práce a tok, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie Wa Poyntingova vektoru S W = -[ĚĎ + BĚ) , Š=ĚxH (1.24) 4 můžeme (1.23) psát jako - jWdV + jj-ĚdV + jŠ-ňdl. = 0 (1.25) Obdobnou úvahu můžeme provést pro hybnost. Při přechodu ke spojitému rozložení náboje je 1 Ap Ap = FAt , F = pEAV + jxBAV AV At pE + jxB (1.26) Z Maxwellových rovnic odvodíme výraz Ďx— + — xB = É{V-Ď)-Bx{VxŇ) + Ň{V-B)-Ďx{VxÉ)-jxB-pÉ . (1.27) Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy výraz na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty hybnosti 2 n G=DxB = £rjur£0ju0ExH =—rS (1.28) Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita ani permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích můžeme psát \Ě{vS)-Ďx{VxĚ)]=±^EiD]-\ol]Ě.Ď h(v-b)-bx(vxh)]=±Mhib]-U]h-b ]=[dx] (1.29) a zákon zachování má tvar lt\GldV + \[pE1+[jxB\ dV + 2Xmz=o (1.30) Definovali j sme Maxwelluv tensor napětí Ti}. jako ^^-(E^+H^ + U^Ě-Ď + H-B) (1.31) Takto definovaný Maxwelluv tensor určuje tok hybnosti z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie 3 W-^Ttl=0 (1.32) 1.5 Prostředí s dispersí V prostředí s dispersí musíme psát 5 Ě(t)=\[Ht)+ť(t)] , Ď{t)=l-[d{t)+d*{t) B{t) = \[b{t) + b\t)\ , H(t)=±[h(t) + h*(t) (1.33) kde e(t) = e0(t)exp{-iú)t}= e0 (or)exp[-z(or + co)t] da 2n d (t) = d0 (t) exp {-z cot] = £0 e (a+ co)e0(a)exp{-i(a+ co)t] da 2n h(t) = h0 (t) exp {-z co t] = h0 (a) exp {-z (a + co) t] da 2n (1.34) b (t) = b0 (t) exp {-z cot} = ju0 ju(a+co)h0 (a) exp {-z (a + co) t] da 2n Předpokládáme, že e0(t)a \{f) jsou pomalu se měnící funkce a že pro hodnoty integrálů jsou tedy podstatné pouze příspěvky z okolí a=0. Pro výpočet zobecněného vztahu (1.23) nebo (1.27) potřebujeme znát přibližné vyjádření pro dd/dta db/dt. Rozvoj příslušných integrandů kolem a=0 napíšeme j ako , . , . , , dcoe(co) 1 d2 co e (co) 7 (a+ co)e(a+ co) = co£{co) +-----——-a+—-----:—^—-a +. -co' dco 2! dco2 de(oo) dcoe(co) (1.35) dco ■ + ■ dco (co + a) nebo , . , . , , dcoju(co) 1 d2coju(co) 9 [a + co)ju{a + co) = coju{co) +----- v ' a +--------_ „v ' a +. dco 2! dco1 idju(co) dcoíiíco), . -co v ;+----- v '{co + a) (1.36) dco dco To nám umožní získat hledané vyjádření dd(t) 7d£(co)^,. dcoe{co)de(t) v ' ~i£nco —^-Le{t) + el y ' w dt u dco db(t) 9 du(co) r, . v ; ~iju0co v Jh(t) + jU0 dt ' u dco Pro hustotu energie pak máme konečný výraz dco dt dcoju(co) dh(t) dco dt (1.37) W 1 f dcoe(co) E2 + 1 dcoju(co) d co ju0ju2 (co) d co B2 (1.38) 6 Řešení vlnové rovnice pro vektorový potenciál ve tvaru rovinné vlny dává ^ = 0 , A = 2Nacos(cot-kř) , Ě = 2Ncoasmícot -kr) , B = 2N(kxa)sm(cot -kr\ a-k = 0 nco Normovači podmínku pro vektorový potenciál odpovídající jednomu fotonu napíšeme jako TÍľ lim- \WdVdt = ho) Po dosazení dostaneme