Stochasticky nezávislé náhodné veličiny
Věta: Náhodné veličiny X1, . . . , Xn jsou stochasticky nezávislé, právě když pro každé
x1  R, . . . , xn  R platí:
F(x1, . . . , xn) = F1(x1)  . . .  Fn(xn)
resp. (x1, . . . , xn) = 1(x1)  . . .  n(xn) (v diskrétním případě), resp. f(x1, . . . , xn) =
f1(x1)  . . .  fn(xn) (ve spojitém případě).
1. Spojitý náhodný vektor (X1, X2) má hustotu
f(x1, x2) =
24x2
1x2(1 - x1) pro 0  x1 < 1, 0  x2 < 1
0 jinak
Dokažte, že náhodné veličiny X1 a X2 jsou stochasticky nezávislé.
2. Podnik vyrábí ocelové objímky. Kontrola na výstupu třídí výrobky podle dvou kritérií ­ podle
odchylky od předepsaného vnitřního průměru do čtyř skupin (X = 1, 2, 3, 4) a podle odchylky
od předepsané délky také do čtyř skupin (Y = 2, 4, 6, 8). Sdružená pravděpodobnostní funkce je
dána tabulkou:
X\Y 2 4 6 8
1 0.01 0.03 0.04 0.02
2 0.02 0.24 0.10 0.04
3 0.04 0.15 0.08 0.03
4 0.04 0.06 0.08 0,02
Určete marginální pravděpodobnostní funkce X(x), Y (y), podmíněné pravděpobosnostní funkce
(x|Y = 8), (y|X = 1), hodnoty sdružené distribuční funkce F(3, 4), F(1, 3), hodnotu podmíněné
distribuční funkce F(X = 3|Y = 8). Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé?
3. Náhodný vektor (X1, X2) s rovnoměrně spojitým rozdělením na oblasti G, kde
(a) G = {(x1, x2)  R2; 0  x1 < 1  0  x2 < 1},
(b) G = {(x1, x2)  R2; 0  x1 < 1  0  x2 < 1 - x1}.
Rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X1 a X2 stochasticky nezávislé.
1