1
Poznámky k Elektrodynamice kontinua
PřF MU v Brně, prosinec 2008
Michal Lenc
1 Prostorová disperse ......................................................................................................................1
2 Maxwellovy rovnice ....................................................................................................................2
3 Neohraničené homogenní prostředí .............................................................................................3
4 Isotropní prostředí se středem inverse .........................................................................................4
5 Srovnání vztahů s a bez prostorové disperse ...............................................................................5
1 Prostorová disperse
Zobecnění lineárního vztahu vektorů elektrické indukce a intenzity
( ) ( ) ( ) ( )/
/ / /
0
0
, , ; , ,i i ik k
V
D t r E t r f r r E t r dV d   

 
 = + -
 
 

  (1.1)
zahrnuje jak časově, tak prostorově nelokální vztah obou vektorů i případnou anisotropii prostředí.
Mluvíme o časové (frekvenční) a prostorové dispersi. Pro monochromatickou vlnu bude
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
1
, exp ,
2
1
, exp
2
i i
i i
D t r D r i t d
E t r E r i t d
 

 


-

=
-
= -


(1.2)
a můžeme pak psát místo (1.1)
( ) ( ) ( ) ( )/
/ / /
0 ; , ,i i ik k
V
D r E r f r r E r dV 
 
= + 
  
 (1.3)
kde
( ) ( ) [ ]/ /
0
; , ; , exp .ik ikf r r f r r i d   

=  (1.4)
2
Ve velké většině případů se integrální jádro ( )/
; ,ikf r r příliš nemění i při vzdálenostech mnohem
větších než jsou atomární, přitom makroskopická pole jsou dána středními hodnotami v oblastech
právě atomových rozměrů. Potom můžeme v (1.3) psát ( ) ( )/
i iE r E r a vrátíme se tak k případu
frekvenční s disperse s malými opravami ­ i ty ale mohou mít docela důležité důsledky. Výrazné
nelokální jevy se mohou projevit ve vodivých prostředích díky pohybu volných nositelů proudu.
Výrazným projevem prostorové disperse je Dopplerovo rozšíření absorpční čáry v plynu.
Pokud má atom v klidu absorpční čáru zanedbatelné šířky na frekvenci 0 , potom vlivem
Dopplerova jevu je tato čára posunuta o k v , kde v je rychlost atomu, v c . Absorpční spektrum
plynu má pak čáru o šířce Tk v  , Tv je střední tepelná rychlost atomů plynu. Toto rozšíření pak
vede k tomu, že existuje podstatná prostorová disperse pro
0
.
T
k
v
 -
 (1.5)
Ve vztahu (1.3) se neuvažuje možná závislost elektrické indukce na magnetické. Není to úkor
obecnosti, protože ze vztahu
curl E i B= (1.6)
je vidět závislost magnetické indukce na derivacích elektrické intenzity, což je vyjádření
nelokálnosti. Můžeme si to ukázat v jednom rozměru
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ,
,
, , .
d E x
B x D x g x y B y d y
d x
d E y d g x y
D x g x y d y E y d y g x y E y d y
d y d y

 
= = 
= = - =




 
(1.7)
2 Maxwellovy rovnice
Z mikroskopických rovnic
0
0
0
, ,
1
, 0
h
e e
t
e
h v h
t


 


 = × = -


× = +  =

(2.1)
vytvoříme makroskopické středováním
3
0
0
0
, ,
1
, 0 .
B
E E
t
E
B v B
t


 


 = × = -


× = +  =

(2.2)
Zavedli jsme vektory
, .e E h B= = (2.3)
Vektor polarizace zavedeme z podmínky
( ).0 , 0
V
dV P r V P r =  = -   = (2.4)
Na rozdíl od obvyklého postupu při nepřítomnosti prostorové disperse však nespojujeme vektor
polarizace s elektrickým dipólovým momentem, ale klademe
.
P
v
t


=

(2.5)
Potom není třeba zavádět vektor intenzity magnetického pole (tedy pokládáme magnetizaci 0M = ) a
Maxwellovy rovnice mají tvar
0
0 , ,
, 0 ,
B
D E
t
D
B B
t


