Náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor je uspořádaná n-tice X = (X1, X2, . . . Xn) , kde Xi jsou
náhodné veličiny na pravděpodobnostním prostoru (, A, P). Jeho distribuční funkci definujeme
vztahem:
(x1, x2, . . . , xn)  Rn
; F(x1, x2, . . . , xn) = P(X1  x1  X2  x2      Xn  xn).
F(x1, x2, . . . , xn) je neklesající, zprava spojitá vzhledem ke každé jednotlivé proměnné a
dále
lim
x1
...
xn
F(x1, x2, . . . , xn) = 1
i  {1, . . . , n}; lim
xiF(x1,
x2, . . . , xn) = 0
i  {1, . . . , n}; lim
x1
...
xi-1
xi+1
...
xn
F(x1, x2, . . . , xn) = Fi(xi).
Fi(xi) se nazývá marginální distribuční funkce náhodné veličiny Xi a F(x1, x2, . . . , xn)
se nazývá simultánní (sdružená) distribuční funkce náhodného vektoru X.
Diskrétní náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor X = (X1, X2, . . . Xn) se nazývá diskrétní, právě když existuje
funkce (x1, . . . , xn), která je kladná na nejvýše spočetné množině N  Rn, nulová na
množině Rn - N, je normovaná

x1=-
  

xn=(x1,
. . . , xn) = 1
a platí pro ni:
(x1, x2, . . . , xn)  Rn
; F(x1, x2, . . . , xn) =
tx1
  
txn
(t1, . . . , tn).
Funkce (x1, . . . , xn) se nazývá pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru X. Dále
platí:
(x1, x2, . . . , xn)  Rn
; (x1, x2, . . . , xn) = P(X1 = x1  X2 = x2  . . . , Xn = xn).
i  {1, . . . , n};
x1R
  
xi-1R xi+1R
  
xnR
(x1, . . . , xn) = i(xi)
i(xi) se nazývá marginální pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Xi a
(x1, x2, . . . , xn) se nazývá simultánní (sdružená) pravděpodobnostní funkce
náhodného vektoru X.
1. V zásilce 10 výrobků je 8 kvalitních a 2 zmetky, z 8 kvalitních je pět 1. jakosti a tři 2. jakosti. Ze
zásilky vybereme 2 výrobky (bez vracení). Náhodná veličina X značí počet kvalitních výrobků a
1
Y počet výrobků 1. jakosti. Určete sdruženou a marginální pravděpodobnostní ((x, y), X(x),
Y (y)) i distribuční funkci (F(x, y), FX(x), FY (y)).
2. Nechť náhodný vektor (X, Y ) má pravděpodobnostní funkci
(x, y) =
1
15(x + y + 1) pro x = 0, 1, 2; y = 0, 1
0 jinak
Určete marginální pravděpodobnostní funkce, marginální distribuční funkce a sdruženou distribuční
funkci.
3. Z urny obsahující 2 bílé a 2 černé koule vybíráme za sebou s vracením 2 koule. Definujeme
náhodné veličiny X1 a X2 následovně
Xi =
1 i-tá vytažená koule je bílá
0 i-tá vytažená koule je černá
Určete distribuční funkci vektoru (X1, X2) .
Spojitý náhodný vektor
Definice: Náhodný vektor X = (X1, X2, . . . Xn) se nazývá spojitý, právě když existuje
po částech spojitá funkce f(x1, . . . , xn) s vlastností
(x1, . . . , xn)  Rn
; f(x1, . . . , xn)  0,
která je normovaná

.
. .

f(x1,
. . . , xn) = 1
a platí pro ni:
(x1, . . . , xn)  Rn
; F(x1, . . . , xn) =
x1
.
. .
xn
f(t1,
. . . , tn) dt1 . . . dtn.
Funkce f(x1, . . . , xn) se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodného vektoru X. Dále
platí:
f(x1, . . . , xn) =
nF(x1, . . . , xn)
x1 . . . xn
ve všech bodech spojitosti funkce f(x1, . . . , xn).
i  {1, . . . , n};

.
. .

-

.
. .

f(x1,
. . . , xn) dx1 . . . dxi-1 dxi+1 . . . dxn = fi(xi)
fi(xi) se nazývá marginální hustota náhodné veličiny Xi a f(x1, x2, . . . , xn) se nazývá
simultánní (sdružená) hustota náhodného vektoru X.
4. Spojitý náhodný vektor (X1, X2, X3) má hustotu
f(x1, x2, x3) =
k  x1x2x2
3 pro 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1, 0 < x3 < 3
0 jinak
(a) Určete konstantu k.
2
(b) Vypočtěte P(0 < X1 < 1/2, 1/3 < X2 < 2/3, 1 < X3 < 2).
5. Dvojice součástek má dobu života popsanou hustotou
f(x, y) =
1
2e-x-y
2 x > 0, y > 0
0 jinak
Jaká je pravděpodobnost toho, že druhá součástka přežije první?
6. Čemu se rovná hustota f(x, y) pro x  (0, 1) a y  (0, 2), jestliže příslušná distribuční funkce je
F(x, y) = 1
4x2y2 pro x  (0, 1) a y  (0, 2).
7. Hustota pravděpodobností náhodného vektoru (X, Y ) je dána
f(x, y) =
1
6(x
2 + y
3 ) 0 < x < 2, 0 < y < 3
0 jinak
Určete obě marginální hustoty, sdruženou distribuční funkci a pravděpodobnost
P(0 < X  1  2 < Y  3).
3