Stochasticky nezávislé jevy
Definice: Nechť (, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Řekneme, že jevy A1, A2, . . . , An
jsou stochasticky nezávislé (vzhledem k P), právě když platí multiplikativní vztahy:
 i < j : P(Ai  Aj) = P(Ai)  P(Aj)
 i < j < k : P(Ai  Aj  Ak) = P(Ai)  P(Aj)  P(Ak)
...
P(A1  A2      An) = P(A1)  P(A2)      P(An)
1. V urně máme čtyři lístky s čísly 000, 011, 101, 110. Náhodně vybereme jeden lístek. Uvažujeme
tyto tři náhodné jevy:
* A1 ­ vybraný lístek má jedničku na 1. místě
* A2 ­ vybraný lístek má jedničku na 2. místě
* A3 ­ vybraný lístek má jedničku na 3. místě.
Jsou dané jevy stochasticky nezávislé?
2. Jevy A1, A2, A3 jsou stochasticky nezávislé, P(A1) = 0, 5, P(A2) = 0, 5, P(A3) = 0, 25. Vypočtěte
pravděpodobnost nastoupení alepsoň jednoho z jevů A1, A2, A3.
3. Nechť platí P(A) = 0, 3, P(B) = 0, 4 a P(A  B) = 0, 6. Rozhodněte, zda jevy A, B jsou závislé
či nezávislé.
4. Střelec střílí třikrát nezávisle na sobě do terče. Pravděpodobnost zásahu při prvním, druhém a
třetím výstřelu je postupně 0,4, 0,5 a 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že střelec zasáhne cíl
(a) právě jedenkrát
(b) alespoň jedenkrát?
5. Do terče se střílí n-krát nezávisle na sobě. Pravděpodobnost zásahu při i-tém výstřelu je pi,
i = 1, 2, . . . n. Stanovte pravděpodobnost, že terč bude zasažen alespoň dvakrát.
6. Je pravděpodobnější vyhrát se stejně silným soupeřem tři partie ze čtyř nebo pět partií z osmi,
když nerozhodný výsledek je vyloučen a výsledky jsou nezávislé?
Geometrická pravděpodobnost
Definice: Nechť  je borelovská množina v Rn s kladnou a konečnou Lebesgueovou mírou,
A nechť je systém všech borelovských podmnožin množiny  a (A) nechť značí Lebesgueovu
míru množiny A. Potom množinovou funkci PG definovanou pro každé A  A
vztahem PG(A) = (A)
() budeme nazývat geometrickou pravděpodobností.
7. Jaká je pravděpodobnost, že součet dvou náhodně zvolených kladných čísel menších než 1 bude
menší než 1 a jejich součin bude větší než 2/9?
8. Úsečka dlouhá 200 mm je náhodně rozdělena na 3 díly. Určete pravděpodobnost, že prostřední
díl bude nejvýše 10 mm dlouhý.
9. Je dán čtverec s vrcholy v bodech: [1; 1], [-1; 1], [-1; -1], [1; -1], ve kterém náhodně vybereme
bod M se souřadnicemi [, ]. Určete pravděpodobnost, že kvadratická rovnice x2 + x +  = 0
bude mít reálné kořeny.
1
10. Buffonova úloha: Rovina je rozdělena stejně od sebe vzdálenými rovnoběžkami. Hodíme na
ni jehlu menší délky než je vzdálenost rovnoběžek. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne
některou rovnoběžku, jestliže každou polohu jehly považujeme za stejně nadějnou?
11. Každý ze dvou parníků může doplout do přístaviště vždy jednou za den, a to se stejnou šancí v
kterýkoli jeho okamžik a nezávisle na druhém parníku. První se v přístavišti zdrží jednu hodinu
a druhý dvě hodiny. Jaká je pravděpodobnost, že jeden bude muset čekat až druhý opustí
přístaviště?
12. Hodiny, které nejsou natažené, se po nějaké době zasatví. Jaká je pravděpodobnost, že se velká
ručička zastaví mezi 6 a 9?
2