M1101: Matematická analýza I II. termín: 13. leden 2009
ZKOUŠKOVÁ PÍSEMNÁ PRÁCE
Instrukce ke zkoušce:
* Na první stranu nahoru napište své jméno.
* Na první stranu nahoru překreslete následující tabulku:
Příklad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Z
Bodový zisk
* Pokud jste přišli získat zápočet, napište ke svému jménu
a proškrtněte sloupec s .
* Všechny své výpočty řádně zdůvodněte!
* Před odevzdáním zkontrolujte, zda jsou všechny listy, které odevzdáváte, čitelně podepsané vpravo nahoře.
* Před odevzdáním v tabulce proškrtněte příklady, které jste vůbec neřešili.
* Před odevzdáním očíslujte stránky, jak následují za sebou.
* Minimální čas na vypracování je 100 minut.
* Zadání si můžete ponechat.
* HODN Ě ŠT ĚSTÍ! (Pokud jej potřebujete.)
ŘEŠENÍ:
1. (3 body) Vypočtěte limitu
lim
n
n + n +

n

n + 1
.
Řešení:
lim
n
n + n +

n

n + 1
= lim
n

n

n
1 + 1
n
+

n
n2
1 + 1
n
= lim
n
1 + 1
n
+ 1
n
3
2
1 + 1
n
= 1.
2. (5 bodů) Určete definiční obor funkce
f(x) = (x2
+ 1) arctan x + ln
1 - sin x
1 + sin x
,
zderivujte ji a výsledek upravte.
Řešení:
Definiční obor:
1 - sin x
1 + sin x
> 0  1 + sin x = 0,
sin x = 1  sin x = -1,
x =
3
2
 + 2k  x =

2
+ 2k,
x =

2
+ k.
Df = R - {
2
+ k; k  Z}.
Derivace:
f (x) = (x2
+ 1) arctan x + ln
1 - sin x
1 + sin x
= 2x arctan x +
x2
+ 1
1 + x2
+
1
1-sin x
1+sin x
1
2
1
1-sin x
1+sin x
- cos x(1 + sin x) - (1 - sin x) cos x
(1 + sin x)2
= 2x arctan x + 1 +
1
2
1 + sin x
1 - sin x
- cos x(1 + sin x + 1 - sin x)
(1 + sin x)2
= 2x arctan x + 1 +
1
2
-2 cos x
(1 - sin x)(1 + sin x)
= 2x arctan x + 1 cos
x
1 - sin2
x
= 2x arctan x + 1 cos
x
cos2 x
= 2x arctan x + 1 -
1
cos x
.
3. (12 bodů) Vyšetřete průběh funkce
g(x) = (1 + x2
) e-x2
a nakreslete její graf. Určete také rovnici tečny a normály v bodě x0 = 1.
Řešení:
* Dg = R, funkce je kladná na Dg. Sudá, tj. g(x) = g(-x)
g(x) = (1 + x2
) e-x2
,
g(-x) = (1 + (-x)2
) e-(-x)2
= (1 + x2
) e-x2
.
lim
x
(1 + x2
) e-x2
= lim
x
1 + x2
ex2 = lim
x
2x
2x ex2 = lim
x
1
ex2 = 0.
ˇ
g (x) = 2x e-x2
+(1 + x2
) e-x2
(-2x) = 2x e-x2
-2x e-x2
-2x3
e-x2
= -2x3
e-x2
Stacionární body: g (x) = 0, -2x3
e-x2
= 0, x = 0, g(0) = (1 + 02
) e-02
= 1. Na intervalu (-, 0) je funkce
g(x) rostoucí. Na intervalu (0, ) je funkce g(x) klesající. Bod [0, 1] je lokální maximum.
ˇ
g (x) = -6x2
e-x2
+(-2x3
) e-x2
(-2x) = (-6x2
+ 4x4
) e-x2
= 2x2
(-3 + 2x2
) e-x2
g (x) = 0, 2x2
(-3 + 2x2
) e-x2
= 0, x1 = 0, x2 = 3
2
, x3 = - 3
2
, g(x2) = g(x3) = g  3
2
=
(1 + 3
2
) e-3
2 = 5
2
e-3
2 .
Na intervalech - , - 3
2
, 3
2
,  je funkce g(x) konvexní. Na intervalu - 3
2
, 0 , 0, 3
2
je
funkce g(x) konkávní. Inflexní body: - 3
2
, 5
2
e-3
2 , 3
2
, 5
2
e-3
2 .
* Asymptoty:
a = lim
x
g(x)
x
= lim
x
(1 + x2
) e-x2
x
= lim
x
1
x
+ x
ex2
= lim
x
- 1
x2 + 1
2x ex2 = lim
x
1
2x3 ex2 +
1
2x ex2 = 0.
b = lim
x
1 + x2
ex2 = 0.
Bez směrnice neexistuje, se směrnicí y = ax + b = 0x + 0 = 0.
ˇ
g(1) = (1 + 12
) e-12
= 2 e-1
=
2
e
,
g (x) = -2x3
e-x2
g (1) = -2 e-1
= -
2
e
Tečna t:(y - 2
e
) = -2
e
(x - 1) nebo ve tvaru t:y = -2
e
x + 4
e
.
Normála n:(y - 2
e
) = e
2
(x - 1) nebo ve tvaru n:y = e
2
)x + - e2 +4
2 e
.
Graf si nakreslete sami.
4. (6 bodů) Vypočítejte limitu
lim
x
2

