Verze A2 (každý příklad je za 2body)
1. Rozhodněte, jestli řada konverguje nebo diverguje:
a.

n=1
lnn n + 1
n - 1
, b.

n=1
en
n3
.
Řešení: a) použijeme odmocninové kriterium:
lim
n
n
lnn n + 1
n - 1
= lim
n
ln
n + 1
n - 1
= lim
n
ln
1 + 1
n
1 - 1
n
= ln 1 = 0 < 1  konverguje.
b) ověříme nutnou podmínku konvergence
lim
n
en
n3
= |použijeme ľHopitalovo pravidlo| = lim
n
en
3n2
= lim
n
en
6n
= lim
n
en
6
=   diverguje.
2. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady funkcí:

n=1
cos nx
3n
, x  (-, ).
Řešení: Použijeme Weierstrassovo kriterium:
1
3n
je konvergentní, geometrická s q =
1
3
< 1
cos nx
3n

1
3n
 | cos nx|  1  konverguje stejnoměrně.
3. Určete obor konvergence mocniné řady:

n=1
(-3)n
n
(x + 2)n
.
Řešení: x0 = -2,
r = lim
n
(-3)n
n
(-3)n+1
n+1
= lim
n
(-3)n
(n + 1)
n(-3)n+1
= lim
n
(n + 1)
3n
=
1
3
,
x = -7
3 :

n=1
(-3)n
n (-1
3 )n
=

n=1
1
n  harmonická řada, diverguje.
x = -5
3 :

n=1
(-3)n
n (1
3 )n
=

n=1
(-1)n
n , limn
(-1)n
n = 0 
je splněna nutná podmínka konvergence, řada konverguje.
Obor konvergence mocniné řady je x  (-7
3 , -5
3 ].
4. Určete součet mocniné řady:

n=1
xn+1
n2n
.
Řešení:

n=1
xn+1
n2n
=

n=1
x
x
0
tn-1
d t
2n
= x
x
0

n=1
tn-1
2n
d t =
x
2
< 1  |x| < 2 = x
x
0
1
2
1 - t
2
d t = x
x
0
1
2 - t
d t = -x[ln|2 - t|]x
0 = -x(ln|2 - x| - ln2).
5. Pomocí čtyř prvních členů Maclorenova rozvoje určete přibližnou hodnotu výrazu:
3

150.
Řešení:
3

150 = 3

125 + 25 =
3
53 + 52 = 3
53 1 +
1
5
= 5 1 +
1
5
1
3
=
= 5 1 +
1
3
1
5
+
1
3
-2
3
2
1
52
+
1
3
-2
3
-5
3
2  3
1
53
= 5 +
1
3
-
1
32  5
+
1
34  5
= 5, 3136.
1