Pravděpodobnost sjednocení jevů
* P(A1  A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1  A2)
* P(
n
i=1
Ai) =
n
i=1
P(Ai)-
n-1
i=1
n
j=i+1
P(Ai Aj)+
n-2
i=1
n-1
j=i+1
n
k=j+1
P(Ai Aj Ak)+  +
(-1)n-1P(
n
i=1
Ai)
* P(
n
i=1
Ai) = 1 - P(
n
i=1
Ac
i )
1. Otec chtěl napsat n různých dopisů pro n různých adresátů, dítě iniciativně dopisy vložilo do
obálek a obálky zalepilo. Pokud otec náhodně napíše na obálky příslušných n adres, jaká je
pravděpodobnost, že alespoň jedna dojde na správnou adresu?
2. Hodíme naráz n kostkami (n  6). Jaká je pravděpodobnost, že každé z čísel 1­6 padne alespoň
jednou?
3. Do výtahu n poschoďové budovy nastoupilo k osob (k  n). Za předpokladu, že každá z nich
vystoupí se stejnou pravděpodobností v libovolném poschodí, vypočítejte pravděpodobnost, že
v každém poschodí vystoupí alespoň jedna osoba.
Podmíněná a úplná pravděpodobnost
Definice: Nechť (, A, P) je pravděpodobnostní prostor, H  A jev s nenulovou
pravděpodobností. Pro každé A  A definujeme podmíňenou pravděpodobnost vzor-
cem
P(A|H) =
P(A  H)
P(H)
(1)
4. V populaci je 5 % diabetiků, 2 % populace jsou diabetici kuřáci. Jaká je pravděpodobnost, že
náhodně zvolený diabetik je kuřák?
5. Jaká je pravděpodobnost, že na dvou kostkách padnou dvě pětky, je-li známo, že součet ok je
dělitelný pěti?
6. Z urny, v níž je a bílých a b černých koulí, vybereme postupně bez vracení dvě koule. Jaká je
pravděpodobnost, že druhá koule je bílá, za předpokladu, že první byla bílá?
7. Profesor cestou domů z fakulty navštíví čtyři různé obchody. Pravděpodobnost, že v obchodě
zapomene deštník, je 1
4.
(a) Určete pravděpodobnost, že deštník zapomněl ve čtvrtém obchodě.
(b) Když přijde domů bez deštníku, určete pravděpodobnost, že ho zapomněl ve čtvrtém ob-
chodě.
Věta o úplné pravděpodobnosti: Nechť (, A, P) je pravděpodobnostní prostor a
nechť je dán rozklad {Hi ; i  I} základního prostoru  na nejvýše spočetně mnoho
neslučitelných jevů Hi s vlastností P(Hi) > 0 (tzv. apriorní pravděpodobnosti) a
P(
iI
Hi) = 1. Říkáme, že je dán úplný systém hypotéz. Potom platí:
P(A) =
iI
P(Hi)  P(A|Hi) (2)
8. Potřebu smrkových sazenic kryje lesní závod produkcí dvou školek. První školka kryje 75 %
výsadby, přičemž ze 100 sazenic je 80 první jakosti. Druhá školka kryje výsadbu z 25 % přičemž
1
na 100 sazenic je 60 první jakosti. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná sazenice je
první jakosti?
9. Tři výrobci dodávají žárovky do obchodu. První výrobce dodává 45 %, druhý 40 % a třetí 15 %
celkového množství. První dodavatel má 70 % standardních žárovek, druhý 80 % a třetí 81 %
standardních žárovek. Určete pravděpodobnost, že si zákazník koupí standardní žárovku.
2