je obecná lineární
Návod k řešení úlohy č. 6 d)
Zadání: Určete komutátorovou podgrupu G' = [G,G], kde G = GĽ2(
grupa regulárních čtvercových matic řádu 2 nad Q.
Návod: Podgrupa [G, G] je dle definice generována1
komutátory [A, B] = ABA~1
B~1
pro
všechna A,BeG. Zřejmě je determinant každého takového komutátoru roven 1, z čehož ihned
dostáváme [GL2(Q), GL2(Q)] C SL2(Q) (speciální lineární grupa čtvercových matic řádu 2 nad Q
s jednotkovým determinantem).
Ukážeme, že platí i opačná inkluze, tj. že každá taková matice s jednotkovým determinantem
se dá vyjádřit jako součin komutátorů matic z GL2(Q). K tomu je třeba si uvědomit, jakými
prvky jsou generovány grupy GL2(Q) a SL2(Q). Díky tomu, že každou regulární matici A můžeme
elementárními řádkovými a sloupcovými operacemi ,,přičtení a-násobku řádku k jinému řádku",
resp. ,,přičtení /3-násobku sloupce k jinému sloupci" (reprezentovanými násobením maticemi ( Q ")
,,1,|A|), platí:a
(/3 i) převést2
na diagonální matici diag(l, 1,
GL2
Snadno se ověří, že
SL2W =
0
Každý z generátorů SL2(Q) tak dokážeme vyjádřit jako komutátor prvků z GL2(
SL2(Q) C [GL2(Q), GL2(Q)], což jsme chtěli dokázat.
a tedy
Pozn: Obecně platí pro obecnou (resp. speciální) lineární grupu nad libovolným tělesem K a
pro libovolné n > 2, že
[GLn(K),GLn(K)] = SLn(K)
a
[SLn(K),SLn(K)] = SLn(K)
(s výjimkou případů n = 2, 3 pro \K\ = 2). Dokazuje se analogicky s využitím toho, že SLn(K) je
generována maticemi tvaru
~bij(a
) = E + a- Eij,
kde a G K, E je jednotková matice řádu n a E^ nulová matice mající jedinou 1 pouze v itém
řádku a j-tém sloupci. Stačí si totiž uvědomit, že [tij(a),tkj(ß)] = tij(aß) a obdobně
[íi J -(a),diag(/3i,...,/3n )]=íy (a(^-l)).
^^Ve všech případech, které jsme si dosud ukazovali, byl dokonce každý prvek [G,G] sám komutátorem, to ale
obecně nemusí platit -- nejmenší grupa, jejíž komutátorová podgrupa není tvořena pouze komutátory, má ale řád
96.
2
Postup nastíníme i pro matice vyššího řádu: nejprve pomocí těchto operací zajistíme na pozici 1,1 číslo 1,
pomocí něj ,,vynulujeme" všechny ostatní prvky v 1. řádku a v 1. sloupci, poté totéž pro druhý řádek a sloupec atd.
Protože determinant původní matice byl 1 a uvedené operace ho nemění, musí být zbylý prvek na pozici n, n roven
determinantu původní matice, tedy výsledná matice je tvaru diag(l, 1,..., 1, \A\) a původní matice je součinem
této výsledné matice a použitých matic elementárních operací.