MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Poznámky k předmětu M1020
Seminární skupina 03
BRNO 2008 Petr Liška
Aktualizace
* 17.9.2008 Vytvoření
* 18.9.2008 Přidání kapitoly Elementární fce a příkladů k procvičení
* 19.9.2008 Přidání výsledků k příkladům
* 20.9.2008 Přidání příkladů na dělení a určení znaménka, pár příkladů na definiční
obor (7.-10.)
* 26.9.2008 Racionálně lomené funkce (rozklad na parciální zlomky, příklady), poznámky
k soustavám lineárních rovnic, kvadratickým rovnicím a komplexním číslům,
opraveny některé překlepy
* 4.10.2008 Příklady na derivace
* 10.10.2008 Spojitost, ĽHospitalovo pravidlo
* 11.10.2008 - Příklady na průběh funkce
Další aktualizace:
* 12-13.10.2008 - Pokusím se dodat řešený příklad na průběh funkce a výsledky k příkladům
na průběh.
* 13. - 20. 10.2008 - Rozšíření informací o polynomech, diferenciál, Taylorův polynom
Omlouvám se za stále chybějící část o goniometrických a cyklometrických fcích, je to problém
technického charakteru.
2
Předmluva
Zdravím všechny čtenáře (doufám, že nějací jsou, protože je to docela dost práce vytvořit
tyhle stránky :-) ). V tomto dokumentu se budu snažit vystavovat nějaké věci, které
nestihneme na cviku nebo si budu myslet, že neuškodí, když se na ně kouknete. Hlavním
cílem je ovšem poskytnout Vám nějaké příklady k procvičení (samozřejmě s výsledky).
Obsah bude postupně narůstat, jak budeme postupovat semestrem.
Jakékoliv připomínky, poznámky, přání jsou vítány na mailu xliska@math.muni.cz
Aktuální verze těchto poznámek je k vždy k dispozici na www.math.muni.cz/~xliska/
seminar.pdf a ve studijních materiálech v ISu.
Omluvte občas zhoršenou kvalitu textu, obrázků i typografie...
Enjoy! :-)
3
Obsah
1 Polynomy 6
1.1 Hornerovo schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Elementární fce 9
2.1 Lineární fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Kvadratická fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Exponenciální fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Logaritmická fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Lineárně lomená fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Hyperbolické fce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.7 Příklady k procvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Racionálně lomené funkce 21
4 Limity 24
5 Spojitost 26
6 Derivace 28
6.1 ĽHospitalovo pravidlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7 Průběh funkce 33
7.1 Předpis funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4
7.2 Monotonie funkce, extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Konvexnost, konkávnost, inflexní body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4 Asymptoty funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.5 Příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8 Dodatky 40
8.1 Řešení soustavy lineárních rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
8.2 Kvadratická rovnice a komplexní čísla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9 Výsledky 47
Seznam použité literatury 55
5
Kapitola 1
Polynomy
1.1 Hornerovo schéma
Pár polynomů u kterých můžete hledat kořeny (stačí reálné), výsledky najdete na konci.
1. x5
- 5x4
+ 10x3
- 10x2
+ 5x - 1
2. x5
- 5x4
+ 3x3
+ 13x2
- 8x - 12
3. x6
- 2x4
- 11x2
+ 12
4. x4
- 4x3
- 7x2
+ 22x + 24
5. x5
+ 5x4
+ 3x3
- 13x2
- 8x + 12
Samozřejmě, že mnohé z vás napadne (možná nemnohé, ale někoho určitě), že všechny
polynomy u kterých jsme hledali kořeny, byly svým způsobem divné, všechny měly totiž
za vedoucí koeficient číslo 1 (vedoucí koeficient se nazývá to číslo, které je u proměnné
s nejvyšším stupněm). Následující věta nám říká, jak tipovat kořeny polynomu, který jako
vedoucí koeficient má nějaké celé číslo.
Věta. Nechť f = anxn
+  +a0 je polynom, an . . . a0  Zar
s
je racionální kořen polynomu
f takový, že (r, s) = 1. Pak s dělí an a r dělí a0.
6
Trochu lidštěji řečeno, pokud mám polynom takový, že jeho koeficienty jsou celá čísla,
tak za jeho kořeny volím takové zlomky v základním tvaru (tj. už se nedají nijak krátit,
nemělo by přece smysl volit kořen 4
12
, když můžu volit 1
3
), že čitatel dělí absolutní člen
polynomu (tj. ten, který je tvořen jen číslem) a jmenovatel dělí koeficient u vedoucího
členu polynomu. Pokud rozmyslíte naše staré známe polynomy, tak je vidět, že jsem celou
dobu vlastně postupovali podle této věty. Dělitelem vedoucího členu byla totiž jenom +/jednička
a tak jsme vlastně volili zlomky jako 1
1
, 2
1
, 3
1
, -2
1
atd.
Ilustrujme to na následujícím příkladu, snad to bude zřejmější. Cílem je najít kořeny
polynomu
6x5
+ 7x4
- 15x3
- 5x2
+ 9x - 2
Čísla, která dělí vedoucí koeficient (číslo 6) jsou 1, 2, 3, 6, čísla dělící absolutní člen
jsou 1, 2, má tedy smysl volit kořeny ve tvaru 1
1
, 1
2
, 1
3
, 1
6
, 2
1
, 2
2
, 2
3
, 2
6
a samozřejmě další,ta
samá čísla,akorát se znamínkem mínus. Některá z nich ovšem vyjadřují ta stejná čísla (dají
se krátit), čili počet čísel k ověření není nakonec tak drastický :-).
Možno si procvičit na následujících polynomech:
6. 4x4
- 4x3
- 9x2
+ x + 2
7. 4x4
- 12x3
+ 13x2
- 6x + 1
8. 6x4
- x3
- 26x2
+ 4x + 8
1.2 Příklady k procvičení
Proveďte dělení polynomů (se zbytkem, pokud vyjde):
1. (x8
- x5
- x4
+ 3x3
- x2
+ 1) : (x2
- x + 1)
2. (2x6
- 7x5
+ 6x4
- 3x3
- x2
- 2x + 1) : (x2
- 3x + 1)
3. (x6
+ x5
- 3x4
- 4x3
+ x2
+ 3x + 1) : (x3
- 2x - 1)
