Pravděpodobnost
 ­ základní prostor, množina všech výsledků
1, 2, . . . n ­ možné výsledky, prvky množiny 
A ­ náhodný jev, A  
Ac ­ jev opačný, Ac = \A
i ­ elementární jev
 ­ jev jistý
 ­ jev nemožný
A  B =  ­ jevy neslučitelné
A  B ­ jev B je důsledkem jevu A
Příklad 1. Určitý výrobek je podroben třem různým zkouškám. Označme následující jevy
A ­ náhodně vybraný výrobek obstojí při první zkoušce
B ­ obstojí ve druhé
C ­ obstojí ve třetí
Vyjádřete v množinové symbolice, že výrobek obstojí
1. jen v první zkoušce
2. v první a druhé zkoušce, ale neobstojí ve třetí zkoušce
3. ve všech třech zkouškách
4. alespoň v jedné zkoušce
5. právě v jedné zkoušce
6. maximálně dvakrát
Příklad 2. Jev A znamená, že aspoň jeden ze čtyř výrobků je zmetek, jev B znamená, že aspoň dva
ze čtyř výrobků jsou zmetky. Co znamenají jevy Ac, Bc?
Příklad 3. Náhodný pokus spočívá v hodu kostkou. Jev A je
"
padne sudé číslo", jev B je
"
padne
číslo dělitelné třemi". Co znamená jev A\B?
A ­ jevové pole, systém podmnožin množiny , která splňuje podmínky:
*   A,
* jsou-li A, B  A, pak je i A\B  A,
* jsou-li A, B  A, pak i A  B  A.
(, A) ­ měřitelný prostor
1
Příklad 4. Nechť  = {1, 2, 3}. Určete všechna možná jevová pole na tomto základním prostoru.
Definice 1: Nechť (, A) je měřitelný prostor. Pravděpodobnost je P : A  R s
vlastnostmi:
1. P(A)  0 pro všechna A  A
2. P() = 1
3. jestliže A1, A2,     A jsou po dvou disjunktní množiny, pak P(

n=1
An) =

n=1
P(An)
Trojice (, A, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.
Příklad 5. Nechť  = {1, 2, 3}, A = {, , {3}, {1, 2}}. Vypište všechny reálné funkce, které
zobrazují jevové pole A do množiny 0, 1, , 1 -  (0 <  < 1) a jsou pravděpodobnostmi.
Klasická pravděpodobnost
Definice 2: Nechť základní prostor  je konečná neprázdná množina a nechť jevové pole A
je systémem všech podmnožin základního prostoru. Označme m() počet všech možných
výsledků a pro libovolný jev A  A označme m(A) počet možných výsledků příznivých
jevu A. Pak reálnou funkci P : A  R definovanou pro všechna A  A vztahem
P(A) =
m(A)
m()
(1)
nazveme klasická pravděpodobnost.
Příklad 6. Vrchcáby ­ hod šesti různobarevnými kostkami. Vypočtěte pravděpodobnost následujících
"
figur":
1. A1 . . . na první kostce 1, na druhé 2, . . . na šesté 6
2. A2 . . . (sekvens) 1­6 kdekoli
3. A3 . . . (generál) samé 6
4. A4 . . . právě 5 šestek
5. A5 . . . (poker) právě čtyři 6
6. A6 . . . alespoň čtyři 6
7. A7 . . .šest stejných
8. A8 . . . trojice stejných a trojice jiných stejných
9. A9 . . . tři dvojice stejných
10. A10 . . . samé sudé.
2
Příklad 7. Firma investovala do tří nezávislých projektů. Pravděpodobnost zisku z těchto projektů
je 0,4, 0,5 a 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že firma bude mít zisk:
1. právě jedenkrát (jev A)
2. alespoň jedenkrát (jev B) [0.91]
3. právě dvakrát (jev C) [0.41]
4. aspoň dvakrát (jev D) [0.55]
5. ze všech tří projektů (jev E) [0.14]
6. ze žádného projektu (jev F)? [0.09]
Příklad 8. V osudí je a bílých a b černých koulí.
1. k-krát po sobě táhneme (bez vracení) po jedné kouli. Jaká je pravděpodobnost, že poslední
tažená koule je bílá?
2. Vytáhneme jedním tahem ( + ) koulí (  a,   b). Jaká je pravděpodobnost, že vytáhneme
 bílých a  černých koulí?
Příklad 9. Hodíme n-krát po sobě kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň na jedné kostce padne
6?
Příklad 10. V balíku n výrobků je k zmetků. Určete pravděpodobnost toho, že mezi m výrobky,
náhodně vybranými ke kontrole, bude právě l zmetků.
Příklad 11. Z urny, která obsahuje n koulí s čísly 1, . . . , n se postupně táhnout 2 koule. Přitom se 1.
koule vrací pokud její číslo není rovno 1. Určete pravděpodobnost toho, že koule č. 2 bude vytažena
při druhém tahu.
Příklad 12. Hod mincí: Dva hráči střídavě házejí mincí. Vyhrává ten, kterému dříve padne líc.
Určete pravděpodobnost výhry každého hráče.
Příklad 13. V urně je n bílých, m černých a l červených koulí, které se náhodně vybírají s vracením.
Určete pravděpodobnost, že bílá bude vybrána dříve než černá.
3