pro normovači konstantu N N-- 2 £0 co V (£ (co)/n (co)) (d (co n (co))/d co) 1/2 (1.39) (1.40) (1.41) S uvedenou hodnotou normovači konstanty N je hybnost fotonu střední hodnotou veličiny úměrné Poyntingovu vektoru T C lim — 1 d(ü)n(ü))) ^ ^ hcok dC0 c k (1.42) 2 Index lomu Definujeme polarizovatelnost a(co) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem Eloc a dipólovým momentem p . Vyjdeme z komplexního zápisu intenzity d2r dr + y^i- + a>lf = -Ěloc exp (-/ eot) dt dt m (2.1) Potom p = £0a(ú))Ěloc , a{oj) 1 (2.2) £0m ú)0 -i y co - co Polarizace je pak P=Np. Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Pnpomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno (2.3) Éloc=É , Éloc=É + -P , Éloc=É + ^-P £0 j£0 podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci Bloc=B-M , Bloc=B , Bloc=B-^M . (2.4) Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát Na P = ^Y^£0E (2.5) \--Na 3 a pro index lomu (za velmi častého předpokladu ß{co) =ju0) 2 i Na ,_ ^ n =1 +----------- . (2.6) 3 Obvyklá forma tohoto vztahuje (Clausius - Mossotti) 3 —-----= Na . (2.7) n2+2 Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy co0 = 0) a dále máme pro konstantu y (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami) Ne2 j = aE , j = Nevd , mvdy = eE => y =------ . (2.8) ma Také lokální poleje rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu n2-X----------^— , «5=^1 . (2.9) co2+icoco2£^ m£o v a 3 Elektromagnetické pole v dispersním prostředí 3.1 Maxwellovy rovnice Maxwellovy rovnice pro Fourierovy složky (píšeme obecně bez vyznačení prostorové proměnné) 1 r f(t)=---- f(ú))exp(-i(Dt)d(D (3.1) 2-^jL jsou V-B(ú)) = 0 , VxH(ú)) = -iú)Ď(ú)) , V-Z>(fí>) = 0 , VxE(ú)) = íú)B(ú)) . Předpoklad lineárního a příčinného vztahu mezi intenzitou a indukcí Ď(t) = e(\É(t) + ]xe{T)É(t-T)dT\ , B(t) = ß(\H(t) + ]Xm{T)H(t-T)dT (3.3) vede k vyjádření Ď(co) = £0£ (co)É(co) , B(co) = jU0ju(co)H(co) , kde Z tohoto vyjádření máme hned e(-co) = e* (co) , ß(-co) = ju (co) (3.4) e(oj) = l + ^xe{T;)^v{ioJr)dT , ß(co) = l + ^(^exp^r^r . (3.5) (3.6) limf(řy) = l , lim ju(co) = \ . (3.7) Pro dielektrika nabývá e (co) při ft>—>0 konečnou hodnotu statické relativní permitivity. Pro kovy je chování zajímavější. Z porovnání dvou tvarů r7xĚ)(co —» 0) dostáváme -z'ŕy£(ŕy->0)i<;(ŕy->0) -><7£(ry->0) => e(co->0)-> co S využitím vztahů (3.4) můžeme Maxwellovy rovnice (3.2) přepsat na V-B(co) = 0 , VxB(co) = -ico^^1E(co) V-É(co) = 0 , V xÉ (co) = i co B (co) , kde ^0 Mo 2 ' e (co)/u (co) = n2 (co) . Vhodnou volbou kalibrace potenciálů j e 0(co)=O ,V ■ A(co)=0, takže Ě (co) = i co Ä (co) , JS(řy) = Vx^(řy) a pro vektorový potenciál máme Helmholtzovu rovnici Vezměme nyní výraz (1.23) , ->, , co2 n2 (co) -*. s