4. (2x4
- 3x3
+ 4x2
- 5x + 6) : (x2
- 3x + 1)
7
5. (x3
- 3x2
- x - 1) : (3x2
- 2x + 1)
Určete znaménko funkce na jejím definičním oboru:
1. x2-7x+10
(x-3)(x+2)(x+5)
2. (x-4)4(x-1)3(x2+2)5
(x+2)(x+3)6(x2-2x+2)3
3. x5(x-3)(x2+1)3
(x-1)4(x+5)5(x-2)(x2+4)5
8
Kapitola 2
Elementární fce
Některé jsem s vámi trošku odbyl a teď mě hryže svědomí :-) Připomenu tedy některá
pravidla pro posuny. Známe-li graf fce y = f(x), lze z něj snadno odvodit grafy následujících
fcí:
* y = -f(x) má graf souměrný s grafem fce y = f(x) podle osy x
* y = f(-x) má graf souměrný s grafem fce y = f(x) podle osy y
* y = f(x) má část grafu totožnou s grafem fce y = f(x) pro všechna x, pro něž je
f(x) nezáporné, a část grafu totožnou s grafem fce y = f(-x) pro všechna x, pro
něž je f(x) záporné (čili co je nad osou x je ok, co je pod osou jde souměrně podle
ní nahoru)
* y = f(x)+q má graf, který dostaneme posunutím grafu fce y = f(x) ve směru osy y,
je-li q kladné, tak ve stejném směru jako osa y, je-li g záporné, tak ve směru opačném,
velikost posunutí je rovna q
* y = f(x+p) má graf, který dostaneme posunutím grafu fce y = f(x) ve směru osy x,
je-li p záporné, tak ve stejném směru jako osa x, je-li p kladné, tak ve směru opačném,
velikost posunutí je rovna p
9
2.1 Lineární fce
Lineární fce je tvaru
y = ax + b, kdea, b  R,
jedná se tedy o speciální případ polynomu. Jejím grafem je přímka. Tento tvar zápisu je
docela vhodný, protože koresponduje se směrnicovým vyjádřením přímky, tak jak ho známe
z analytické geometrie, roli směrnice hraje číslo a. Pro připomenutí, co je to směrnice.
Směrnice je tangenta úhlu (tj. hodnota funkce tangens), který svírá přímka s osou x.
Pár grafů na ukázku:
y = x
y = x + 3
10
y = -x - 2 y = - x - 2
Samozřejmě, že se může stát, že ne celý výraz je v absolutní hodnotě. Co potom? Buď
je situace dostatečně jednoduchá a umíme si poradit díky základním pravidlům (viz třeba
následující příklad) a nebo je potřeba se zachovat podle definice absolutní hodnoty. (Pro
připomenutí x = x pro x  0 a x = -x pro x menší 0) Bude vidět na pozdějším
příkladu.
11
y = - x - 2 - 3
2.2 Kvadratická fce
Jedná se opět o zvláštní případ polynomiální fce. Kv. fce je tvaru
y = ax2
+ bx + c, kdea, b, c  R.
Grafem je parabola. Opět pár ukázek:
y = x2
y = x2
+ 2x - 3 y = -x2
- 3x
Důležité je vědět, kterým směrem se parabola ,,otvírá , tj. dávat pozor na znaménko u x2
.
Pro přibližné nakreslení stačí znát průsečíky s osou x, vrchol se pak dá již snadno dopočí-
12
tat. Druhou možností je doplnění na úplný čtverec a pak aplikovat základní pravidla pro
posun.
Trocha hrátek s absolutní hodnotou:
y = x2
+ 2x - 3 y = x2
+ 2x - 3
y = x2
+ 2 x - 3
(výsledný graf je červený,
ostatní jsou pomocné)
y = x (x - 3)
13
2.3 Exponenciální fce
Exponenciální fcí rozumíme fci tvaru
y = ax
, kdea  R+
.
Definičním oborem jsou všechna reálná čísla, oborem hodnot jsou všechna kladná reálná
čísla. Fce je pro a větší 1 rostoucí, pro a menší 1 je klesající. Největší význam má fce jejímž
základem je Eulerovo číslo, tedy y = ex
. Exponenciální fce se poměrně často vyskytuje i
v přírodě (rozpad jádra, absorpce záření . . . ).
a > 1 0 < a < 1
Je dobré si všimnout, že se funkce neustále blíží k ose x, ale nikdy ji neprotne (takovou
přímku nazýváme asymptotou), toho se dá dobře využít při posunování grafu (pro přibližné
nakreslení prostě jen posuneme asymptotu). Další dobrou připomínkou je, že fce y = ax
vždy prochází bodem [0, 1], neboť cokoliv na nultou je jedna (čili spolu s asymptotou
můžeme posunout i tento významný bod pro trochu přesnější obrázek).
14
y = 2x-2
+ 3
2.4 Logaritmická fce
Definice. Buď a  R, a větší 0, a = 1. Funkce inverzní k funkci y = ax
se nazývá logaritmická
funkce o základu a, značí se y = logax.
Možno připomenout i ,,překrásnou definici toho, co je to logaritmus nějakého čísla.
Logaritmem o základu a nějakého čísla x rozumíme číslo y takové, že když umocníme
základ logaritmu ( a ) dostaneme číslo logaritmované ( x ).
Nejvýznamnější logaritmy jsou o základu e (Eulerovo číslo) - přirozený logaritmus a
o základu 10 - dekadický logaritmus.
Definičním oborem log. fce. jsou všechna kladná reálná čísla, oborem hodnot jsou
všechna reálná čísla. Fce je rostoucí na celém definičním oboru pro základ a větší než
1 a klesající pro a menší než 1.
Graf i některé další vlastnosti (průsečík s osou x, asymptota . . . ) plynou z definice
(inversnosti k exp. fci.).
15
y = ln(x) y = log1
2
x
2.5 Lineárně lomená fce
Lineárně lomená fce je tvaru
y =
ax + b
cx + d
, kdea, b, c, d  R.
Jedná se o speciální případ racionální fce (viz. cvičení 23.9.2008). Grafem je rovnoosá
hyperbola. Nejjednodušším případem je y = 1
x
, tzv. nepřímá úměra. Jelikož grafem je
hyperbola, vyplatí se při posunovaní grafu posunovat asymptoty. Nutno upozornit, že
první je výraz potřeba upravit do tvaru
y = k +
l
mx + n
, kdek, l, m, n  R.
Posun je pak dán čísly k, n podle základních pravidel.
16
y =
1
x
y = 1 +
2
x - 2
2.6 Hyperbolické fce
Uvádím je pro zajímavost, jednou se to může hodit. Tyto fce jsou definovány následovně:
sinh(x) =
ex
- e-x
2
, cosh(x) =
ex
+ e-x
2
Důležité jsou následující vlastnosti:
cosh2
(x) - sinh2
(x) = 1, (sinh(x)) = cosh(x), (cosh(x)) = sinh(x)
17
y = sinh(x) y = cosh(x)
2.7 Příklady k procvičení
Určete definiční obor fcí (tj. pro která x má daný výraz smysl):
1. y = x+1
x-3
2. y = x
13x2+10x-3
3. y = 1
x+3 -4
4.