arctan x
x
.
Řešení:
lim
x
2

arctan x
x
= lim
x
eln (2

arctan x)
x
= lim
x
ex ln (2

arctan x)
= e
limx
ln (2
 arctan x)
1
x
lim
x
ln 2

arctan x
1
x
= lim
x
1
(1+x2) arctan x
- 1
x2
= lim
x
-
x2
1 + x2
1
arctan x
= lim
x
-
1
1 + 1
x2
1
arctan x
= -
2

lim
x
2

arctan x
x
= e- 2
 .
5. (5 body) Napište Taylorův vzorec pro funkci h(x) = arcsin x
a
ve středu x0 = a
2
a n = 2, kde a  R.
Řešení:
h
a
2
= arcsin
1
2
=

6
h (x) =
1
a
1
1 - x2
a2
=
1

a2 - x2
h
a
2
=
1
a2 - a2
4
=
1
a
2

3
=
2

3
3a
h (x) = -
1
2
-2x
(a2 - x2)3
=
x
(a2 - x2)3
h
a
2
=
a
2
(a2 - a2
4
)3
=
1
2a2
8
3

3
=
4

3
9a2
Výsledek
T2(x) = f(x0) + h (x0)(x - x0) +
h (x0)
2
(x - x0)2
,
T2(x) =

6
+
2

3
3a
x -
a
2
+
2

3
9a2
x -
a
2
2
.
6. (4 body) Vypočtěte
ln(sin x)
sin2
x
dx.
Řešení: Metoda per partes
ln(sin x)
sin2
x
dx = ln (sin x)(- cotg x) +
cos x
sin x
cotg xdx
= - ln (sin x) cotg x +
cos x
sin x
cos x
sin x
dx
= - ln (sin x) cotg x +
cos2
x
sin2
x
dx
= - ln (sin x) cotg x +
1 - sin2
x
sin2
x
dx
= - ln (sin x) cotg x +
1
sin2
x
- 1 dx
= - ln (sin x) cotg x - cotg x - x + c = - cotg x(1 + ln (sin x)) - x + c.
u = ln (sin x) v =
1
sin2
x
u =
cos x
sin x
v = - cotg x
7. (5 bodů) Vypočtěte
x3
+ 1
x3 - 5x2 + 6x
dx.
Řešení:
Pomocné výpočty: (x3
+ 1) : (x3
- 5x2
+ 6x) = 1 + 5x2-6x+1
x3-5x2+6x
, x3
- 5x2
+ 6x = x(x - 3)(x - 2)
5x2
- 6x + 1
x3 - 5x2 + 6x
=
A
x
+
B
x - 3
+
C
x - 2
5x2
- 6x + 1 = A(x - 3)(x - 2) + Bx(x - 2) + Cx(x - 3)
x = 0 : A =
1
6
, x = 3 : B =
28
3
, x = 2 : C = -
9
2
.
Výpočet:
x3
+ 1
x3 - 5x2 + 6x
dx = 1 +
5x2
- 6x + 1
x3 - 5x2 + 6x
dx = 1 +
5x2
- 6x + 1
x(x - 3)(x - 2)
dx
=
1
6
x
+
28
3
x - 3
+
-9
2
x - 2
dx = x +
1
6
ln |x| +
28
3
ln |x - 3| -
9
2
ln |x - 2| + c.