AA(co) +------^-LA(co) = 0 dt dt (3.8) (3.9) (3.10) (3.11) (3.12) (3.13) Uvažujme monochromatickou elektromagnetickou vlnu. Poněvadž pravá strana (3.13) obsahuje kvadratické výrazy, musíme brát reálné hodnoty pole, tj. dosazovat É = — \Ě (co) exp (-/' co t) + É* (co) exp {i cot) d D i co e, dt -[-£(co)Ě(co)exp(-icot) + e* (co)Ě* (co)exp(icot) (3.14) H = — [Ě (co)exp(-icot) + H* (co)exp(icot)~\ , — = ——\-ß(co)H(co) exp [-i co t) + jU*(co) H* (co) exp (i co t) dt 2 L Pro časovou střední hodnotu Poyntingova vektoru Š (co) = lim — j Š (co,t)d t r^J dostáváme ze vztahu (3.13) dosazením z (3.14) a (3.15) co -VS(co) = — e{)e(co) E(co) + ju0 ju"(co) H (co) (3.15) (3.16) (3.17) Energie pndávaná do jednotky objemu je proměňována na teplo. Podle druhé věty termodynamické musí být toto teplo při disipaci energie vytvářeno, musí tedy být coe"(co)>0 , coß(co) >0 . (3.18) 3.2 Kramersovy - Kronigovy relace Studium vlastností permitivity a permeability jako komplexních funkcí komplexní proměnné vede k tomu, že můžeme tvrdit, že jsou to funkce analytické v horní polorovině, na reálné ose má funkce e(co) nejvýše jeden pól v bodě co = 0. Zobecnění na komplexní rovinu má často bezprostřední interpretaci. Tak vztah e(-co*^ = e*(co) , ju(-co*} = ju (co) (319) plyne z požadavku, aby reálné veličině Ě = Ě0 exp(-/'cot) + Ě*0 exp(/'co* ř) (3.20) odpovídala reálná veličina Ď = £ (co)É0exp(-icot) + £ (-co*^Ělexp(ico* t^ . (3.21) 10 Užitím Cauchyho věty pro vhodnou oblast dostáváme Kramersovy - Kronigovy vztahy pro reálnou a imaginární část funkcí e (cd) a ju(co), píšeme dále jen pro permitivitu (proměnnou na reálné ose značíme x) e'(co)-e'(0) = -P 71 —y-^-dx , e (co)-----= -P x-co co £\x) x-co dx Vzhledem k antisymetrii e"[-cd) = -e"(cd) můžeme první vztah přepsat na e'(co)-\ = -P 71 xe"[x) 2 2 x -co dx (3.22) (3.23) a máme přitom na paměti, že x>0 => e"(x)>0 , x<0 ^> e"(x)<0 Z těchto relací odvodíme výrazy de [cd) _ 4co' d co' P K :e"(x) (x2-co'2) -dx d co'2 (e(cd) -1)1 4ú)' d co' P K x3 e" (x) (x2-co'2)2 >0 de'(cd)^2{\-e'(co')) CO Z výrazů (3.25) dostáváme nerovnosti d e (cd) ded ' ded Zcela obdobně bychom získali pro permeabilitu nerovnosti dß'(co')^Q dß'(co')^2{\-ß'(cd)) ded ded > CO (3.24) dx . (3.25) (3.26) (3.27) 4 Chování vlny na rovinném rozhraní 4.1 Fázová a grupová rychlost Uvažujme šíření vlny ve směru osy z. Prostředí má velmi slabou dispersi, tedy kvadrát indexu lomu bude součinem reálných částí permitivity a permeability (čárky vynecháváme) a vlnu napíšeme jako A = a(eo)exp con(co) \ z -cot J. deo (4.1) Je zřejmé, že fázová rychlost je n (co) (4.2) 11 a může nabývat i nadsvětelných rychlostí. Nikoliv tak grupová rychlost c d con(co) (4.3) dco pokud jsou ovšem splněny podmínky (3.26) a (3.27). 