M1101: Matematická analýza I IV. termín: 27. leden 2009
ZKOUŠKOVÁ PÍSEMNÁ PRÁCE
Instrukce ke zkoušce:
* Na první stranu nahoru napište své jméno.
* Na první stranu nahoru překreslete následující tabulku:
Příklad 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Z
Bodový zisk
* Pokud jste přišli získat zápočet, napište ke svému jménu
a proškrtněte sloupec s .
* Všechny své výpočty řádně zdůvodněte!
* Před odevzdáním zkontrolujte, zda jsou všechny listy, které odevzdáváte, čitelně podepsané vpravo nahoře.
* Před odevzdáním v tabulce proškrtněte příklady, které jste vůbec neřešili.
* Před odevzdáním očíslujte stránky, jak následují za sebou.
* Minimální čas na vypracování je 100 minut.
* Zadání si můžete ponechat.
* HODN Ě ŠT ĚSTÍ! (Pokud jej potřebujete.)
ŘEŠENÍ:
1. (3 body) Vypočtěte limitu
lim
x0

1 - 2x - x2 - (1 + x)
x
.
Řešení:
lim
x0

1 - 2x - x2 - (1 + x)
x
= lim
x0

1 - 2x - x2 - (1 + x)
x

1 - 2x - x2 + (1 + x)

1 - 2x - x2 + (1 + x)
= lim
x0
(1 - 2x - x2
) - (1 + x)2
x(

1 - 2x - x2 + (1 + x))
= lim
x0
1 - 2x - x2
- 1 - 2x - x2
x(

1 - 2x - x2 + (1 + x))
= lim
x0
-4x - 2x2
x(

1 - 2x - x2 + (1 + x))
= lim
x0
-2x(2 + x)
x(

1 - 2x - x2 + (1 + x))
= lim
x0
-2(2 + x)

1 - 2x - x2 + (1 + x)
=
-4
2
= -2.
ĽHospitalovo pravidlo
lim
x0

1 - 2x - x2 - (1 + x)
x
= lim
x0
(-2-2x)
2

1-2x-x2 - 1
1
= -2.
2. (5 bodů) Určete definiční obor funkce
f(x) = 2 arcsin
x
2
-

2x - x2,
zderivujte ji a výsledek upravte.
Řešení:
Definiční obor:
x
2
 0  -1 
x
2
 1  2x - x2
 0
x  0 
x
2
 1  x(2 - x)  0
x  2  x  [0, 2]
Df = [0, 2].
Derivace:
f (x) = 2 arcsin
x
2
-

2x - x2 =
2
1 - x
2
2
1
4 x
2
-
2 - 2x
2

2x - x2
=
1
1 - x
2

2
2

x
-
1 - x

2x - x2
=

2

2 - x

2
2

x
-
1 - x

x

2 - x
=
1 - 1 + x

x

2 - x
=
x

x

2 - x
=

x

2 - x
=
x
2 - x
.
3. (12 bodů) Vyšetřete průběh funkce
g(x) =
x - 2

x2 + 1
a nakreslete její graf. Určete také rovnici tečny a normály v bodě x0 = 0.
Řešení:
* Dg = R, nulový bod [2, 0], funkce je záporná na intervalu (-, 2) a kladná na intervalu (2, ).
Není sudá, lichá, periodická.
lim
x
x - 2

x2 + 1
= lim
x
x2 - 4x + 4
x2 + 1
= lim
x
1 - 4
x
+ 4
x2
1 + 1
x2
= 1.
lim
xx
- 2

x2 + 1
= lim
xx
- 2
|x| 1 + 1
x2
= -1.
* První derivace funkce g(x) :
g (x) =

x2 + 1 - 2x(x-2)
2

x2+1
x2 + 1
=
x2
+ 1 - x2
+ 2x
(x2 + 1)
3
2
=
2x + 1
(x2 + 1)
3
2
Stacionární body:
g (x) = 0,
2x + 1
(x2 + 1)
3
2
= 0,
2x + 1 = 0,
x = -
1
2
,
g(-
1
2
) =
-1
2
- 2
1
4
+ 1
=
-5
2

5
2
= -

5.
Na intervalu (-, -1
2
) je funkce g(x) klesající. Na intervalu (-1
2
, ) je funkce g(x) rostoucí.
Bod [-1
2
,

5] je lokální minimum.
* Druhá derivace funkce g(x) :
g (x) =
2(x2
+ 1)
3
2 - (2x + 1)3
2
(x2
+ 1)
1
2 2x
(x2 + 1)3
=
(x2
+ 1)
1
2 (2x2
+ 2 - 6x2
- 3x)
(x2 + 1)3
=
-4x2
- 3x + 2
(x2 + 1)
5
2
Výpočet inflexních bodů:
g (x) = 0,
-4x2
- 3x + 2
(x2 + 1)
5
2
= 0,
4x2
+ 3x - 2 = 0,
x1 =
-3 +

