Univerzita Karlova v Praze
Pedagogická fakulta
SEMINÁRNÍ PRÁCE Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3
KONVERGENCE ŘAD
2. přepracované vydání
2002/2003 Cifrik, M-ZT
1
Zadání:
Vyšetřete konvergenci řady 

=1n
na , jestliže
1.
( )2
1
+
=
nn
an 6.
( )1ln
1
+
=
n
a nn 11. n
n
n
n
n
a
!3
= 16.
!n
e
a
n
n =
2. 3
1+
=
n
n
an 7.
( )nn
n
n
a
12
!
=
12. n
n
n
a
3
= 17.
( )
( )1ln
1
+
-
=
n
a
n
n
3. n
nn
na
6
23 =
8. nn
n
a
2
!
= 13. 2
!
n
n
an = 18. ( )
( )2
1
1
+
+
-=
nn
n
a
n
n
4. nnna
5
3
3
5
-= 9.
n
n
n
n
a 





+
=
12
14.
12
1
=
nna 19.
( )
( )n
n
na
3
13
-
-+
=
5. nn
e
n
a
cos
= 10.
n
n
n
n
a 




 +
=
3
1
15. nn
e
n
a
3
= 20.
( )
( )( )3
12
1
n
n
n
n
a
-+
-
=
Vypracování:
Definice 1: Nekonečná řada čísel
Nechť je dána libovolná posloupnost reálných čísel { }
=1nna . Výraz
KK +++++ naaaa 321 se nazývá nekonečná řada reálných čísel a značíme 

=1n
na
(čteme: řada na pro n od jedné do nekonečna). Čísla KK ,,,, 21 naaa nazýváme
členy nekonečné řady, číslo ja j-tý člen nekonečné řady 

=1n
na .
Definice 2: Konvergence a divergence
Nechť { }
=1nns je posloupnost částečných součtů řady 

=1n
na . Říkáme, že:
a) řada 

=1n
na konverguje a má součet s , jestliže Rssn
n
=

lim ;
b) řada 

=1n
na diverguje k + , jestliže +=

n
n
slim ;
c) řada 

=1n
na diverguje k - , jestliže -=

n
n
slim ;
d) řada 

=1n
na osciluje, jestliže n
n
s

lim neexistuje.
2
Příklad 1
( )

= +1 2
1
n nn
( )
( )



=

=






+
-=






















-==
=
=+
++=
+
+=
+
=
+
1
1
2
11
2
1
2
1
2
1
12
0
21
22
1
2
1
n
n
nn
BA
A
BA
BnAAn
n
B
n
A
nn
nn
n-tý částečný součet
2
1
4
3
2
11
12
1
8
1
10
1
6
1
8
1
4
1
6
1
2
1
:
+
-=
+
-++-+-+-+-=
nnn
sNn n K .
Počítáme
4
3
2
1
4
3
limlim =





+
-=
 n
s
n
n
n
,
proto podle definice 2 řada
( )

= +1 2
1
n nn
konverguje a má součet
4
3
.
Věta 1: Nutná podmínka pro konvergenci řady
Nechť 

=1n
na konverguje. Potom 0lim =

n
n
a .
Poznámka:
Je-li 0lim =

n
n
a nemůžeme o chování příslušné řady nic usoudit.
Je-li 0lim 

n
n
a , potom 

=1n
na nekonverguje.
Příklad 2


= +1
3
1n n
n
( )
+=
+
=
+ 
6
2
3
3
1
lim
1
lim
n
n
n
n
nn
Není splněna nutná podmínka konvergence, proto řada 

= +1
3
1n n
n
nekonverguje.
Poznámka: Stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele.
3
Věta 2: Abelovo kritérium pro konvergenci nekonečné číselné řady
Nechť řada 

=1n
na konverguje. Nechť pro posloupnost { }
=1nn platí:
0321 >>>> K . Potom řada n
n
na 

=1
konverguje.
Definice 3: Absolutní a relativní konvergence
a) Nechť řada 

=1n
na konverguje. Potom řada 

=1n
na také konverguje a říkáme,
že řada 

=1n
na konverguje absolutně.
b) Nechť řada 

=1n
na diverguje a řada 

=1n
na konverguje. Říkáme, že řada 

=1n
na
konverguje neabsolutně neboli relativně.
Věta 3: Srovnávací (zobecněné srovnávací) kritérium
Nechť 

=1n
na a 

=1n
nb jsou řady s nezápornými členy, nechť existuje Nk 
takové, že
nn bakn  : (
n
n
n
n
b
b
a
a
kn 11
: ++
 ).
Potom
a) 

=1n
na konverguje, jestliže 

=1n
nb konverguje,
b) 

=1n
nb diverguje, jestliže 

=1n
na diverguje.
Příklad 3


=
-
1 6
23
n
n
nn
1. jde o řadu s nezápornými členy a platí nn aa =
(Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.)
2. nnnn
nn
2
1
3
1
2
1
6
23
<-=
Řada


=
-
1 6
23
n
n
nn
konverguje absolutně.
4
Další možnost jak vyšetřit stejnou řadu:
1.
nn
n
nn
na 





-





=
-
=
3
1
2
1
6
23
2.  