x + 2
5. y = x+2
4x-6
6. y = log5(x) + 1
7. y = 1
ln(1-x)
+

x + 2
8. y = 3
4-x2 + ln(x3
- x)
9. y = ln[x2
(-x2
+ 3x + 4)] + 1
log2 x
18
10. y = (x - 1)(e2x - 4ex + 3
Nakreslete grafy následujících fcí:
1. y = -2x + 1
2. y = -2 x + 1
3. y = -2 x + 1 - 3
4. y = x + 2 - 3 - x
5. y = x2
+ x + 1
6. y = -x2
- 3x
7. y = x2
- 6x + 9
8. y = 3x2
+ 6x + 3
9. y = x2
- 3 x
10. y = 2x + 1 - x x - 4
11. y = 2x
- 4
12. y = 2x+1
- 4
13. y = (1
2
)x-3
- 1
14. y = -(1
2
)x+2
+ 4
15. y = 2 x+1
- 4
16. y = log2(x + 4)
17. y = log2(x + 4) - 1
18. y = log2(x + 4) - 1
19
19. y = log2(x + 4) - 1
20. y = log2 (x + 4) - 1
20
Kapitola 3
Racionálně lomené funkce
Definice. Buď P(x) polynom stupně n a Q(x) nenulový polynom stupně m. Funkci
R(x) =
P(x)
Q(x)
nazýváme racionální lomenou funkcí, a to ryzí, je-li m > n a neryzí, je-li m  n.
Věta (Věta o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky). Buď R(x) = P(x)
Q(x)
ryze
lomená racionální funkce, nechť polynomy P, Q nemají společné kořeny a buď
Q(x) = an(x - )k
     (x - )r
[(x - a)2
+ b2
]s
     [(x - p)2
+ q2
]v
rozklad jmenovatele v R. Pak existuje n reálných čísel
A1, . . . , Ak, . . . , L1, . . . , Lr, M1, N1, . . . , Ms, Ns, . . . , U1, V1, . . . , Uv, Vv
takových, že pro každé x  R, pro něž Q(x) = 0, platí
R(x) = [
Ak
(x - )k
+    +
A1
(x - )
+    +
Lr
(x - )r
+    +
L1
(x - )
]+
+
Msx + Ns
[(x - a)2 + b2]s
+    +
M1x + N1
(x - a)2 + b2
+
+    +
Uvx + Vv
[(x - p)2 + q2]v
+    +
U1x + V1
(x - p)2 + q2
21
Předchozí věta působí poněkud komplikovaně (spousta písmenek :-) ), ale není tomu
tak. Je pouze potřeba si ji pořádně přečíst a algoritmus rozkladu z ní snadno vyplyne. Vše
snad objasní příklad.
Příklad:Rozložte funkci R(x) = 12
x6+x5+2x4+2x3 na parciální zlomky.
Nejprve je potřeba rozložit jmenovatele. Vytkneme x3
a dostaneme x3
(x3
+x2
+2x+2),
dále např. pomocí Hornerova schématu zjistíme, že jediným kořenem polynomu v závorce
je -1 a celý rozklad jmenovatele tedy vypadá:
x3
(x + 1)(x2
+ 2).
Můžeme tedy aplikovat naši větu a psát:
12
x3(x + 1)(x2 + 2)
=
A
x
+
B
x2
+
C
x3
+
D
x + 1
+
Ex + F
x2 + 2
.
Vynásobíme-li celou rovnost výrazem x3
(x+1)(x2
+2), dostaneme rovnost dvou polynomů
(po příslušném krácení):
2 = Ax12
(x+1)(x2
+2)+Bx(x+1)(x2
+2)+C(x+1)(x2
+2)+Dx3
(x2
+2)+(Ex+F)x3
(x+1).
Po chytrém roznásobení (zvažte, že docela dobře víte, čemu se rovnají všechny součiny bez
výrazného počítání) dostaneme:
12 = A(x5
+ x4
+ 2x3
+ 2x2
) + B(x4
+ x3
+ 2x2
+ 2x)+
+ C(x3
+ x2
+ 2x + 2) + D(x5
+ 2x3
) + E(x5
+ x4
) + F(x4
+ x3
)
Dané polynomy musí být identické, tj. mají stejné koeficienty, jejich porovnáním dostaneme
soustavu šesti rovnic o šesti neznámých.
x5
: A +D+E = 0
x4
: A +B +E+F = 0
x3
:2A+2B +C+2D +F = 0
x2
:2A+2B +C = 0
x1
: 2B+2C = 0
x0
: 2C = 12
22
Nyní je potřeba vyřešit nějakým způsobem danou soustavu (z posledních tří rovnic rychle
dostaneme koeficienty A, B, C, po jejich dosazení do prvních tří dostaneme tři rovnice
o třech neznámých, které se již dají snadno vyřešit).
A = 3, B = -6, C = 6, D = -4, E = 1, F = 2
Výsledný rozklad tedy vypadá:
12
x6 + x5 + 2x4 + 2x3
=
3
x
-
6
x2
+
6
x3
-
4
x + 1
+
x + 2
x2 + 2
Mnoha lidem přijde rozklad funkcí na parciální zlomky jednoduchý, přesto doporučuji
procvičit:
1. 12x+7
x2-9x+18
2. 1
x3(x+1)
3. x+1
(x2+1)(x3+x)
4. 3x5+5x4+3x3+8x2-2x+7
(x2-1)(x2+1)2
5. x2
x4-16
6. x
x3+1
7. 3x3+6x2-38x+20
x4-x3-4x2+4x
8. x-1
x4+3x2+2
23
Kapitola 4
Limity
Nemá valného smyslu se zde rozepisovat o nějaké teorii (čistě bych opisoval skripta), postupy,
jak příklady počítat, jsme probrali na cvičení, zanechám zde tedy pouze příklady
k počítání, výsledky, popř. návody jsou na konci, příklady jsou trochu členěny podle typu
a obtížnosti.
Jinak nezapomeňte, že limita není nic hrozného a všechny ty ,,strašné definice v podstatě
pouze precizují laické vyjádření toho, co je limita funkce v bodě.
Limita funkce v daném bodě je hodnota, ke které se neomezeně blíží hodnota funkce,
jestliže se hodnota proměnné neomezeně blíží k zadanému číslu.
24
1. limx1
x2-1
x-1
2. limx3
x2-9
x2+2x-15
3. limx5
x2-4x-5
x2-7x+10
4. limx2
x3-8
x4-16
5. limx1
x3+2x2-x-2
x2-1
6. limx-1
x3-2x-1
x4+2x+1
7. limx1
x2-x
x-1
8. limx-2

