Bayesův vzorec
Věta: Nechť (, A, P) je pravděpodobnostní prostor a nechť je dán rozklad {Hi ; i  I}
základního prostoru  na nejvýše spočetně mnoho neslučitelných jevů Hi s vlastností
P(Hi) > 0 a P(
iI
Hi) = 1. Pak pro P(A) > 0 a pro libovolný jev B  A dostáváme:
1. Bayesův vzorec
P(Hk|A) =
P(Hk)  P(A|Hk)
iI
P(Hi)  P(A|Hi)
(1)
2. Bayesův vzorec
P(B|A) =
iI
P(Hi)  P(A|Hi)  P(B|A  Hi)
iI
P(Hi)  P(A|Hi)
(2)
1. Mezi šesti puškami jsou pouze dvě zastřílené. Pravděpodobnost zásahu je u zastřílené 0,9 a u
nezastřílené 0,2. Náhodně vybranou puškou se podařilo cíl zasáhnout, jaká je pravděpodobnost,
že šlo o zastřílenou pušku?
2. Jsou dána tři osudí s bílými a černými koulemi. Pravděpodobnost volby i-tého osudí je pi pro i =
1, 2, 3, pravděpodobnost vytažení bílé koule z i-tého osudí je qi pro i = 1, 2, 3. zvolíme náhodně
jedno osudí, vytáhneme z něj jednu kouli. Ukázalo se, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že
vytažená koule pocházela z prvního osudí?
3. V první zásuvce jsou 2 zlaté mince, ve druhé je 1 zlatá a 1 stříbrá, ve třetí zásuvce jsou 2 stříbrné
mince. Zvolíme náhodně zásuvku a vytáhneme minci. Jaká je pravděpodobnsot, že v zásuvce
zůstane zlatá mince, jestliže jsme vytáhli stříbrnou?
4. V urně je n koulí ­ bílé a černé. Byla naplněna tak, že někdo hodil n-krát kostkou, když padla
6, vložil do urny bílou kouli, jinak černou. Z takto naplněné urny byla náhodně vybrána jedna
koule a ukázalo se, že je bílá. Jaká je pravděpodobnost, že urna před tímto tahem obsahovala
jen bílé koule?
5. V testu jsou u každé otázky uvedeny čtyři možné odpovědi. Zná-li student správnou odpověď,
má pravděpodobnost rovnu 1, že ji označí správně. Hádá-li, je pravděpodobnost, že vybere
správnou odpověď rovna 0,25. Předpokládejme, že dobrý student zná 90 % správných odpovědí,
slabší student pouze 50 %. Jestliže dobrý student zodpověděl určitou otázku správně, jaká je
pravděpodobnost, že v tomto případě jen hádal? A jak je tomu v případě slabšího studenta?
6. Předpokládejme, že snímkování rentgenem prováděné ke zjištění tuberkulózy má tyto vlastnosti:
u lidí majících TBC objeví tuto nemoc v 90 % případů, u lidí nemajících tuto nemoc snímek v
jednom ze sta případů vede k nesprávné diagnóze (false positive). Předpokládejme dále, že TBC
se vyskytuje u 5 lidí z 10 000. Náhodně vybraná osoba je snímkována a radiolog hlásí onemocnění
TBC. Jaká je pravděpodobnost, že vybraná osoba má skutečně TBC?
7. Zákazník si náhodně vybírá obraz ze skupiny obsahující 8 originálů a 2 kopie. Konzultuje s
expertem, který pozná originál s pravděpodobností 5/6.
(a) Jestliže expert soudí, že obraz je originál, stanovte pravděpodobnost, že se skutečně o
originál jedná.
(b) Expert soudí, že obraz je kopie. Zákazník obraz odloží a volí náhodně jeden ze zbývajících
obrazů. Stanovte pravděpodobnost, že obraz je originál.
1