 = × = -


× =  =

(2.6)
vektor elektrické indukce je
0 .D E P= + (2.7)
Ze zobecněného principu symetrie kinetických koeficientů plyne
( ) ( )/ /
; , ; , .ik k if r r f r r = (2.8)
3 Neohraničené homogenní prostředí
V takovém případě platí ( ) ( )/ /
; , ;ik ikf r r f r r = - . Je proto výhodné provést i
Fourierovu transformaci podle prostorových proměnných, tedy uvažovat koeficienty u členů
( )exp .i k r t  -
 
(3.1)
Máme pak
( )0 , ,i ik kD k E  = (3.2)
kde
4
( ) ( ) ( ) 3
0
, ; exp .ik ik ikk f i k d d        

 = + - 
  (3.3)
Obdobně jako
0
lim
 
vyjadřovala přechod ke statickému poli, vyjadřuje
0
lim
k 
přechod k homogennímu
poli a tedy k situaci bez prostorové disperse
( ) ( )0
lim , .ik ik
k
k   

= (3.4)
Z definice (3.3) plyne
( ) ( )*
, ,ik kik k   - - = (3.5)
a ze symetrie (2.8)
( ) ( ), ; , ; .ik ext k i extk B k B   = - - (3.6)
Pro prostředí se středem inverse je
( ) ( ), ; , ; .ik ext k i extk B k B   = - (3.7)
Pokud nedochází v prostředí k disipaci energie, je tensor dielektrické permitivity hermiteovský.
4 Isotropní prostředí se středem inverse
Podle předchozího odstavce můžeme zapsat tensor dielektrické permitivity jako
( ) ( ) ( )2 2
, , , .i k i k
ik t ik l
k k k k
k k k
k k
      
 
= - + 
 
(4.1)
Máme
( ) ( )0 0, , , .l tE k D k E E k D k E      =   = (4.2)
Také platí
( ) ( ) ( ),0 ,0 .l t     = = (4.3)
Z výrazu (3.3) vidíme, že každá ze složek tenzoru má stejné chování jako permitivita při frekvenční
dispersi. Jsou to analytické funkce komplexní proměnné  , které nemají v horní polorovině
singularity. Pro každé pevné k jsou splněny Kramersovy ­ Kronigovy relace. Pro 0k > není limita
funkce ( ),l k  pro 0  nekonečná ani ve vodivém prostředí. Stejným postupem jako u
frekvenční disperse spočteme časové střední hodnoty hustoty energie a hustoty toku energie
(Poyntingova vektoru), pouze musíme vytvořit vlnová klubka nejen kolem střední hodnoty
frekvence, ale také vlnového vektoru. Výsledkem je
5
( ) * *
0
0
,1 1
2
ik
i k k k
k
W E E B B
  

 
 
 = +
 
 
(4.4)
a
{ }
( )* *
0
0
,1 1
Re .
2 4
ik
i k
k
S E B E E
k
 



= × -

(4.5)
5 Srovnání vztahů s a bez prostorové disperse
Uvažujeme-li prostorovou dispersi, vzali jsme
0, .
P
v P D E
t
 

= = -

(5.1)
Pro Fourierovu složku je
P
i P
t


= -

(5.2)
a dosazením z (5.2) a (4.1) do (5.1) dostaneme
( ) ( ) ( ) ( )0 2
1
, 1 , , .t t lv i k E k k k E k
k
       
 
= - - - -        
 
(5.3)
Bez prostorové disperse jsme vzali
( ) ( )0
0 0
1 1
, 1 , 1 .
P
v M P E M H
t
     
 

= + × = - = -      
(5.4)
Pro Fourierovu složku platí
( )0 1M i k M k H  × = × = - ×   (5.5)
a z Maxwellovy rovnice pro stejnou složku
( )0
1
.
B
E H k E
t    

× = -  = ×

(5.6)
Využijeme ještě identity
( ) ( ) 2
k k E k E k k E× × =  - (5.7)
a dostáváme konečně
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
0 2 2
1 1
1 1 1 .
k c c
v i E k E k   
     
      
= - - + - - -      
       
(5.8)
Porovnáním členů u ( )k E k a E v (5.3) a (5.8) dostáváme
6
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 20 0
, ,1
1 lim , lim , .t l
l
k k
k k
k
c k
   
   
   
-
= = (5.9)
Předpokládáme, že ( ) 0   . Potom máme
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 0
0 0
2 22
2 2 2
0 0
, ,
, , , ,
, ,1
1 .
2
t l
t lk k
k k
t l
k k
k k
k k
k k
k k
c k k
   
     
   
 
= =
= =
= =
 
= = =
 
  
 = - -
   
(5.10)