Testy ze Základů matematiky 2007/2008
1. a) Symbol < interpretujme jako obvyklé ostré uspořádání čísel. Rozhodněte,
zda formule  = (x)(y)(y < x) je pravdivá v R, Z, resp. N a své
tvrzení zdůvodněte.
b) Napište negaci formule  a upravte ji.
2. Vypište výčtem prvků množinu A = {B | {, {}}  B  P({, {}})}.
3. Pro množiny A, Bi, i  I dokažte
A ×
iI
Bi =
iI
(A × Bi).
4. K zobrazení f : R  R, f(x) = x3
+ 1 najděte zobrazení inverzní a ověřte,
že se jedná o inverzi.
5. Pro množinu A = {1, 2, 3} najděte dvě bijektivní zobrazení f, g : A  A
tak, aby f  g = g  f a současně f-1
= f.
1. Nechť R, S jsou relace na množině N. Rozhodněte, zda platí následující
implikace a své tvrzení dokažte:
a) R, S jsou symetrické  R  S je symetrická,
b) R, S jsou reflexivní  R  S je reflexivní.
2. Určete rozklad podle jádra zobrazení f : P({1, 2, 3})  P({1, 2, 3}),
f(X) = X  {1, 2}.
3. Pro a, b  N - {1} klademe
a  b  m = n pro a = p1p2 . . . pm, b = q1q2 . . . qn,
p1, p2, . . . , pm, q1, q2, . . . , qn prvočísla.
Ověřte, že  je ekvivalence na N - {1} a určete, čemu odpovídá rozklad
(N - {1})/ .
4. Načrtněte hasseovský diagram šestiprvkové množiny, která má (současně)
největší prvek, právě dva minimální prvky a právě čtyři automorfismy (tj.
isomorfismy na sebe).
5. Najděte nějaké prosté izotonní zobrazení (N, ) do (P(N), ).
1. Nechť R, S jsou relace na množině N. Rozhodněte, zda platí následující
implikace a své tvrzení dokažte:
a) R, S jsou antisymetrické  R  S je antisymetrická,
b) R, S jsou reflexivní  R  S je reflexivní.
2. Určete rozklad podle jádra zobrazení f : P({1, 2, 3})  P({1, 2, 3}),
f(X) = X - {1}.
3. Pro a, b  Q klademe
a  b  p = m pro a =
p
q
, b =
m
n
,
p, q nesoudělná, m, n nesoudělná,
p, m  Z, q, n  N.
Ověřte, že  je ekvivalence na Q a určete, čemu odpovídá rozklad Q/ .
4. Načrtněte hasseovský diagram šestiprvkové množiny, která má (současně)
nejmenší prvek, právě čtyři maximální prvky a právě čtyři automorfismy (tj.
isomorfismy na sebe).
5. Najděte nějaké surjektivní izotonní zobrazení (Z, ) na (N, ).