4.2 Sommerfeldovo - Brilluinovo řešení Na rovinné rozhraní dopadá v čase t = 0 kolmo elektromagnetická vlna. Poloprostor x>0 vyplňuje opticky průzračné prostředí, charakterizované indexem lomu n[a>)=Je-{co) (předpokládáme ju(co)=l). Máme tedy na rozhraní E(x = 0,t) = 0 t<0 E(x = 0,t) = E0exp{-ico0t} t>0 neboli ve Fourierových složkách (4.4) E(x = 0,O))=E0 \dTQxp\i{co-co0)r] . o Vlna šířící se v poloprostoru x>0 má obecně tvar f(o))expli(k(a))x-a)t)\ , k(co)= — n(co) a v našem případě tedy E f E[x,t) = —^- dú)t(ú))Qxp{i(k((o)x-(Dt}\ [ d t exp [i (ú) - ú)0)t} (4.5) (4.6) (4.7) kde t(co)]e pomalu se měnící amplituda propustnosti při dopadu na rozhraní. Nejprve ukážeme výpočet podle Landaua. Hlavní příspěvek k integrálu bude pocházet od frekvencí a>~a>0. Rozvojem funkcí a ponecháním nejnižších členů Taylořova rozvoje dostaneme E(x,t)= ot}®°hxp{i(k(ú)0)x-ú)0t)} 2k dt d %Qxp\i B, , xu B1 — [x-Ut + UTj- 2 ul (4.8) kde jsme zavedli grupovou rychlost u a její derivaci u vztahy 1 dk u dco , du u = da (4.9) 12 Po jednoduchých úpravách dostaneme z (4.9) expj+z^-L E(x,t) = E0t(co0)Qxp{i(k(co0)x-co0t)}------lf- jd^exp{±if} , 4Ťt kde znaménko je signaturou u a proměnná w je dána vztahem x-ut w = J2x\u\ Pro ut-x—>°° přejde (4.10) na stacionární tvar E(x,t) = E0t(eo0) expjz (k (co0)x- co0 ř)j Pro ct-x^0+ hrají hlavní roli velké frekvence, kdy můžeme psát a tedy místo (4.7) L7Z dco co -exp^ -/ , / x co co k (co)-----~------ v ' c 2co co2 x f x*) -^— + \ t-- \co 2cco \ c) ■E0exp\-i\t-^-\coA , (4.10) (4.11) (4.12) (4.13) (4.14) kde integrační cesta (na obrázku) je zvolena podle Sommerfelda tak, aby obsahovala pouze velké absolutní hodnoty (komplexní) integrační proměnné. Druhý člen na pravé straně (4.14) je příspěvek residua v co=co0, předpokládáme dále t(co0)~l. S označením Š = [co2 xj/(2c) a t=í-x/c přepíšeme (4.14) na E(x,t)~'£ dco co -exps-z 1 co + TCO ■-E0ex.p<-i\t--\a)0 (4.15) 13 y = lmijj Zvolíme-li r = yj^/t, můžeme pomocí různých integrálních representací Besselovy funkce zapsat (4.15) jako E(xj) = E0J0(2^) = E0 jl^2x(ct-x) -exp<^ -/' t — \cd0 (4.16) Čelo vlny se tedy šíří rychlostí rovnou rychlosti světla ve vakuu, amplituda narůstá z nulové hodnoty. Pro x-ct>0 dostáváme přirozeně z (4.7) vztah E(x,t) = 0. 5 Matematické základy 5.1 Analytické funkce Komplexní funkci /:C—>C můžeme pro z = x+iy zapsat j ako f(z)=u(x,y) + iv(x,y) . Derivace funkce je df d z ■ lim Az->0 f(z0+Az)-f(z0) Az (5.1) (5.2) pokud tato limita existuje a je nezávislá na směru v komplexní rovině, kterým se A z blíží k nule. Požadavek nezávislosti na směru vyjadřují Cauchyho - Riemannovy podmínky 14 du _dv du _ dv dx dy ' dy dx (5.3) Vztah (5.3) můžeme zapsat také jako 3/(*y) = 0 (5.4) Pro úplnost uveďme, že derivováním prvního ze