1. (1b.) Uveďte příklad rozkladu množiny přirozených čísel na nekonečně mnoho nekonečných tříd. Je tento rozklad vytvořující vzhledem k operaci sčítání nebo násobení? Připadně: Nalezněte vytvořující rozklad množiny přirozených čísel na nekonečně mnoho nekonečných tříd, který je vytvořující vzhledem k operaci násobení.

2. (1b.)  Uvažte faktorgrupu (Q/Z,+) a dokažte, že:
    a) každý prvek grupy Q/Z je konečného řádu
    b) pro každé přirozené číslo n existuje v Q/Z prvek řádu n

. (1b.)  Sestrojte pomocí pravítka a kružítka pravidelný 5-úhelník (+1b. za důkaz konstrukce) [ Deskriptiváři: pravidelný 17-úhelník]

4. (2b.)  Zapište svaz (resp. hasseovský diagram) normálních podgrup grupy symetrií čtverce D₈ a určete příslušné faktorgrupy

2. (1b.) Dokažte že každá levá třída podgrupy H grupy G je rovna pravé třídě nějaké podgrupy grupy G.

3. (3b.) Dokažte, že:
            a) podgrupa  je normálni právě tehdy, je-li sjednocením některých tříd konjugovanosti
            b) konjugované prvky mají stejný řád
            c) centralizátor C_G(x) prvku x je podgrupa G, existuje bijekce mezi prvky třídy konjugovanosti prvku x a třídy rozkladu G podle C_G(x) a platí tzv. třídní rovnost (class equation)

                            |G|=|Z(G)| + ∑ |G/C_G(x_i)|  , kde x_i probíhají přes reprezentanty tříd konjugovanosti mimo centrum grupy.
4. (2b.) GAP, Sage a podobné systémy pro práci s grupami:

          a) Pro grupu G=<a,b|a⁸=b²=e,baba³=e> určete řády |G|, |ab| a její centrum Z(G).

          b)Vytvořte libovolnou maticovou grup nad Z₁₁ se třemi generátory, určete její řád a řád jejího centra.
5. (1b.) Nechť (G,.) je grupa a předpokládejme, že grupa G obsahuje jediný prvek řádu n, který označme a.
      Dokažte, že tento prvek patří do centra, tj. že komutuje s libovolným prvkem grupy G.
6. (4 b.)  Nechť (G,.)  je grupa a označme G'  (často též [G,G]) její podgrupu  generovanou množinou  prvků
                tvaru [x,y]=xyx^-1y^-1 (tzv. komutátorová podgrupa).
     Dokažte, že:
       a) (0,5b.) G'  je normální podgrupa v G
       b) (0,5b.) faktorgrupa G/G' je komutativní
       c) (1b.) G/G' je největší komutativní faktorgrupa grupy G (přesněji: je-li H libovolná normální podgrupa G a G/H je komutativní, pak G' je podgrupou H).
       d) (2b.) určete (GL₂(Q))'

7. (1b.) Dokažte, že prvky x,y v S_n konjugované právě tehdy, když mají stejnou strukturu cyklů.

8. (1b.) GAP

          a) Ověřte, že D₂₄ má podgrupu řádu k každé k|24.
          b) Najděte všechny grupy G řádu n<50 takové, které nemají podrupu řádu k pro některého dělitele k čísla n.

===============================================================================================
7. (1b.) [později snad upravím do čitelnější podoby] Buď C množina spojitých funkcí  f: [0,1]->R. Dokažte, že zobrazení, které takové funkci přiřazuje
       hodnotu určitého integrálu v mezích od 0 do 1, je homomorfismus aditivních grup (C,+)->(R,+), ale nikoliv homomorfismus okruhů (C,+,*)->(R,+,*)
8. (1b.) Dokažte správnost  Archimédova postupu trisekce úhlu.
9. (2b.) Určete, které úhly (celé násobky 1 stupně) lze zkonstruovat pomocí pravídka a kružítka ("euklidovsky").
10.(3b.) Určete všechna přirozená čísla k, pro která je k nesoudělné se  všemi členy posloupnosti a_n=2ⁿ+3ⁿ+6ⁿ-1 pro n>0.
       (Nápověda: pomůže počítač a vnoření do podílového tělesa)