6+x-2
x+2
9. limx2
x-2
x+2-2
10. limx0

2+x-

2
x
11. limx0

x2+1-1
x2+16-4
12. limx0
x5-x4
3
1+x4-1
13. limx 
4
cos x-sin x
cos 2x
14. limx0
arcsin x
x
15. limx0
sin 5x
x
16. limx0
sin 3x
tan x
17. limx0
1-cos x
x
18. limx0
1-cos 2x+tan2 x
x sin x
19. limx
6x3+2x2
3x3+x2+x-5
20. limx
x4+x3+6
x3+6x2+x
21. limx-
x4+x3+6
x3+6x2+x
22. limx
x4+x+1
x3+1
23. limx
x3+x2+8
6x3+12
24. limx x(

x2 + 1 - x)
25. limx3
x+1
x-3
26. limx0
1
|x|
27. limx1
6
x2-1
28. limx2
x
(x+5)2
25
Kapitola 5
Spojitost
Připomeňme si pojem spojitosti:
Definice. Buď x0  R. Řekneme, že funkce f je v bodě x0 spojitá, jestliže
lim
xx0
f(x) = f(x0)
Definice. Buď f funkce, I  D(f) interval. Řekneme, že f je spojitá na intervalu I,
jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu I a patří-li levý (pravý) koncový bod
do I, je v něm spojitá zprava (zleva). (Píšeme f  C(I) a je-li I = [a, b], také f  C[a, b].)
Všechny tzv. elementární funkce, tj.
* mnohočleny
* exponenciální a logaritmické funkce
* goniometrické a cyklometrické funkce
* obecná mocnina
a všechny funkce, které z nich vzniknou konečným počtem aritmetických operací sečítání,
odčítání, násobení a dělení a skládáním, jsou spojité na svých definičních oborech. Tedy
limita takové funkce v daném bodě je rovna funkční hodnotě.
Ze spojitosti plynou některé zajímavé vlastnosti. Předpokládejme tedy, že funkce f(x)
je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], pak platí:
26
ˇ f(x) je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své největší a nejmenší hodnoty
* f(x) nabývá všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou
* je-li f(a)  f(b) < 0, pak existuje takový bod c, že f(c) = 0
Zkusme malý příklad: Určete parametr a tak, aby funkce f byla spojitá ve všech bodech
x  R.
(5.1) f(x) =



x + 1 pro x  1
3 - ax2
pro x > 1
Funkce je zřejmě spojitá na intervalech (-, 1) a (1, ). Jediným bodem, kde by mohl
být problém je bod x = 1. Potřebujeme, aby limx1+ f(x) = limx1- f(x) = f(1). Snadno
spočteme, že
lim
x1x
+ 1 = f(1) = 2
a jelikož
lim
x1+
3 - ax2
= 3 - a
dostáváme 3 - a = 2, tedy a = 1.
27
Kapitola 6
Derivace
Zopakujme zde jen ta nejdůležitější pravidla, která potřebujeme znát při derivování nějaké
zadané funkce.
Mají-li funkce f(x), g(x) na množině M derivaci, pak na množině M platí:
1. (cf(x)) = cf (x)
2. (f(x)  g(x)) = f (x)  g (x)
3. (f(x)  g(x)) = f (x)  g(x) + f(x)  g (x)
4. Je-li g(x) = 0, pak (f(x)
g(x)
) = f (x)g(x)-f(x)g (x)
g2(x)
Nechť funkce u = g(x) má vlastní derivaci v bodě x0 a nechť funkce y = f(u) má vlastní
derivaci v bodě u0 = g(x0). Pak složená funkce y = F(x) = f[g(x)] má vlastní derivaci
v bodě x0 a platí:
F (x0) = f (u0)  g (x0) = f [g(x0)]  g (x0).
Jednoduše řečeno, derivace složené funkce je rovna derivaci vnější funkce krát derivace
funkce vnitřní.
Uveďme i derivace elementárních funkcí:
1. c = 0
28
2. (xn
) = nxn-1
, n  R
3. (ax
) = ax
 ln a
4. (ex
) = ex
5. (loga x) = 1
xln a
6. (ln x) = 1
x
7. (sin x) = cos x
8. (cos x) = - sin x
9. (tan x) = 1
cos2 x
10. (cot x) = - 1
sin2 x
11. (arcsin x) = 1
1-x2
12. (arccos x) = - 1
1-x2
13. (arctan x) = 1
x2+1
14. (arccotx) = - 1
x2+1
Zderivujme si pár funkcí, ať je trochu vidět, jak to funguje:
1. (2x4
+ x3
- 2x) = 2  4x3
+ 3x2
- 2  1x0
= 8x3
+ 3x2
- 2
2. (3 3

x) = (3x
1
3 ) = 3  1
3
x- 2
3 = 1
x
2
3
= 1
3
x2
3. (x2
sin x) = 2x sin(x) + x2
cos x
4. (cos x-1
sin x
) = - sin xsin x-(cos x-1)cos x
sin2 x
= -1+cos x
1-cos2 x
= - 1
1+cos x
5. (

ex + x2) = 1
2
(ex
+ x2
)-1
2  (ex
+ x2
) = 1
2
1
ex+x2 (ex
+ 2x)
29
Najděte derivace následujících funkcí:
1. y = 3x2
- 6x + 3
2. y = 6x2
+ 3 sin x
3. y = 2ex
- 3 ln x
4. y =
6

x7
5. y = ex
sin x - tan x
6. y = x2
ex
- arctan x
7. y = 16x3
cos x - arcsin x
8. y = 6x log2 x - 3
x2
9. y = x2+1
sin x
10. y = x3+1
x
11. y = sin2
x
12. y = sin x2
13. y = ex2
14. y =

2x + 1
15. y = cos(6x + 3)
16. y = ln( x
x2+1
)
17. y = arccos( x
x-1
)
18. y = tan(sin x)
19. y = sin[sin(sin x)]
20. y = xx
Geometrický význam derivace. Mluvili jsme o tom mnohokrát. Funkce má v bodě
x0 vlastní derivaci právě tehdy, když má graf v bodě (x0, f(x0)) tečnu se směrnicí f (x0).
Rovnice takové tečny v bodě T(x0, f(x0)):
y = f(x0) + f (x0)(x - x0)
Rovnice normály (přímky kolmé k tečně a procházející bodem dotyku):
y = f(x0) -
1
f (x0)
(x - x0)
Ukažme si, jak napsat rovnici tečny na jednoduchém příkladu. Najděme rovnici tečny
ke grafu funkce f(x) = x2
v bodě x0 = 1. Jediné, co musíme udělat, je najít koeficienty
do výše uvedené rovnice. f(x0) = 12
= 1, derivace (f(x)) = 2x a f (x0) = 2  1 = 2. Tedy
y = 1 + 2(x - 1), po úpravě:
2x - y - 1 = 0.
Napište rovnici tečny k grafu funkce v daných bodech:
30
1. f(x) = cos x, x0 = 
2
2. f(x) = 1
2x+3
, x0 = 0
Derivace vyšších řádů. Pokud máme vypočítat druhou, třetí atd. derivaci, není to
žádný problém.
Definice. Druhou derivací funkce f rozumíme funkci f = (f ) a pro libovolné n  2
definujeme n-tou derivaci (derivaci n-tého řádu) funkce f vztahem f(n)
= (f(n-1)
) .
Chci-li tedy derivaci druhého řádu nějaké funkce zderivuji ji prostě dvakrát (tj. zderivuji
její první derivaci) atd.
6.1 ĽHospitalovo pravidlo
ĽHospitalovo pravidlo je docela silným nástrojem pro výpočet mnoha limit.
Věta. Buď x0  R
. Nechť je splněna jedna z podmínek
(i) limxx0 f(x) = limxx0 g(x) = 0
(ii) limxx0 |g(x)| = 
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limxx0
f (x)
g (x)
, pak existuje také limxx0
f(x)
g(x)
a platí:
lim
xx0
f(x)
g(x)
= lim
xx0
f (x)
g (x)
Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné limity.
Poznámky:
1. Je nutné, aby opravdu byly splněny podmínky dané věty! Tj. pravidlo se nedá použít
pro výpočet limit ,,cokoliv
0
a podobně.
2. Taky se může stát, že limxx0
f (x)
g (x)
nemusí existovat, to ale neznamená, že neexistuje
limxx0
f(x)
g(x)
!
31
3. ĽHospitalovo pravidlo můžeme použít i vícekrát v řadě, tj. může se stát, že i po
použití L.P. dostaneme výraz, který splňuje předpoklady věty. V takovém případě
použijeme L.P. ještě jednou atd.
Ilustrujme použití na následujících příkladech:
a) limx2
x2-5x+6
x2-3x+2
=,,0
0
=limx2
2x-5
2x-3
=-1
1
=-1
b) limx0
x-sin x
x3 =,,0
0
=limx0
1-cos x
3x2 =,,0
0
=limx0
sin x
6x
=,,0
0
=limx0
cos x
6
=1
6
ĽHospitalova pravidla užíváme k určení limit tzv. neurčitých výrazů:
0
0
,


