Kombinatorika
Variace bez opakování: k-členná variace z n prvků je uspořádaná k-tice z těchto prvků
tak, že se každý v ní vyskytuje nejvýše jednou.
Počet Vk(n) všech k-členných variací z n prvků je
Vk(n) = n(n - 1)(n - 2) . . . (n - k + 1) =
n!
(n - k)!
,
kde n! je faktoriál. 0! = 1 je definováno.
Příklad 1. Ve škole je 10 různých předmětů a každý se učí nejvýše 1 hodinu denně. Kolikerým
způsobem je možno sestavit rozvrh hodin na jeden den, je-li tento den 5 různých předmětů.
Příklad 2. Kolik různých čtyřciferných čísel lze napsat číslicemi 0, 1, 4, 7, 9, aniž by se čísla
opakovala? Kolik z nich je sudých?
Příklad 3. K sestavení vlajky, která má být složena ze tří různobarevných vodorovných
pruhů, jsou k dispozici látky barvy bílé, červené, modré, zelené a žluté.
1. Určete počet vlajek, které lze z látek těchto barev sestavit [60]
2. Kolik z nich má modrý pruh? [36]
3. Kolik jich má modrý pruh uprostřed? [12]
4. Kolik jich nemá uprostřed červený pruh? [48]
Příklad 4. Určete počet prvků, z nichž lze utvořit
1. 240 dvoučlenných variací;
2. dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací.
Příklad 5. V biochemické laboratoři se rozhodli prozkoumat účinost pěti různých látek, které
měly být podávány pokusným myším vždy po dvou. Každý pokus byl proveden na jedné myši.
Kolik myší bylo zapotřebí, přičemž chtěli zjistit, jestli záleží na pořadí léků?
Variace s opakování: k-členná variace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice z
těchto prvků tak, že se každý v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
Počet Vk(n) všech k-členných variací z n prvků je
Vk(n) = nk
,
.
Příklad 6. Určete počet všech trojciferných čísel.
1
Příklad 7. Kolik různých vrhů může nastat současně dvěma různě barevnými hracími kost-
kami?
Příklad 8. Pokladna má zámek s pěti kotouči na nichž jsou číslice 0,1,. . . 9. Zámek se otevře
jestliže se nastaví pěticiferné číslo, které je heslem. Pokladník zapomene heslo a pamatuje si
pouze číslici na místě desítek. Jak dlouho by mu trvalo vyzkoušet všechny možnosti, jestliže
na nastavení jedné pětice potřebuje 3,6 s.
Permutace bez opakování: Permutace z n prvků je každá n-členná variace z těchto
prvků neboli uspořádaná n-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje
právě jednou.
P(n) = Vn(n) = n(n - 1)(n - 2) . . . 2  1 = n!
Příklad 9. Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z
číslic 0,1,3,4,7. Kolik z těchto čísel je
1. dělitelných šesti;
2. větších než 70134?
Příklad 10. Určete součet všech čtyřciferných čísel sestavených z číslic 1,3,5,7 bez opakování
číslic.
Permutace s opakování: Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná k-tice
ustavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje alespoň jednou.
Pozn.: Označme k1, k2, . . . kp kolikrát se každý z daných prvků opakuje.
P (k1, k2, . . . kp) =
(k1 + k2 +    + kp)!
k1!  k2!      kp!
P (k; n - k) =
n!
k!(n - k)!
=
n
k
Příklad 11. Kolik různých slov (majících i nemajících smysl) lze vytvořit z písmen slova
1. PARDUBICE
2. PRAHA
3. PROKOP
4. MISSISSIPPI
Příklad 12. BRIDŽ: 52 karet se rozdá mezi 4 hráče tak, že každý má 13 karet. Kolik různých
rozdání existuje?
Příklad 13. Kolika způsoby je možno rozdělit 9 pracovníků na 3 pracoviště, jestliže na první
jsou zapotřebí čtyři pracovníci, na druhé tři a na třetí dva.
2
Kombinace bez opakování: k-členná kombinace z n prvků je neuspořádaná k-tice
sestavená z těchto prvků tak, že se každý vyskytuje nejvýše jednou.
Ck(n) =
n!
k!(n - k)!
=
n
k
n
k . . . kombinační číslo
Příklad 14. Pět přátel se loučí
1. kolik stisků ruky si navzájem vymění;
2. kolik stisků ruky si vymění, jestliže se loučí jen tři?
Příklad 15. V lavici sedí pět chlapců z nichž dva bratři chtějí sedět vedle sebe. Kolikrát
můžeme chlapce přesadit?
Příklad 16. Je dáno n (n > 2) bodů v rovině z nichž žádné 3 neleží v přímce a žádné 4 na
kružnici. Kolik kružnic je těmito body určeno a kolik jich prochází každým z bodů?
Příklad 17. Na mistrovství světa v ledním hokeji bylo vysláno 22 hráčů z toho 12 útočníků,
8 obránců a 2 brankáři. Nepřihlížejme k tomu, že např. obránce může hrát na levé nebo pravé
straně obrany. Kolik různých sestav může trenér z těchto hráčů sestavit?
Příklad 18. V podniku pracuje 18 můžů a 16 žen. Kolika způsoby lze vybrat 7 zaměstnanců
tak, aby to byli
1. 4 muži a 3 ženy;
2. 6 můžů a 1 žena.
Příklad 19. V soutěžní porotě je 10 znalců. Při hlasování hlasovalo 7 členů pro návrh a 3
proti. Kolika způsoby to mohlo nastat?
Kombinace s opakování: k-člená kombinace s opakováním z n prvků je neuspořádaná
k-tice sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát.
Ck(n) =
n + k - 1
k
= Ck(n + k - 1)
Příklad 20. Existují 4 krevní skupiny ­ A, B, AB, 0. Určete počet všech možných rozdělení
10 osob podle uvedených krevních skupin.
3