41
8
,
x2 =
-3 -

41
8
.
Na intervalech - , -3-

41
8
, -3+

41
8
,  je funkce g(x) konkávní. Na intervalu -3-

41
8
, -3+

41
8
je
funkce g(x) konvexní.
g
-3 -

41
8
=
-3-

41
8
- 2
-3-

41
8
2
+ 1
=
-3 -

41 - 16
9 + 6

41 + 41 + 64
=
-19 -

41

6 19 +

41
= -
1

6
19 +

41 = -
19 +

41
6
g
-3 +

41
8
=
-3+

41
8
- 2
-3+

41
8
2
+ 1
=
-3 +

41 - 16
9 - 6

41 + 41 + 64
=
-19 +

41

6 19 -

41
= -
1

6
19 -

41 = -
19 -

41
6
Inflexní body: -3-

41
8
, - 19+

41
6
.
= [-1, 18; -1, 78], -3+

41
8
, - 19-

41
6
.
= [0, 42; -1, 44].
* Asymptoty:
a = lim
x
g(x)
x
= lim
x
x-2
x2+1
x
= lim
x
1 - 2
x

x2 + 1
= 0.
b1 = lim
x
(g(x) - ax) = lim
x
x - 2

x2 + 1
= 1.
b2 = lim
x(g(x)
- ax) = lim
xx
- 2

x2 + 1
= -1.
Bez směrnice neexistuje, se směrnicí jsou dvě y = ax + b1 = 1, y = ax + b2 = -1.
ˇ
g(0) = -2,
g (x) =
2x + 1
(x2 + 1)
3
2
g (0) = 1
Tečna t: (y + 2) = x nebo ve tvaru t: y = x - 2.
Normála n: (y + 2) = -x nebo ve tvaru n: y = -x - 2. Graf si nakreslete sami.
4. (6 bodů) Vypočítejte limitu
lim
x
sin
1
x
+ cos
1
x
x
.
Řešení:
lim
x
sin
1
x
+ cos
1
x
x
= lim
x
eln (sin 1
x
+cos 1
x )
x
= lim
x
ex ln (sin 1
x
+cos 1
x )
= e
limx
ln (sin 1
x +cos 1
x )
1
x
lim
x
ln sin 1
x
+ cos 1
x
1
x
= lim
x
1
sin 1
x
+cos 1
x
cos 1
x
- 1
x2 - sin 1
x
- 1
x2
- 1
x2
= lim
x
cos 1
x
- sin 1
x
sin 1
x
+ cos 1
x
=
1 - 0
0 + 1
= 1
lim
x
sin
1
x
+ cos
1
x
x
= e .
5. (5 body) Napište Taylorův vzorec pro funkci h(x) = 1
a
arctan x
a
ve středu x0 = a a n = 2, kde a  R, a = 0.
Řešení:
h(a) =
1
a
arctan 1 =

4a
h (x) =
1
a
1
1 + x
a
2
1
a
=
1
a2
a2
a2 + x2
=
1
a2 + x2
h (a) =
1
a2 + a2
=
1
2a2
h (x) = -
2x
(a2 + x2)2
h (a) = -
2a
(a2 + a2)2
= -
2a
(2a2)2
= -
2a
4a2
= -
1
2a3
.
Výsledek
T2(x) = f(x0) + h (x0)(x - x0) +
h (x0)
2
(x - x0)2
,
T2(x) =

4a
+
1
2a2
(x - a) + -
1
4a3
(x - a)2
.
6. (4 body) Vypočtěte
ln x
x

1 + ln x
dx.
Řešení: Metoda substituce y = 1 + ln x, dy = 1
x
dx
ln x
x

1 + ln x
dx =
1
x
ln x

1 + ln x
dx =
y - 1

y
dy =

y -
1

y
dy
= (y
1
2 - y-1
2 )dy =
y
3
2
3
2
-
y
1
2
1
2
+ c =
2
3
y
3
2 - 2y
1
2 + c
=
2
3
(1 + ln x)
3
2 - 2(1 + ln x)
1
2 + c =
2
3
(1 + ln x)3 - 2 (1 + ln x) + c.
7. (5 bodů) Vypočtěte
1
x4 - 1
dx.
Řešení:
Pomocné výpočty:
1
x4 - 1
=
1
(x2 - 1)(x2 + 1)
=
1
(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)
=
A
x - 1
+
B
x + 1
+
Cx + D
x2 + 1
1 = A(x + 1)(x2
+ 1) + B(x - 1)(x2
+ 1) + (Cx + D)(x2
- 1)
x = 1 : A =
1
4
, x = -1 : B = -
1
4
,
x0
: 1 = A - B - D, D = -
1
2
x3
: 0 = A + B + C, C = 0.
Výpočet:
1
x4 - 1
dx =
1
(x2 - 1)(x2 + 1)
dx =
1
(x - 1)(x + 1)(x2 + 1)
dx
=
1
4
x - 1
+
1
4
x + 1
+
-1
2
x2 + 1
dx =
1
4
ln
|x - 1|
|x + 1|
-
1
2
1
1 + x2
dx
=
1
4
ln
|x - 1|
|x + 1|
-
1
2
arctan x + c.