,  - , 0  , 00
, 0
, 1
První dva případy lze řešit přímo užitím L.P. ostatní je možno převést na první následovně:
*  - : limxx0 (f(x) - g(x))=limxx0 ( 1
1
f(x)
- 1
1
g(x)
)=limxx0
1
g(x)
- 1
f(x)
1
f(x)g(x)
* 0  : limxx0 f(x)g(x) = limxx0
f(x)
1
g(x)
* 00
, 0
, 1
: limxx0 f(x)g(x)
=limxx0 eg(x) ln f(x)
=elimxx0 g(x) ln f(x)
Vypočítejte limity:
1. limx
x3+5x-2
x2-1
2. limx(
2
- arctan x) ln x
3. limx0
tan x-x
x-sin x
4. limx0( 1
x2 - 1
sin2 x
)
5. limx0+ (sin x)tan x
6. limx0+ (1
x
)sin x
7. limx0+
arctan x
x
8. limx1- ln(x)  ln(1 - x)
32
Kapitola 7
Průběh funkce
7.1 Předpis funkce
Z předpisu funkce můžeme zjistit mnoho důležitých údajů:
1. D(f), (H(f))
2. zda-li je funkce sudá, lichá, periodická
3. nulové body funkce (průsečíky s osou x) a intervaly, kde je kladná a kde záporná
7.2 Monotonie funkce, extrémy
Zda-li je funkce rostoucí, klesající a nebo kde má extrémy nám pomáhá určit první derivace.
Věta. Nechť f má konečnou derivaci na otevřeném intervalu I.
(i) Je-li f (x) > 0 pro každé x  I, pak je f rostoucí na I.
(ii) Je-li f (x) < 0 pro každé x  I, pak je f klesající na I.
Každý pravděpodobně intuitivně tuší, co to znamená mít v bodě lokální extrém, ale
pro přesnost a připomenutí:
33
Definice. Řekneme, že funkce f má v bodě x0:
* lokální maximum, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x z tohoto okolí je
f(x)  f(x0),
* lokální minimum, existuje-li okolí bodu x0 takové, že pro každé x z tohoto okolí je
f(x)  f(x0).
Lokální maxima a minima se souhrnně nazývají lokální extrémy.
Lokální extrém může mít funkce pouze ve dvou bodech:
1. f (x) = 0 (stacionární body)
2. f (x) neexistuje
Ne každý takový bod je ovšem lokálním extrémem! Bod x0 je lokálním extrémem právě
tehdy, když se kolem něj mění znaménko derivace (a samozřejmě splňuje jednu z těchto
dvou podmínek).
Kromě lokálních extrémů můžeme hledat i extrémy globální (absolutní). Jde o největší
(nejmenší) hodnoty funkce na dané množině. Globální extrémy má vždy funkce, která je
definovaná a spojitá na ohraničeném, uzavřeném intervalu. Globální extrémy jsou potom
buď ve stacionárních bodech, bodech, kde derivace neexistuje a nebo v krajních bodech
intervalu. Stačí porovnat funkční hodnoty ve všech těchto bodech.
7.3 Konvexnost, konkávnost, inflexní body
Definice. Řekneme, že funkce f je konvexní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři body
x1, x2, x3  I takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2)  f(x1) +
f(x3) - f(x1)
x3 - x1
(x2 - x1).
Řekneme, že funkce f je konkávní na intervalu I, jestliže pro libovolné tři body x1, x2, x3  I
takové, že x1 < x2 < x3, platí
f(x2)  f(x1) +
f(x3) - f(x1)
x3 - x1
(x2 - x1).
34
Tato definice je pro většinu asi trochu nic neříkající, řekněme ji tedy trochu lidštěji.
Podmínky vyjádřené nerovnostmi se dají vyjádřit také slovy. Bod o souřadnicích (x2, f(x2))
leží pod (nad) přímkou určenou body (x1, f(x1)) a (x3, f(x3)).
Při kreslení grafu se hodí hlavně následující poznatek:
* Je-li funkce konvexní, pak je její graf nad tečnou grafu.
* Je-li funkce konkávní, pak je její graf pod tečnou grafu.
K určení zda-li je funkce konvexní či konkávní slouží druhá derivace:
Věta. Nechť I je otevřený interval a f má vlastní druhou derivaci na I.
(i) Je-li f (x) > 0 pro každé x  I, pak je f ostře konvexní na I.
(ii) Je-li f (x) < 0 pro každé x  I, pak je f ostře konkávní na I.
Pro jednoduchost si řekněme, že inflexní bod je bod, ve kterém graf přechází z pod
tečny nad tečnu nebo naopak. Inflexní bod může mít funkce f v bodě x0 ve dvou případech:
1. f (x0) = 0
2. f (x) v bodě x0 neexistuje
Podobně v jako případě extrémů platí, že ne každý bod splňující jednu z těchto dvou
podmínek je inflexní! Aby daný bod byl inflexní, musí se kolem něj měnit znaménko druhé
derivace!
7.4 Asymptoty funkce
Pro jednoduchost - asymptoty jsou přímky, ke kterým se daná funkce neomezeně blíží.
Rozlišujeme asymptoty dvojího typu.
(a) Asymptoty bez směrnice
35
Definice. Buď x0  R. Přímka x = x0 se nazývá asymptotou bez směrnice funkce f,
jestliže má f v x0 alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. limxx+
0
=  nebo
limxx-
0
= 
Uvědomte si, že tyto asymptoty mohou být pouze v bodech, kde funkce není spojitá!
(b) Asymptoty se směrnicí
Tyto asymptoty nám pomáhají určit chování funkce v nevlastních bodech.
Definice. Přímka y = ax+b, a, b  R, se nazývá asymptotou se směrnicí funkce f, jestliže
platí limx-(f(x) - (ax + b)) = 0 nebo limx+(f(x) - (ax + b)) = 0.
Předchozí definice vlastně přesně popisuje naši představu o asymptotě, požaduje aby
rozdíl mezi funkcí a asymptotou v nekonečnu byl nulový. Platí následující:
Věta. Přímka y = ax + b je asymptotou funkce f pro x  + právě tehdy, když
lim
x+
f(x)
x
= a, lim
x+
(f(x) - ax) = b.
Analogické tvrzení platí pro x  -.
7.5 Příklady
Příklad 1: Najděte globální (absolutní) extrémy funkce f(x) = x4
- 8x2
- 9 na intervalu
[-3, 1].
První najdeme stacionární body jako řešení rovnice f (x) = 0.
f (x) = 4x3
- 16x = 4x(x2
- 4) = 0
Odtud x  {-2, 0, 2}. Jelikož funkce má derivaci ve všech bodech, nemáme žádné další
body podezřelé na lokální extrémy. Do intervalu, který vyšetřujeme spadají body x1 =
-2ax2 = 0. Spočteme funkční hodnoty v těchto dvou bodech a krajních bodech intervalu,
dané hodnoty porovnáme a dostaneme výsledek.
f(-2) = -25, f(0) = -9, f(-3) = 0, f(1) = -16
36
Máme tedy absolutní minimum v bodě -2 a absolutní maximum v bodě -3.
Poznámky:
1. Všimněte si, že v bodě 0 máme lokální maximum, ale není to rozhodně globální
maximum. Proto pozor, nikdy nezapomeňte spočítat hodnoty v krajních bodech.
2. Funkce může mít více globálních extrémů. Například, kdybychom hledali globální
extrémy v předchozím příkladu na intervalu [-1, 1], měli bychom dvě globální minima
v bodech -1, 1.
Příklad 2: Najděte takové kladné číslo, aby součet tohoto čísla a jeho převrácené
hodnoty byl minimální.
Označme součet s a hledané číslo x, pak
s = x +
1
x
Hledáme minimum součtu s v závislosti na x, tedy s je funkce proměnné x, hledáme-li
extrém, potřebujeme první derivaci položit rovnu nule pro určení stacionárních bodů:
s (x) = 1 -
1
x2
= 0  x = 1.
Ověříme-li, jestli má funkce v bodě x = 1 extrém (např. podle znamének derivace), zjistíme,
že v něm opravdu má hledané minimum. Hledané číslo je tedy 1 a nejmenší možný součet
kladného čísla a jeho převrácené hodnoty je 2.
Příklad 3: Do půlkruhu o poloměru r vepište obdélník největšího obsahu.
Označme si strany obdélníku a, b.
Z Pythagorovy věty platí:
(
b
2
)2
+ a2
= r2
37
a odtud (je zřejmé, že a > 0)
a = r2 -
b2
4
.
Pro obsah obdélníku platí S = a  b, tedy v našem případě:
S = r2 -
b2
4
 b
Máme tedy obsah obdélníka vyjádřený jako funkci jedné proměnné, tj. můžeme hledat jeho
extrém a to je vlastně náš cíl! Vyjádřeme si tedy první derivaci podle naší proměnné b:
S (b) =
r2
- 2b2
4
r2 - b2
4
Najděme stacionární body:
S (b) = 0  r2
-
2b2
4
= 0  b = r