vztahů v (5.3) podle x a dosazením z druhého vztahu (resp. derivováním druhého ze vztahů v (5.3) podlej a dosazením z prvního vztahu) dostaneme du du 2 n 2 0 d2 v d2v 2 n ,.2 0 (5.5) dx2 dy2 dx2 dy2 Funkce /:C—>C je analytická v bodě z=z0, je-li v tomto bodě a jeho okolí diferencovatelná. Pro integraci analytické funkce platí Cauchyho - Goursatova a Cauchyho věta: Nechť /:C—>C je analytická na uzavřené křivce C a ve všech bodech uvnitř C . Bod z0 ať je libovolný vnitřní bod. Potom j>f(z)dz = 0 (5.6) fM = lni -o m dz (5.7) z-zn Orientace uzavřené křivky C se volí tak, že pravý úhel od vnější normály k tečně je orientován proti směru hodinových ručiček. Obě věty můžeme spojit do výrazu §f{z)dz = 2xiRes{f{z0j] , (5.8) c kde Res{/(z0)| označuje residuum funkce f (z) v isolovaném singulárním bodě z = z0. Obecně, obsahuje-li oblast uzavřená křivkou C více isolovaných singulárních bodů, platí residuová věta jf(z)dz = 2xiYJRes{f(zk)} (5.9) Je-li bod z=z0 pólem m-tého řádu, tj. funkce je representována Laurentovou řadou /(z)=Za»(z-zo)"+Z- n=0 „=i (z-z0)" a funkce (z - z0)" / (z) je tedy analytická, můžeme residuum vyjádřit jako (5.10) Res{/(z0)}: lim d ffí-1 (m-\)\z^z° yd z" (*-*<>)"/(*) (5.11) 15 5.2 Hlavní hodnota integrálu Předpokládejme teď, že částí uzavřené křivky v Cauchyho větě (5.7) je reálná osa a že na této reálné ose leží singulární bod z = x0a že tedy integrál ľ f(x)/(x-x0)dx diverguje. Předpokládejme ale, že existuje hlavní hodnota tohoto integrálu /(*) dx = \im< £->0 X0-£ c /(*),„, [■/(*) -dx + -dx (5.12) Je-li funkce f (z) analytická (až na m isolovaných singulárních bodů) v horní polorovině a ubývá dostatečně rychle pro \z\ ->«>, můžeme zvolit křivku C podle obrázku 2-1 a dostaneme /(*) dz = P Z Xn /(*)^ r/(*)^ r/(*) -dx + dz + Z Xn -dz = P Z Xn /(*) dx-inf(x0) (513) a podle residuové věty •^^X^x = /^/(x0) + 2/^^ResJ 'Z;' ;=i Zj x0 (5.14) y = Imz R->« x = Rez Obrázek 5-1 Obdobně, je-li funkce f (z) analytická (až na n isolovaných singulárních bodů) ve spodní polorovině a ubývá dostatečně rychle pro \z\ ->c», můžeme zvolit křivku C podle obrázku 2-2 a dostaneme 16 , f [A Z xn /w^f/M.,..r/w.,._ „r/w -dx + -dz + Z xn -dz = -P Z Xn -dx -in f(x0) (5.15) a podle residuové věty ^X'-dx = -inf{x0)-2inY^Q^ 'Z;' j=\ | Zj Xo (5.16) Jiy = lmz Obrázek 5-2 Jiný způsob volby integrační křivky podle obrázku 2-3 y = Imz Z2fc \-£ X»+£ x = Rez vede k vyjádření Obrázek 5-3 /(*) dx = i7t f (xq) + lim s^>o+ /(*) x - x0 + / ô -dx (5.17) Druhá možnost volby takové křivky vede podle obrázku 2-4 k výrazu 17 /(*) dx = —i7tf{x0)+ lim s^o+ x - x0 -iS -d x (5.18) i ĺ y = Im z + x = Rez ^c. A I Obrázek 5-4 Formální zápis(5.17)a(5.18)je lim--------------= P--------+ i7tô(x - x0) ■?->o+ x - x0±ió x - x0 (5.19) 18