Transformace náhodné veličiny
Borelovská funkce: Zobrazení g : Rn  Rm nazýváme borelovskou funkcí, právě
když úplný vzor každé borelovské množiny je opět borelovská množina, tj.
B  Bm
; {(x1, . . . , xn)  Rn
; (g1(x1, . . . , xn), . . . , gm(x1, . . . , xn))  B}  Bn
Pozn.: Jedná se zejména o funkce spojité.
Z dané náhodné veličiny X :   R vytvoříme pomocí borelovské funkce g : R  R
zobrazení Y :   R, dané takto:
  ; Y () = g(X()).
Toto zobrazení je opět náhodná veličina a nazývá se transformovaná náhodná veličina.
Náhodná veličina X má distribuční funkci F(x) a pravděpodobnostní funkci (x) nebo
hustotu f(x). Náhodná veličina Y = g(X) má distribuční funkci F(y) a pravdepodobnostní
funkci (y) nebo hustotu f(y). Označíme  inverzní funkci k funkci g, pak platí:
1. X je diskrétní náhodná veličina
(y) = P(Y = y) = P(g(X) = y) = P(X = (y)) = ((y))
2. X je spojitá náhodná veličina, g je rostoucí funkce a nechť existuje její derivace 
F(y) = P(Y  y) = P(g(X)  y) = P(X  (y)) = F((y))
f(y) =
dF(y)
dy
= f((y))
d(y)
dy
3. X je spojitá náhodná veličina, g je klesající funkce a nechť existuje její derivace 
F(y) = P(Y  y) = P(g(X)  y) = P(X  (y)) = 1 - P(X  (y)) = 1 - F((y))
f(y) =
dF(y)
dy
= -f((y))
d(y)
dy
Celkem pro spojitou náhodnou veličinu X platí:
f(y) =
dF(y)
dy
= f((y))
d(y)
dy
1. Náhodná veličina X má normální rozdělení, tedy X  N(, 2), provedem transformaci Y =
a + bX, kde b = 0. Určete f(y).
2. Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X, která má rozdělení N(20, 16), nabude hodnoty:
a) menší než 16
b) větší než 20
c) v mezích od 12 do 28
d) menší než 12 nebo větší než 28?
3. Náhodná veličina Y je funkcí náhodné veličiny X (tedy Y = g(X)). Určete, čemu se rovná
hustota pravděpodobnosti f(y) jestliže platí:
1
f(x) =
2xe-x2
pro x > 0
0 jinak
; Y = X2
4. Hledáme pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny Y , jestliže platí:
(x) =
x
x! e- pro x = 0, 1, . . .  > 0
0 jinak
; Y = 4X
5. Je dána náhodná veličina X  Rs(0, 2). Najděte hustotu Y = cos(X).
6. Nechť náhodná veličina X  Rs(-
2 , 
2 ). Najděte hustotu transformované náhodné veličiny
Y = tg(X).
2