2
Ověříme-li, jestli má funkce v bodě b = r

2 extrém (např. podle znamének derivace),
zjistíme, že v něm opravdu má hledané maximum. Můžeme tak dopočítat a = r
2
a Smax =
r2
.
Poznámky:
1. Nejdůležitějším krokem při řešení takovýchto příkladů je správné určení funkce, tomu
mnohdy napomáhá správně nakreslený obrázek.
2. Další příklady (i řešené) je možno nalézt např. v [9], [8].
Najděte absolutní extrémy funkcí na intervalech:
1. y = x2
- 6x + 10, x  [-1, 5]
2. y = 2 sin 2x + cos 4x, x  [0, 
3
]
3. y = x2
ln x, x  [1, e]
Vyšetřete průběh následujících funkcí:
38
1. f(x) = x3
- 6x2
+ 9x
2. f(x) = x2
x-1
3. f(x) = 1
x3-x
4. f(x) = ln x
x
5. f(x) = xex
6. f(x) = ln sin x
7. f(x) = arcsin 2x
1+x2
39
Kapitola 8
Dodatky
8.1 Řešení soustavy lineárních rovnic
Problematikou řešení soustav lineárních rovnic se budeme později zabývat podrobněji a
odborněji v rámci kapitoly o Lineární algebře. Trochu laicky se na ni ovšem můžeme podívat
už teď. Ze střední školy umíme bez problémů řešit soustavy dvou rovnic o dvou neznámých
a třech rovnic o třech neznámých. A to hlavně pomocí dvou metod, které si ilustrujme na
následujícím příkladu:
a) Metoda dosazovací
Mějme soustavu rovnic:
2x+4y = 8
x -y = 1
Z druhé rovnice si vyjádříme x = y + 1 a dosadíme do rovnice první
2(y + 1) + 4y = 8
z níž dostáváme y = 1, dosadíme do rovnice druhé a zjistíme, že x = 2.
b) Metoda sčítací
40
Řešme stejnou soustavu:
2x+4y = 8
x -y = 1
Vynásobíme-li druhou rovnici číslem 4 a přičteme ji k rovnici první, dostaneme:
6x = 12,
tedy x = 2 a dosazením do libovolné ze dvou rovnic y = 1.
Myslím, že na tomto jednoduchém příkladu je vidět, jak obě metody fungují (určitě
je znáte, čili není nutno je příliš osvětlovat). V jednoduchých případech jsou obě metody
zhruba stejně efektivní, ale ve složitějších (více rovnic, více neznámých) je metoda sčítací
efektivnější. Pokud je rovnic (a neznámých) málo, tak samozřejmě můžeme postupovat jak
je uvedeno výše, ale není to příliš vhodné, lepší je užít zjednodušení.
Důležité je říct, které úpravy soustavy lineárních rovnic jsou ekvivalentní (tj. nemění
množinu řešení).
Věta. Nechť je dána soustava lineárních rovnic. Pak následující úpravy jsou ekvivalentními
úpravami soustavy
1. libovolná záměna pořadí rovnic
2. vynásobení libovolné rovnice nenulovým číslem
3. k jedné rovnici přičtení jiné rovnice vynásobené libovolným číslem
4. (vypuštění rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic)
Nyní přistupme ke slibovanému zjednodušení. Jeho podstatou je reprezentace dané
soustavy pomocí matice. Zcela přesnou definici matice nemůžeme momentálně uvést, ale
vystačíme si s následující představou:
Obdélníkové schéma m  n čísel sestavené z m řádků a n sloupců nazýváme maticí typu
m/n.
41
Podstata reprezentace je úplně jednoduchá, koeficienty z dané soustavy rovnic prostě
zapíšeme na dané místo v matici, která ji potom reprezentuje.
Například soustava:
x+2y-5z = 12
2x -y +z = 8
-y +z = 2
se dá zapsat pomocí matice: 