=

=

=
=-=












-
-












-
=





-





=
1 11 2
1
2
1
1
3
1
1
1
3
1
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
n n
nn
n
na
Řada 

=
-
1 6
23
n
n
nn
tedy konverguje k
2
1
.
Příklad 4


=






-
1 5
3
3
5
n
nn
1. jde o řadu s nezápornými členy a platí nn aa =
2.
n
n
n
n
nn
nn
Nn 





=<
-
=-
+++
3
1
5
15
5
15
35
5
3
3
5
:
111
Řada 

=1 3
5
n
n
je konvergentní geometrická řada, a proto podle vety 3 a uvedené
nerovnosti konverguje také řada 

=






-
1 5
3
3
5
n
nn
. Z rovnosti nn aa = plyne, že
řada 

=






-
1 5
3
3
5
n
nn
konverguje absolutně.
Věta 4: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium
Nechť 

=1n
na je řada s kladnými členy. Potom
a) existuje-li 10, << qRq , a Nk  tak, že pro knNn  , , je qan
n  , potom
řada 

=1n
na konverguje,
b) jestliže pro nekonečně mnoho Nn  je 1n
na , potom řada 

=1n
na
diverguje k +.
Věta 5: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium
a) Nechť existuje 10, << qRq , a nechť existuje Nk  takové, že pro všechna
kn  platí qan
n  . Potom řada 

=1n
na konverguje absolutně.
b) Nechť pro nekonečně mnoho Nn  je 1n
na . Potom řada 

=1n
na
nekonverguje.
5
Příklad 5


=1
cos
n
n
e
n
1
1coscos
: <=
ee
n
e
n
Nn
n
n
n
Řada 

=1
cos
n
n
e
n
konverguje absolutně (věta 5).
Věta 6: ĎAlembertovo nelimitní podílové kritérium
Nechť 

=1n
na je řada s kladnými členy. Potom
a) existuje-li 10, << qRq , a Nk  tak, že pro knNn  , , je q
a
a
n
n
+1
, potom
řada 

=1n
na konverguje,
b) jestliže existuje Nk  takové, že Nn  , kn  je 11
+
n
n
a
a
, potom řada 

=1n
na
diverguje k +.
Věta 7: ĎAlembertovo nelimitní podílové kritérium
a) Nechť existuje 10, << qRq , a nechť existuje Nk  takové, že pro všechna
kn  platí q
a
a
n
n
+1
. Potom řada 

=1n
na konverguje absolutně.
b) Nechť existuje Nk  takové, že Nn  , kn  platí 11
+
n
n
a
a
. Potom řada 

=1n
na
nekonverguje.
6
Věta 8: Cauchyovo limitní odmocninové kritérium
a) Nechť 

=1n
na je řada s nezápornými členy. Potom
1) je-li 1lim <

n
n
n
a , řada 

=1n
na konverguje,
2) je-li 1lim >

n
n
n
a , řada 

=1n
na diverguje.
b) Nechť 1lim <

n
n
n
a . Potom řada 

=1n
na konverguje absolutně.
c) Nechť 1lim >

n
n
n
a . Potom řada 

=1n
na nekonverguje.
Poznámka: Účinné užití této věty je založeno na existenci n
n
n
a

lim , která není rovna jedné.
Příklad 6
( )

= +1 1ln
1
n
n
n
1. nn aa = (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.)
2.
( ) ( )
1
1ln
1
1ln
1
0
2
<
+
=
+
<
n
n n nn
Řada
( )

= +1 1ln
1
n
n
n
konverguje absolutně. Náš závěr vyplynul z věty 5. Abychom
nemuseli udávat podmínku 2n je v tomto případě vhodnější použít větu 8,
tedy
( ) ( )
10
1ln
1
lim
1ln
1
limlim <=
+
=
+
=
 nn
a
n
n
nn
n
n
n
Příklad 7
( )

= -1 12
!
n
n
n
n
1. nn aa = (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.)
2. Protože platí
( ) 2
1
12
lim;
121212
!
12
!
0 =
--
=
-

-
=
-

 n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n nn
n
n
je
1
2
1
12
!
limlim <<
-
=
 n
n
a
n
n
n
n
n
.
Řada
( )

= -1 12
!
n
n
n
n
je absolutně konvergentní.
7
Příklad 8


=1 2
!
n
n
n
+===

n
n
n
n
n
nn
n
nn
!lim
2
1
2
!
lim
2
!
lim
Řada 

=1 2
!
n
n
n
nekonverguje (věta 8).
Poznámka: Není splněna nutná podmínka konvergence (věta 1).
Příklad 9


