Verze A1 (každý příklad je za 2body)
1. Rozhodněte, jestli řada konverguje nebo diverguje:
a.

n=1

9n + 1

4n + 1
, b.

n=1
en
(n + 1)!
.
Řešení: a) Ověříme nutnou podmínku konvergence:
lim
n

9n + 1

4n + 1
= lim
n
9 + 1
n
4 + 1
n
=

9

4
=
3
2
= 0  diverguje.
b) Použijeme podílové kritérium:
lim
n
en+1
(n+2)!
en
(n+1)!
= lim
n
en+1
(n + 1)!
en(n + 2)(n + 1)!
= lim
n
e
(n + 2)
= 0 < 1  Konverguje.
2. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady funkcí:

n=1
1
x2n
, |x|  2.
Řešení: Použijeme Weierstrassovo kriterium:
1
4n
je konvergentní, geometrická s q =
1
4
< 1
1
x2n

1
4n
 4n
 (x2
)n
 4  x2
 konverguje stejnoměrně.
3. Určete obor konvergence mocniné řady:

n=1
1
n5n
(x - 1)n
.
Řešení: x0 = 1,
r = lim
n
1
n5n
1
(n+1)5n+1
= lim
n
(n + 1)5n+1
n5n
= lim
n
(n + 1)5
n
= 5,
x = -4 :

n=1
1
n5n (-5)n
=

n=1
(-1)n
n , limn
(-1)n
n = 0 
je splněna nutná podmínka konvergence, řada konverguje.
x = 6 :

n=1
1
n5n (5)n
=

n=1
1
n ,  harmonická řada, diverguje.
Obor konvergence mocniné řady je x  [-4, 6).
4. Určete součet mocniné řady:

n=1
(n - 1)xn-1
2n
.
Řešení:

n=1
(n - 1)xn-1
2n
=

n=1
x(xn-1
)
2n
== x

n=1
xn-1
2n
= x

n=1
xn-1
2n
= x
1
2
1 - x
2
=
=
x
2
< 1  |x| < 2 = x
1
2 - x
= x
1
(2 - x)2
=
x
(2 - x)2
.
5. Pomocí čtyř prvních členů Maclaurinova rozvoje určete přibližnou hodnotu výrazu:
4

90.
Řešení: Použijeme binomický rozvoj
4

90 = 4

81 + 9 =
4
34 + 32 = 4
34 1 +
1
32
= 3 1 +
1
32
1
4
=
= 3 1 +
1
4
1
32
+
1
4
-3
4
2
1
34
+
1
4
-3
4
-7
4
2  3
1
36
= 3 +
1
3  4
-
1
32  32
+
7
128  35
= 3, 0801.
1