1 2 -5 12
2 -1 1 8
0 -1 1 2





Jak se tedy soustava rovnic vlastně řeší? Pomocí tzv. Gaussovy eliminační metody, její
podstatou je ekvivalentními úpravami převést danou soustavu na soustavu takovou, aby
její matice byla ve schodovitém (trojúhelníkovém) tvaru. Matice je ve schodovitém tvaru
jestliže každý nenulový řádek začíná větším počtem nul než předchozí. Příklad takové
matice: 







1 2 -5 12 3
0 -2 1 8 -7
0 0 3 2 3
0 0 0 4 2








Vyřešme si tedy následující soustavu:
a-2b+3c +d = 2
3a -b+2c +d = 1
-2a+4b +c -d = 4
a-2b-2c-2d = 2
42
Tu si můžeme vyjádřit maticí:








1 -2 3 1 2
3 -1 2 1 1
-2 4 1 -1 4
1 -2 -2 -2 2








Nyní pomocí ekvivalentních úprav upravujeme rovnice tak, abychom dostali schodovitý
tvar, přičemž jednotlivé rovnice jsou reprezentovány řádky matice.
První řádek opišme, aby jsme získali druhý v předepsaném tvaru (tj. s 0 na prvním
místě), vynásobme první číslem -3 a přičtěme ho druhému, podobně dvojnásobek prvního
k třetímu a mínus jedna násobek k čtvrtému:








1 -2 3 1 2
3 -1 2 1 1
-2 4 1 -1 4
1 -2 -2 -2 2

















1 -2 3 1 2
0 5 -7 -2 -5
0 0 7 1 8
0 0 -5 -3 0








Nyní již první tři řádky jsou v požadovaném tvaru, opišme je tedy a upravme čtvrtý tak,
aby měl na třetím místě nulu, tj. pětinásobek třetího přičteme k sedminásobku čtvrtého.








1 -2 3 1 2
0 5 -7 -2 -5
0 0 7 1 8
0 0 -5 -3 0

















1 -2 3 1 2
0 5 -7 -2 -5
0 0 7 1 8
0 0 0 -16 40








Z posledního řádku -16d = 40, tedy d = -5
2
. Z třetího 7c + d = 8, dosadíme za d a
dostaneme c = 3
2
atd. Celkem:
[a =
1
5
, b =
1
10
, c =
3
2
, d =
-5
2
]
43
8.2 Kvadratická rovnice a komplexní čísla
Všichni samozřejmě umíte řešit kvadratickou rovnici, čili jen pro připomenutí.
Kvadratickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru
ax2
+ bx + c = 0, kdea, b, c  R, a = 0.
Řešení takové rovnice je tvaru
x1,2 =
-b 

b2 - 4ac
2a
.
Výraz D = b2
-4ac se nazývá diskriminant. Podle jeho hodnoty můžeme určit počet řešení
kvadratické rovnice. Je-li D > 0 má rovnice dvě různá reálná řešení, je-li D = 0, má rovnice
jeden dvojnásobný reálný kořen, při D < 0 nemá rovnice žádné reálné kořeny, má však dva
různé imaginární kořeny!
Než přistoupíme k bližšímu seznámení s komplexními čísly, ukažme si ještě jednu užitečnou
vlastnost kvadratických rovnic. Mějme kvadratickou rovnici tvaru:
x2
+ bx + c = 0, kdeb, c  R.
Označme p, q kořeny dané rovnice, potom platí tzv. Vietovy vzorce:
p + q = -b, p  q = c.
Pokud má tedy hledaná kvadratická rovnice ,,pěkné kořeny (celá čísla, jednoduché zlomky),
můžeme je určit rychle z hlavy.
A teď již ke komplexním číslům.
Definice. Komplexní čísla C zavádíme jako množinu všech uspořádaných dvojic reálných
čísel, tzn. C = R×R. Sčítání a násobení komplexních čísel definujeme takto : pro libovolné
(a, b), (c, d)  C položíme:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b)  (c, d) = (ac - bd, ad + bc).
44
Můžeme si povšimnout, že pro komplexní čísla tvaru (t, 0) jsou definované operace stejné
jako pro čísla reálná, můžeme tedy každé komplexní číslo tvaru (t, 0) ztotožnit s reálným
číslem t. Označíme-li navíc imaginární číslo (0, 1) symbolem i, můžeme každé komplexní
číslo psát ve tvaru:
z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)  (0, 1) = a + bi
Definice. Vyjádření komplexního čísla z = (a, b) ve tvaru z = a+bi se nazývá algebraický
tvar komplexního čísla z . Přitom reálné číslo a se nazývá reálná část komplexního čísla z
, reálné číslo b se nazývá imaginární část komplexního čísla z a číslo i = (0, 1) se nazývá
imaginární jednotka.
My si bohatě celou dobu vystačíme s vyjádřením komplexního čísla v algebraickém
tvaru. Z předchozích definic vyplývá:
i2
= (0, 1)  (0, 1) = (-1, 0) = -1
čili i =

-1, i2
= -1, i3
= -i, i4
= 1, i5
= i, i6
= -1, i7
= -i, i8
= 1, atd.
Je-li dáno komplexní číslo z = a + bi, pak číslo z = a - bi se nazývá číslo komplexně
sdružené k číslu z.
Otázkou je jak sčítat a násobit komplexní čísla v algebraickém tvaru?
(a + bi) + (c + di) = a + c + i(b + d)
Sčítáme tedy po složkách. Násobit dvě komplexní čísla je jednoduché, stačí je roznásobit
jako dvě závorky a využít faktu i2
= -1
(a + bi)  (c + di) = ac + adi + cbi + bdi2
= (ac - bd) + i(ad + cb)
Vraťme se teď ke kvadratickým rovnicím. Jak jsme již zmínili, řešením kvadratické rovnice
se záporným diskriminantem je dvojice komplexních čísel a ta jsou komplexně sdružená!
Ukažme si takové řešení na následujícím příkladu:
Řešme takovouto kvadratickou rovnici:
3x2
+ 2x + 6 = 0
45
Diskriminant je 22
- 4  3  6 = -68 < 0, čili rovnice má dva komplexně sdružené kořeny.
Dosaďme do vzorečku pro kořeny:
x1,2 =
-2 