=






+1 12n
n
n
n
1. nn aa =
2. 1
2
1
1
2
1
lim
12
lim
12
lim <=
+
=
+
=





+ 
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
Řada 

=






+1 12n
n
n
n
konverguje absolutně.
Příklad 10


=





 +
1 3
1
n
n
n
n
1. nn aa =
2. 1
3
1
3
1
1
lim
3
1
lim
3
1
lim: <=
+
=
+
=




 +


n
n
n
n
n
Nn
nn
n
n
n
Řada 

=





 +
1 3
1
n
n
n
n
konverguje absolutně.
Příklad 11


=1
!3
n
n
n
n
n
1
3!
lim3
!3
lim >==
 en
n
n
n n
n
n
n
n
n
Řada 

=1
!3
n
n
n
n
n
diverguje (věta 8).
8
Věta 9: ĎAlembertovo limitní podílové kritérium
a) Nechť 

=1n
na je řada s kladnými členy. Potom
1) je-li 1lim 1
<+

n
n
n a
a
, je řada 

=1n
na konvergentní,
2) je-li 1lim 1
>+

n
n
n a
a
, je řada 

=1n
na divergentní.
b) Nechť 1lim 1
<+

n
n
n a
a
. Potom řada 

=1n
na konverguje absolutně.
c) Nechť 1lim 1
>+

n
n
n a
a
. Potom řada 

=1n
na nekonverguje.
Poznámka: Účinné užití této věty je založeno na existenci
n
n
n a
a 1
lim +

, která není rovna jedné.
Příklad 12


=1 3n
n
n
1. nn aa = (Pojmy konvergence a absolutní konvergence splývají.)
2. 1
3
3
3
1
3
1
1
lim
3
1
lim
3
33
1
lim
3
3
1
lim
1
<==
+
=
+
=
+
=
+

+

n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
n
,
Řada 

=1 3n
n
n
konverguje absolutně.
Příklad 13


=1
2
!
n n
n
( )
( ) ( )
( )
+=
+
=
+
+
=
+
+
 1
lim
!1
!1
lim
!
1
!1
lim
22
2
2
2
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nnn
Řada 

=1
2
!
n n
n
nekonverguje.
9
Příklad 14


= -1 12
1
n
n
1. nn aa =
2. 1
2
1
2
1
2
2
1
1
lim
12
12
lim
12
1
12
1
lim 1
1
<=
-
-
=
-
-
=
-
-
+
+

n
n
nn
n
n
n
n
n
Řada 

= -1 12
1
n
n
konverguje absolutně.
Příklad 15


=1
3
n
n
e
n
3. nn aa =
4.
( )
( ) 1
11
lim
11
lim
1
lim
3
3
3
3
1
3
<=




 +
=
+
=
+

+
 en
n
een
n
e
n
e
n
nn
n
n
n
Řada 

=1
3
n
n
e
n
konverguje absolutně.
Příklad 16


=1 !n
n
n
e
1. nn aa =
2.
( ) 0
1
lim
!
!1
lim
1
=
+
=
+

+
 n
e
n
e
n
e
nn
n
n
Řada 

=1 !n
n
n
e
konverguje absolutně.
Definice 4: Alternující řada
Nechť 0>na pro všechna Nn  . Řadu ( )

=
-
1
1
n
n
n
a nazýváme alternující řadou
neboli řadou se střídavými znaménky.
10
Věta 10: Leibnizovo kritérium pro alternující řady
Nechť pro všechna Nn  platí 01 > +nn aa . Potom řada ( )

=
-
1
1
n
n
n
a konverguje
tehdy a jen tehdy, je-li 0lim =

n
n
a .
Příklad 17
( )
( )

= +
-
1 1ln
1
n
n
n
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady:
( ) ( )
( ) ( )2ln
1
1ln
1
2ln1ln:
0: 1
+
>
+
+<+
> +
nn
nnNn
aaNn nn
,
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá
ještě určit, zda je 0lim =

n
n
a :
( )
0
1ln
1
limlim =
+
=
 n
a
n
n
n
,
řada
( )
( )

= +
-
1 1ln
1
n
n
n
tedy konverguje. Má-li tato řada konvergovat absolutně, musí
konvergovat i řada
( )

= +1 1ln
1
n n
. Ta ovšem diverguje neboť podle srovnávacího
kritéria platí:
( ) 1
1
1ln
1
+

+ nn
,
a protože 

= +1 1
1
n n
je ,,posunutou" harmonickou řadou ( 

=

=
=
+ 21
1
1
1
nn nn
;
harmonická řada diverguje), diverguje i řada
( )

