Náhodná veličina
Definice: Nechť (, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Zobrazení X :   R se nazývá
náhodná veličina (vzhledem k jevovému poli A), právě když
B  B : {   : X()  B}  A, (1)
tj. úplný vzor každé borelovské množiny je jevem.
Poznámka: Obraz X() se nazývá číselná realizace náhodné veličiny X příslušná k
možnému výsledku . Množinu {   : X()  B} zkráceně zapisujeme {X  B} nebo
(X  B)
Distribuční funkce
Definice: Funkce F : R  R definována vztahem
x  R : F(x) = P(X  x), (2)
kde P(X  x) značí P({   : X()  x}), se nazývá distribuční funkce náhodné
veličiny X (vzhledem k P).
Distribuční funkce má tyto vlastnosti:
1. je neklesající, tj. pro všechna x1 < x2 : F(x1)  F(x2)
2. je zprava spojitá, tj. pro všechna x0  R : lim
xx+
0
F(x) = F(x0)
3. 0  F(x)  1
4. Pro x0  R libovolné, ale pevně zvolené je
P(X = x0) = F(x0) - lim
xx-
0
F(x)
5. Pro a, b  R, a < b je P(a < X  b) = F(b) - F(a).
Diskrétní náhodná veličina
Definice: Náhodná veličina X s distribuční funkcí F(x) se nazývá diskrétní, jestliže
existuje neprázdná, nejvýše spočetná podmnožina N reálných čísel a funkce  : R  R s
těmito vlastnostmi:
1. (x) > 0 pro x  N
(x) = 0 pro x  R - N
2.
xR
(x) =
xN
(x) = 1
a pro každé x  R máme F(x) =
tx
(t). Funkce (x) se nazývá pravděpodobnostní
funkce náhodné veličiny X. Platí (x) = P(X = x).
1. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě čtyři náboje. Pravděpodobnost zásahu
je při každém výstřelu 0,6. Náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete
pravděpodobnostní a distribuční funkcí náhodné veličiny X a nakreslete grafy těchto funkcí.
1
2. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
(x) = P(X = x) =
3
7  0, 7x x = 1, 2, . . .
0 jinak
Jaká je pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnot:
(a) menších jak 3
(b) větších jak 4
(c) větších jak 1 a menších jak 4?
3. Pro jakou hodnotu parametru c  R je funkce
(x) = P(X = x) =
c  2
3
x
x = 1, 2, . . .
0 jinak
pravděpodobnostní funkcí?
4. Po každý kontrolovaný výrobek je pravděpodobnost 0,6, že vydrží zkoušku pevnosti v tahu. Kontrola
končí jakmile první výrobek zkoušku nevydrží. Stanovte definiční obor a pravděpodobnostní
funkci náhodné veličiny X, která udává počet kontrolovaných výrobků. (geometrické rozdělení).
5. Pravděpodobnost, že výrobek bude vyhovovat všem technickým požadavkům je 0,9. Popište
rozdělení počtu nevyhovujících mezi třemi výrobky. (binomické rozdělení)
Spojitá náhodná veličina
Definice: Řekneme, že náhodná veličina X je (absolutně) spojitá, jestliže existuje
nezáporná borelovská funkce f tak, že pro každé x  R máme
F(x) =
x
f(t)
dt
Funkce f se nazývá hustota náhodné veličiny X a je určena jednoznačně až na borelovské
množiny míry 0 a platí:
(a) f(x) = dF(x)
dx
(b)

f(t)
dt = 1
6. Spojitá náhodná veličina má hustotu
f(x) =
ax 0  x  1
0 jinak
(a) Určete konstantu a.
(b) Vypočtěte pravděpodobnost, že x je větší jak 1
3 a menší nebo rovno jak 2
3.
(c) Určete distribuční funkci.
7. Určete hodnotu c  R tak, aby funkce
f(x) =
cx2 x  (0; 2)
0 jinak
byla hustotou. Najděte distribuční funkci a zakreslete oba grafy.
2
8. Na obrázku je graf hustoty f(x). Zapište f(x) a určete distribuční funkci.
9. Určete a  R tak, aby funkce
F(x) =



0 x < 0
ax2 0  x < 2
1 x 
byla distribuční funkcí.
3