-68
6
=
-2  (-1)  4  17
6
=
-2  2

17 

-1
6
=
-1  i

17
3
Pokud má někdo zájem, může si vyřešit několik kvadratických rovnic, a to jak rozkladem
,,z hlavy , tak i pomocí vzorce.
1. x2
+ 2x + 1 = 0
2. x2
- 8x + 7 = 0
3. x2
+ 11x + 30 = 0
4. x2
- 4x - 12 = 0
5. x2
+ 5x + 4 = 0
6. 2x2
- 4x + 3 = 0
7. -x2
+ 2x - 5 = 0
8. x2
+ x + 1 = 0
9. 5x2
- 12x + 3 = 0
10. x2
- 2x + 13 = 0
46
Kapitola 9
Výsledky
Hornerovo schéma
1. 1, 1, 1, 1, 1
2. -1, -1, 2, 2, 3
3. -2, -1, 1, 2
4. -2, -1, 3, 4
5. -3, -2, -2, 1, 1
6. -1, -1
2
, 1
2
, 2
7. 1
2
, 1
2
, 1, 1
8. -2, -1
2
, 2
3
, 2
Dělení polynomů
1. x4
- 2x2
+ x + 1
2. 2x4
- x3
+ x2
+ x + 1
3. x3
+ x2
- x - 1
47
4. 2x2
+ 3x + 11, 25x - 5
5. 1
9
(3x - 7), 1
9
(-26x - 2)
Definiční obory
1. x  R - {3}
2. x  R - {-1, 3
13
}
3. x  R - {-7, 1}
4. x  [-2, )
5. x  (-, -2]  (3
2
, )
6. x  [1
5
, )
7. x  [-2, 0)  (0, 1)
8. x  (-1, 0)  (1, 2)  (2, )
9. x  (-1, 0)  (0, 1)  (1, 4)
10. x  [0, 1]  [ln(3), 
48
Grafy
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
49
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
50
19. 20.
Parciální zlomky
1. -43
3
1
x-3
+ 79
3
1
x-6
2. 1
x
- 1
x2 + 1
x3 - 1
x+1
3. 1
x
- x
x2+1
+ -x+1
(x2+1)2
4. 2x
x2+1
+ x-2
(x2+1)2 + 3
x-1
- 2
x+1
5. 1
8(x-2)
- 1
8(x+2)
+ 1
2(x2+4)
6. 1
3
( x+1
x2-x+1
- 1
x+1
)
7. 5
x
+ 3
x-1
- 1
x-2
- 4
x+2
8. x-1
x2+1
- x-1
x2+2
Limity
1. Upravte čitatele(x - 1)(x + 1), [2]
2. Upravte na (x-3)(x+3)
(x+5)(x-3)
, [3
4
]
3. Upravte na (x-5)(x+1)
(x-5)(x-2)
, [2]
4. Upravte na (x-2)(x2+2x+4)
(x2-4)(x2+4)
, [3
8
]
5. Upravte na x2(x+2)-(x+2)
x2-1
, [3]
51
6. Upravte (např. pomocí Hornerova schématu) na (x+1)(x2-x-1)
(x+1)(x3-x2+x+1)
, [-1
2
]
7. Rozšiřte výrazem

x+1

x+1
, [2]
8. Rozšiřte výrazem

6+x+2
6+x+2
, [1
4
]
9. Rozšiřte výrazem

x+2-2
x+2-2
, [4]
10. Rozšiřte výrazem

2+x+

2

2+x+

2
, [

2
4
]
11. Rozšiřte výrazem (

x2+1+1)(

x2+16+4)
(

x2+1+1)(

x2+16+4)
, [4]
12. Rozšiřte výrazem
3

(1+x4)2+ 3
1+x4+1
3

(1+x4)2+ 3
1+x4+1
, [-3]
13. Užijte vzorce pro dvojnásobný úhel.[

2
2
]
14. Užijte vyjádření x = sin arcsin xa limx0
x
sin x
= 1, [1]
15. Vhodnou úpravou převeďte na užití limx0
sin x
x
= 1, [5]
16. Viz. předchozí příklad,[3]
17. Vynásobte vhodnou jedničkou, [0]
18. Užijte vzorců pro tangens, dvojnásobný úhel, upravte ,užijte limx0
sin x
x
= 1, [3]
19. [2]
20. []
21. [-]
22. [0]
23. [1
6
]
24. Užijte definice, tj. převeďte na limt0+ f(1
t
), [1
2
]
25. Určete obě jednostranné limity.[neexistuje]
52
26. Určete obě jednostranné limity.[]
27. Určete obě jednostranné limity.[neexistuje]
28. Určete obě jednostranné limity.[-]
Derivace
1. y = 6x - 6
2. y = 12x + 3 cos x
3. y = 2ex
- 3
x
4. y = 7
6
6

x
5. y = ex
sin x + ex
cos x - 1
cos2 x
6. y = 2xex
+ x2
ex
- 1
x2+1
7. y = 48x2
cos x - 16x3
sin x - 1
1-x2
8. y = 6 log2 x + 6
ln 2
+ 6ln x
x3 - 3
x3
9. y = 2x sin x-(x2+1) cos x
sin2 x
10. y = 2x3-1
x2
11. y = 2 sin x cos x
12. y = 2x cos x2
13. y = 2xex2
14. y = 1
2x+1
15. y = -6 sin(6x + 3)
16. y = 1-x2
x(x2+1)
17. y = 1
(x-1)2
q
1-2x
(x-1)2
18. y = cos x
cos2(sin x)
19. y = cos[sin(sin x)]  cos(sin x)  cos x
20. Tohle byl hnusný příklad, je potřeba
užít triku xx
= eln xx
,y = xx
(ln x + 1)
Tečny 1. 2x - 2y -  = 0 2. 2x + 9y - 3 = 0
Limity ĽHospitalem
1. 
2. 0
3. 2
4. -1
3
5. 1
53
6. 1
7. 0
8. 0
Absolutní extrémy funkcí
1. Maximum 17 v bodě -1, minimum 1 v bodě 3
2. Maximum 3
2
v bodě 
12
, minima 1 v bodech 0 a 
4
3. Maximum e2
v bodě e a minimum 0 v bodě 1
Kvadratické rovnice
1. dvojnásobný kořen -1
2. [7, 1]
3. [-5, -6]
4. [6, -2]
5. [-4, -1]
6. [1  i

2
2
]
7. [1  2i]
8. [-1
2
 1
2
i

3]
9. [6
5
 1
5
i

29]
10. [1  2i

3]
54
Seznam použité literatury
[1] Petáková J. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké
školy)., Praha, Prometheus, 2001, s. 303
[2] Polák J. Přehled středoškolské matematiky. Praha, Státní pedagogické nakladatelství,
1983, s. 628
[3] Rosický J. Algebra. Brno, Masarykova univerzita, 2002, s. 133
[4] Musilová J., Musilová P. Matematika pro porozumění i praxi. Brno, VUTIUM, 2006,
s. 281
[5] Horák, P. Základy matematiky
http://www.math.muni.cz/~horak/08p_zm_skripta.pdf 2008
[6] Bušek I. Řešené maturitní úlohy z matematiky. Praha, Státní pedagogické nakladatelství,
1985, s. 532
[7] Neznámý Příklady
http://www.math.muni.cz/~xsmykal/cma.ps 2008
[8] Hrubý D., Kubát J. Diferenciální a integrální počet. Praha, Prometheus, 2007, s. 210
[9] Došlá Z., Kuben J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Brno, Masarykova
univerzita, 2003, s. 209
[10] Osicka J. Matematika pro chemiky. Brno, Masarykova univerzita, 2007, s. 213
55