= +1 1ln
1
n n
.
Řada
( )
( )

= +
-
1 1ln
1
n
n
n
konverguje neabsolutně (relativně).
11
Příklad 18
( )
( )

= +
+
-
1 2
1
1
n
n
nn
n
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady:
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1
22
2
1
31
2
2
1
0
31
2
2
1
0
321
231
0
321
33
:
0:
+
+
>
++
+
>
+
+
>
++
+
-
+
+
>
+++
+-++
>
+++
++

>
nn
nn
aa
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nnnn
nnnn
nnnn
nn
Nn
aaNn
,
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá
ještě určit, zda je 0lim =

n
n
a :
( ) ( )
( )
0
2
1
limlim
1
1
1
2
1
=
+
+
=
=
+
+

+
+
 nn
n
a
nnn
n
nn
n
n
n
n
,
řada ( )
( )

= +
+
-
1 2
1
1
n
n
nn
n
tedy konverguje. Vyšetřeme ještě, jak se chová řada
( )

=

= +
+
=
11 2
1
nn
n
nn
n
a :
( ) ( ) 2
1
22
1
+
=
+

+
+
nnn
n
nn
n
­ zřejmě diverguje.
Proto řada ( )
( )

= +
+
-
1 2
1
1
n
n
nn
n
konverguje neabsolutně (relativně).
Příklad 19
( )
( )

= -
-+
1 3
13
n
n
n
( )
( ) 4
1
2
1
4
3
3
1
1
3
1
3
1
1
3
1
3
3
1
3
1
3
3
13
111
-=+-=
-
+
+
-
=





+





-=
-
-+


=

=

= n
n
n
n
n
n
n
Řada
( )
( )

= -
-+
1 3
13
n
n
n
konverguje absolutně k
4
1
- .
12
Příklad 20
( )
( )( )

= -+
-
1
3
12
1
n
n
n
n
Ověřme podmínku Leibnizova kritéria pro alternující řady:
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
323323
323
?
323
31
?
3
1
11161112181161128
1116111218
1
1161128
1
112
1
12
1
:
0:
+
+
+
>
-+-++-+++<-+-+-+
-+-++-+++

-+-+-+
-++

-+

>
nn
nnnnnn
nnnnnn
nn
nn
aa
nnnnnn
nnnnnn
nn
Nn
aaNn
podmínka je tedy splněna. Abychom mohli rozhodnout o konvergenci, zbývá
určit, zda je 0lim =

n
n
a :
( )( )
0
12
1
limlim 3
=
-+
=
 nn
n
n
n
a ,
protože stupeň čitatele je menší než stupeň jmenovatele. Řada
( )
( )( )

= -+
-
1
3
12
1
n
n
n
n
tedy konverguje. Otázku absolutní konvergence vyšetříme zkoumáním řady
( )( )

=

= -+
=
1
3
1 12
1
n
n
n
n
n
a . Podle srovnávacího kritéria:
( )( ) ( ) 232123321321
1
16128
1
12
1
12
1
nnnnnn
n
<
-+-
=
-

-+
je řada
( )( )

= -+1
3
21
12
1
n
n
n
konvergentní a proto řada
( )
( )( )

= -+
-
1
3
21
12
1
n
n
n
n
konverguje
absolutně.
13
Obsah
Definice 1: Nekonečná řada čísel 1
Definice 2: Konvergence a divergence 1
Příklad 1 2
Věta 1: Nutná podmínka pro konvergenci řady 2
Příklad 2 Chyba! Záložka není definována.
Věta 2: Abelovo kritérium pro konvergenci nekonečné číselné řady 3
Definice 3: Absolutní a relativní konvergence 3
Věta 3: Srovnávací (zobecněné srovnávací) kritérium 3
Příklad 3 3
Příklad 4 4
Věta 4: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium 4
Věta 5: Cauchyovo nelimitní odmocninové kritérium 4
Příklad 5 Chyba! Záložka není definována.
Věta 6: ĎAlembertovo nelimitní podílové kritérium 5
Věta 7: ĎAlembertovo nelimitní podílové kritérium 5
Příklad 6 9
Věta 8: Cauchyovo limitní odmocninové kritérium 6
Příklad 7 6
Příklad 8 6
Příklad 9 7
Příklad 10 7
Příklad 11 7
Příklad 12 7
Věta 9: ĎAlembertovo limitní podílové kritérium 8
Příklad 13 8
Příklad 14 8
Příklad 15 9
Příklad 16 9
Definice 4: Alternující řada 9
Věta 10: Leibnizovo kritérium pro alternující řady 10
Příklad 17 10
Příklad 18 11
Příklad 19 12
Příklad 20 11
Literatura:
KUBÍNOVÁ, M. ­ NOVOTNÁ, J.: Posloupnosti a řady. Karolinum, Praha 1997.